Contrôle de maths L1 : familles libres, bases et dimension

Exercice 1 : Question de cours : lemme d’échange et dimension (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(E\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

1. Énoncez le lemme d’échange (ou lemme de Steinitz) : si \(E\) est engendré par \(n\) vecteurs, que peut-on dire d’une famille de \(n + 1\) vecteurs de \(E\) ? (0,5 point)
2. Démontrez ce lemme par récurrence sur \(n\). (1,5 point)
3. Déduisez-en que, si \(E\) admet une base finie, toutes les bases de \(E\) sont finies et ont le même nombre d’éléments. (1 point)

Exercice 2 : Familles de vecteurs de R3 (4 points)

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère les vecteurs \[u_1 = (1, 2, 1), \quad u_2 = (2, 1, -1), \quad u_3 = (1, -1, -2), \quad u_4 = (1, 0, 1).\]

1. Montrez que la famille \((u_1, u_2, u_3)\) est liée, en donnant une relation de dépendance linéaire. (1 point)
2. Montrez que la famille \((u_1, u_2, u_4)\) est libre. (1,5 point)
3. Justifiez que \((u_1, u_2, u_4)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\), puis déterminez les coordonnées du vecteur \(v = (1, 3, 4)\) dans cette base. (1 point)
4. Déterminez le rang de la famille \((u_1, u_2, u_3)\) et une base de \(\operatorname{Vect}(u_1, u_2, u_3)\) extraite de cette famille. (0,5 point)

Exercice 3 : Liberté de familles de fonctions (4 points)

On travaille dans l’espace vectoriel \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

1. Montrez que la famille \((f_1, f_2, f_3)\), où \(f_k(x) = e^{kx}\), est libre. (1,5 point)
2. Montrez que la famille \((\cos, \sin, h)\), où \(h(x) = x \cos x\), est libre. (1,5 point)
3. On pose \(g(x) = \cos(x + \dfrac{\pi}{3})\). La famille \((\cos, \sin, g)\) est-elle libre ? Justifiez. (1 point)

Exercice 4 : Sous-espaces de R4 et formule de Grassmann (4 points)

Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les sous-espaces vectoriels \[F = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \,:\, x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0\}, \qquad G = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \,:\, x_1 = x_2 \text{ et } x_3 = x_4\}.\]

1. Déterminez une base de \(F\) et sa dimension. (1 point)
2. Déterminez une base de \(G\) et sa dimension. (0,5 point)
3. Déterminez \(F \cap G\), une base de ce sous-espace et sa dimension. (1 point)
4. À l’aide de la formule de Grassmann, calculez \(\dim(F + G)\). La somme \(F + G\) est-elle directe ? Que vaut \(F + G\) ? (1 point)
5. Complétez la base de \(F \cap G\) trouvée en c) en une base de \(F\), à l’aide des vecteurs \((1, -1, 0, 0)\) et \((0, 0, 1, -1)\). (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : bases de R2[X] et interpolation de Lagrange (5 points)

On note \(\mathbb{R}_2[X]\) l’espace des polynômes réels de degré au plus \(2\), de dimension \(3\). On pose \[L_0 = \frac{(X – 1)(X – 2)}{2}, \qquad L_1 = -X(X – 2), \qquad L_2 = \frac{X(X – 1)}{2}.\]

1. Montrez que la famille échelonnée \(\big(1, X – 1, (X – 1)^2\big)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\), puis donnez les coordonnées de \(P = X^2 + X + 1\) dans cette base. (1,5 point)
2. Calculez \(L_i(j)\) pour tous \(i, j \in \{0, 1, 2\}\). (1 point)
3. Déduisez-en que \((L_0, L_1, L_2)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\). (1 point)
4. Montrez que, pour tout \(Q \in \mathbb{R}_2[X]\), \(Q = Q(0)\,L_0 + Q(1)\,L_1 + Q(2)\,L_2\). (1 point)
5. Déterminez l’unique polynôme \(Q \in \mathbb{R}_2[X]\) tel que \(Q(0) = 1\), \(Q(1) = 3\) et \(Q(2) = 7\), et comparez avec a). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : familles libres, bases et dimension

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Bases et dimension » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés bases et dimension.

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