Applications et relations : cours de maths en L1 en PDF.

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. Une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) associe à chaque élément \(x\) de \(E\) un unique élément de \(F\), noté \(f(x)\) et appelé image de \(x\). L’ensemble \(E\) est l’ensemble de départ, \(F\) l’ensemble d’arrivée. On note \(f : E \to F,\ x \mapsto f(x)\) et \(\mathcal{F}(E,F)\) ou \(F^E\) l’ensemble des applications de \(E\) dans \(F\).

Le graphe de \(f : E \to F\) est la partie de \(E \times F\) définie par \(\Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in E\}\). Une partie \(\Gamma\) de \(E \times F\) est le graphe d’une application si et seulement si, pour tout \(x \in E\), il existe un unique \(y \in F\) tel que \((x,y) \in \Gamma\).

Soient \(E = \{1, 2, 3\}\) et \(F = \{a,b\}\). La partie \(\{(1,a),(2,b),(3,b)\}\) est un graphe d’application. En revanche, \(\{(1,a),(1,b),(2,a),(3,a)\}\) ne l’est pas, car \(1\) a deux images. De même, \(\{(1,a),(2,a)\}\) ne l’est pas, car \(3\) n’a pas d’image.

Soient \(f : E \to F\) et \(A \subset E\). La restriction de \(f\) à \(A\) est l’application \(f_{|A} : A \to F,\ x \mapsto f(x)\). Si \(E \subset E^{\prime}\), on appelle prolongement de \(f\) à \(E^{\prime}\) toute application \(g : E^{\prime} \to F\) telle que \(g_{|E} = f\).

L’application \(x \mapsto \dfrac{x^2 – 4}{x – 2}\) est définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) et vaut \(x + 2\) en tout point. Chaque réel \(c\) fournit un prolongement à \(\mathbb{R}\) en posant \(g(2) = c\). Il existe donc une infinité de prolongements. Cependant, un seul est continu, celui qui vérifie \(g(2) = 4\).

Soit \(f : E \to F\). Pour \(A \subset E\), l’image directe de \(A\) est \(f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}\), partie de \(F\). Pour \(C \subset F\), l’image réciproque de \(C\) est \(f^{-1}(C) = \{x \in E \mid f(x) \in C\}\), partie de \(E\).

La notation \(f^{-1}(C)\) a un sens pour toute application \(f\), bijective ou non. Elle ne suppose pas l’existence d’une application réciproque. Par exemple, pour \(f : x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\), on a \(f^{-1}(\{-1\}) = \varnothing\).

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2\). On a \(f([-1, 2]) = [0, 4]\), car \(x^2\) parcourt \([0, 1]\) pour \(x \in [-1, 0]\) et \([0, 4]\) pour \(x \in [0, 2]\). De plus, \(f^{-1}([1, 4]) = [-2,-1] \cup [1, 2]\), car \(1 \leq\, x^2 \leq\, 4\) équivaut à \(1 \leq\, |x| \leq\, 2\).

Soient \(f : E \to F\), \(A, B \subset E\) et \(C, D \subset F\). Alors :

\(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\) et \(f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)\) ;

\(f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)\), \(f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\) et \(f^{-1}(F \setminus C) = E \setminus f^{-1}(C)\) ;

\(A \subset f^{-1}(f(A))\) et \(f(f^{-1}(C)) \subset C\).

Montrons \(f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)\). Soit \(y \in f(A \cap B)\). Il existe \(x \in A \cap B\) tel que \(y = f(x)\). Comme \(x \in A\), on a \(y \in f(A)\). De même, \(y \in f(B)\). Donc \(y \in f(A) \cap f(B)\).

Pour l’image réciproque, on raisonne par équivalences : \(x \in f^{-1}(C \cap D)\) équivaut à \(f(x) \in C\) et \(f(x) \in D\), c’est-à-dire à \(x \in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\). Les autres égalités se traitent de la même façon.

Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\). La composée \(g \circ f\) est l’application de \(E\) dans \(G\) définie par \((g \circ f)(x) = g(f(x))\).

La composition est associative : pour \(f : E \to F\), \(g : F \to G\) et \(h : G \to H\), on a \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\). De plus, \(f \circ \mathrm{Id}_E = f\) et \(\mathrm{Id}_F \circ f = f\).

Les deux applications vont de \(E\) dans \(H\). Pour tout \(x \in E\), les deux membres valent \(h(g(f(x)))\). Elles sont donc égales. Les égalités avec l’identité se vérifient de la même manière.

La composition n’est pas commutative. Avec \(f(x) = x + 1\) et \(g(x) = x^2\) sur \(\mathbb{R}\), on obtient \((g \circ f)(x) = (x+1)^2\) mais \((f \circ g)(x) = x^2 + 1\). Ces deux applications diffèrent, puisqu’elles prennent en \(1\) les valeurs \(4\) et \(2\).

Soit \(f : E \to F\).

\(f\) est injective si tout élément de \(F\) a au plus un antécédent : \(\forall (x, x^{\prime}) \in E^2,\ f(x) = f(x^{\prime}) \Rightarrow x = x^{\prime}\).

\(f\) est surjective si tout élément de \(F\) a au moins un antécédent : \(\forall y \in F,\ \exists x \in E,\ y = f(x)\), autrement dit \(f(E) = F\).

\(f\) est bijective si elle est injective et surjective, c’est-à-dire si tout élément de \(F\) a exactement un antécédent.

Pour montrer que \(f\) est injective, on fixe \(x, x^{\prime} \in E\) tels que \(f(x) = f(x^{\prime})\) et on en déduit \(x = x^{\prime}\). Pour montrer qu’elle ne l’est pas, on exhibe deux éléments distincts de même image.

Pour montrer que \(f\) est surjective, on fixe \(y \in F\) et on cherche un \(x \in E\) tel que \(f(x) = y\), souvent en résolvant l’équation \(f(x) = y\) d’inconnue \(x\). Pour montrer qu’elle ne l’est pas, on exhibe un \(y\) sans antécédent.

Si l’équation \(f(x) = y\) admet une unique solution pour tout \(y \in F\), l’application est bijective.

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 3x – 2\). Si \(3x – 2 = 3x^{\prime} – 2\), alors \(x = x^{\prime}\) : \(f\) est injective. Ensuite, pour \(y \in \mathbb{R}\), le réel \(x = \frac{y+2}{3}\) vérifie \(f(x) = y\) : \(f\) est surjective. Elle est donc bijective. En revanche, \(x \mapsto x^2\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) n’est ni injective, car \(f(-1) = f(1)\), ni surjective, car \(-1\) n’a pas d’antécédent.

Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\).

Si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(g \circ f\) est injective. Si \(f\) et \(g\) sont surjectives, alors \(g \circ f\) est surjective. Par conséquent, la composée de deux bijections est une bijection.

Réciproquement, si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective ; si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.

Supposons \(f\) et \(g\) injectives, et soient \(x, x^{\prime}\) tels que \(g(f(x)) = g(f(x^{\prime}))\). L’injectivité de \(g\) donne \(f(x) = f(x^{\prime})\), puis celle de \(f\) donne \(x = x^{\prime}\).

Supposons \(f\) et \(g\) surjectives, et soit \(z \in G\). Il existe \(y \in F\) tel que \(g(y) = z\), puis \(x \in E\) tel que \(f(x) = y\). Alors \((g \circ f)(x) = z\).

Supposons \(g \circ f\) injective. Si \(f(x) = f(x^{\prime})\), alors \(g(f(x)) = g(f(x^{\prime}))\), donc \(x = x^{\prime}\). Enfin, si \(g \circ f\) est surjective, tout \(z \in G\) s’écrit \(g(f(x))\) : il a donc l’antécédent \(f(x)\) par \(g\).

Soit \(f : E \to F\) bijective. L’application réciproque de \(f\) est l’application \(f^{-1} : F \to E\) qui associe à \(y \in F\) son unique antécédent par \(f\). Ainsi, pour \(x \in E\) et \(y \in F\), on a \(y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)\).

Une application \(f : E \to F\) est bijective si et seulement s’il existe \(g : F \to E\) telle que \(g \circ f = \mathrm{Id}_E\) et \(f \circ g = \mathrm{Id}_F\). Dans ce cas, \(g\) est unique et \(g = f^{-1}\).

Si \(f\) est bijective, \(g = f^{-1}\) convient par définition de l’antécédent. Réciproquement, supposons qu’un tel \(g\) existe. D’abord, \(g \circ f = \mathrm{Id}_E\) est injective, donc \(f\) est injective d’après le théorème de la partie IV. Ensuite, \(f \circ g = \mathrm{Id}_F\) est surjective, donc \(f\) est surjective. Ainsi, \(f\) est bijective. Enfin, pour \(y \in F\), l’égalité \(f(g(y)) = y\) montre que \(g(y)\) est l’antécédent de \(y\), donc \(g(y) = f^{-1}(y)\).

Si \(f : E \to F\) est bijective, alors \(f^{-1}\) est bijective et \((f^{-1})^{-1} = f\). Si \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) sont bijectives, alors \(g \circ f\) est bijective et \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).

Le premier point découle directement du théorème, avec les rôles de \(f\) et \(f^{-1}\) échangés. Pour le second, on calcule \((f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_E\). De même, \((g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = \mathrm{Id}_G\). Le théorème conclut.

Pour établir qu’une application est bijective et trouver sa réciproque, deux voies s’offrent à vous. D’abord, on peut résoudre \(f(x) = y\) : si l’unique solution s’écrit \(x = g(y)\), alors \(f^{-1} = g\). Ensuite, on peut deviner \(g\) et vérifier \(g \circ f = \mathrm{Id}_E\) et \(f \circ g = \mathrm{Id}_F\). Par exemple, si \(f \circ f = \mathrm{Id}_E\), alors \(f\) est bijective et \(f^{-1} = f\) : on parle d’involution.

L’application \(s : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 1 – x\) vérifie \(s(s(x)) = 1 – (1 – x) = x\). Donc \(s \circ s = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}}\) : \(s\) est une involution, bijective et égale à sa réciproque.

Une seule des deux égalités ne suffit pas. Sur \(\mathbb{N}\), posons \(f(n) = 2n\) et \(g(n) = \lfloor n/2 \rfloor\). Alors \(g \circ f = \mathrm{Id}_{\mathbb{N}}\). Pourtant, \(f\) n’est pas surjective, car \(1\) n’a pas d’antécédent.

Une relation binaire \(\mathcal{R}\) sur un ensemble \(E\) est une partie \(G\) de \(E \times E\). On écrit \(x \mathcal{R} y\) lorsque \((x,y) \in G\). La relation est dite :

réflexive si \(\forall x \in E,\ x \mathcal{R} x\) ; symétrique si \(\forall x, y,\ x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x\) ;

antisymétrique si \(\forall x, y,\ (x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x) \Rightarrow x = y\) ; transitive si \(\forall x, y, z,\ (x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} z) \Rightarrow x \mathcal{R} z\).

Une relation d’équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive. La classe d’équivalence de \(x \in E\) est \(\overline{x} = \{y \in E \mid x \mathcal{R} y\}\). L’ensemble des classes s’appelle l’ensemble quotient, noté \(E / \mathcal{R}\).

Une partition de \(E\) est une famille de parties de \(E\) non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion vaut \(E\).

Soit \(\mathcal{R}\) une relation d’équivalence sur \(E\). Pour tous \(x, y \in E\), on a \(\overline{x} = \overline{y}\) si \(x \mathcal{R} y\), et \(\overline{x} \cap \overline{y} = \varnothing\) sinon. Par conséquent, les classes d’équivalence forment une partition de \(E\).

Supposons \(x \mathcal{R} y\) et soit \(z \in \overline{y}\). On a \(x \mathcal{R} y\) et \(y \mathcal{R} z\), donc \(x \mathcal{R} z\) par transitivité : \(z \in \overline{x}\). Ainsi \(\overline{y} \subset \overline{x}\). Par symétrie, \(y \mathcal{R} x\), d’où l’inclusion inverse.

Supposons ensuite qu’il existe \(z \in \overline{x} \cap \overline{y}\). Alors \(x \mathcal{R} z\) et \(y \mathcal{R} z\), donc \(z \mathcal{R} y\) par symétrie, puis \(x \mathcal{R} y\) par transitivité. Deux classes sont donc égales ou disjointes. Enfin, chaque classe est non vide car \(x \in \overline{x}\) par réflexivité, et la réunion des classes contient tout \(x\).

Sur \(\mathbb{R}^2\), posons \((x,y) \mathcal{R} (x^{\prime},y^{\prime})\) si \(x^2 + y^2 = x^{\prime 2} + y^{\prime 2}\). C’est une relation d’équivalence, car elle s’écrit \(N(u) = N(u^{\prime})\) avec \(N(x,y) = x^2 + y^2\). La classe d’un point \((a,b) \neq (0, 0)\) est le cercle de centre \(O\) passant par ce point. La classe de l’origine est réduite à \(\{(0, 0)\}\).

Soit \(n \geq\, 2\). Sur \(\mathbb{Z}\), la congruence modulo \(n\), définie par \(a \equiv b \ [n]\) si \(n\) divise \(b – a\), est une relation d’équivalence. Elle possède exactement \(n\) classes, \(\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\), qui correspondent aux restes de la division euclidienne par \(n\).

Pour déterminer les classes d’une relation d’équivalence, on fixe \(x\) et on résout l’équation \(x \mathcal{R} y\) d’inconnue \(y\). Très souvent, la relation s’écrit \(\varphi(x) = \varphi(y)\) pour une application \(\varphi\) bien choisie. Dans ce cas, la réflexivité, la symétrie et la transitivité sont immédiates, et la classe de \(x\) est \(\varphi^{-1}(\{\varphi(x)\})\).

Une relation d’ordre sur \(E\) est une relation réflexive, antisymétrique et transitive. On la note souvent \(\preceq\). L’ordre est total si deux éléments sont toujours comparables : \(\forall x, y \in E,\ x \preceq y \text{ ou } y \preceq x\). Sinon, il est partiel.

L’ordre usuel \(\leq\,\) sur \(\mathbb{R}\) est total. L’inclusion \(\subset\) sur l’ensemble \(\mathcal{P}(E)\) des parties de \(E\) est un ordre partiel dès que \(E\) a au moins deux éléments : \(\{a\}\) et \(\{b\}\) ne sont pas comparables. De même, la divisibilité sur \(\mathbb{N}^*\) est un ordre partiel.

Vérifions que la divisibilité est un ordre sur \(\mathbb{N}^*\). D’abord, \(a = 1 \times a\), donc \(a \mid a\). Ensuite, si \(a \mid b\) et \(b \mid a\), alors \(a \leq\, b\) et \(b \leq\, a\) car ces entiers sont strictement positifs, d’où \(a = b\). Enfin, si \(b = ka\) et \(c = lb\), alors \(c = (kl)a\), donc \(a \mid c\). Cependant, sur \(\mathbb{Z}\), l’antisymétrie tombe en défaut : \(2 \mid -2\) et \(-2 \mid 2\).

Soient \((E, \preceq)\) un ensemble ordonné et \(A \subset E\). Un élément \(M \in E\) est un majorant de \(A\) si \(\forall a \in A,\ a \preceq M\). Un élément \(m \in E\) est un minorant de \(A\) si \(\forall a \in A,\ m \preceq a\). Un majorant de \(A\) qui appartient à \(A\) s’appelle le plus grand élément de \(A\). Un minorant de \(A\) qui appartient à \(A\) s’appelle le plus petit élément de \(A\).

Si une partie \(A\) admet un plus grand élément, celui-ci est unique. Il en va de même pour le plus petit élément.

Soient \(M\) et \(M^{\prime}\) deux plus grands éléments de \(A\). Comme \(M^{\prime} \in A\) et que \(M\) majore \(A\), on a \(M^{\prime} \preceq M\). De même, \(M \preceq M^{\prime}\). L’antisymétrie donne \(M = M^{\prime}\).

Dans l’ensemble des diviseurs de \(12\), la partie \(A = \{4, 6\}\) n’a ni plus grand ni plus petit élément, car \(4\) et \(6\) sont incomparables. Ses majorants sont les multiples communs, ici \(12\) seulement. Ses minorants sont les diviseurs communs : \(1\) et \(2\). Par ailleurs, l’ensemble tout entier a pour plus petit élément \(1\) et pour plus grand élément \(12\).

Pour vérifier qu’une relation est une relation d’ordre, on examine successivement la réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité, en revenant à la définition de la relation. Pour savoir si l’ordre est total, on cherche deux éléments incomparables : un seul couple suffit à prouver que l’ordre est partiel.

Une partie peut avoir des majorants sans avoir de plus grand élément. Ainsi, dans \((\mathbb{R}, \leq\,)\), l’intervalle \([0, 1[\) est majoré par \(1\) mais n’a pas de plus grand élément. L’étude du plus petit des majorants, la borne supérieure, fait l’objet du chapitre sur les nombres réels.