Contrôle de maths sup : polynômes, racines et fractions rationnelles

Sommaire

Ce contrôle de maths sup porte sur le thème suivant : polynômes, racines et fractions rationnelles.

Ce devoir de synthèse de trois heures réunit les deux chapitres de maths sup consacrés aux polynômes et aux fractions rationnelles. Il commence par la formule de Taylor et la caractérisation de la multiplicité d’une racine, puis enchaîne restes de divisions euclidiennes, relations de Viète et interpolation de Lagrange.

Vous factorisez ensuite $X^6 – 1$ sur les deux corps usuels et vous pratiquez la décomposition en éléments simples pour calculer une somme télescopique et une primitive. Le problème final, inspiré des concours, étudie les polynômes de Tchebychev. Calculatrice interdite : soignez les justifications et citez vos théorèmes.

Fiche du contrôle

Niveau : maths sup (MPSI)
Chapitres : Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation + Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles
Durée conseillée : 3 heures
Barème : sur 20 points (exercice 1 : 2,5 points ; exercice 2 : 3,5 points ; exercice 3 : 2,5 points ; exercice 4 : 2 points ; exercice 5 : 4,5 points ; exercice 6 : 5 points)
Compétences évaluées :
- Calculer : restes de divisions euclidiennes, décompositions en éléments simples et primitives
- Raisonner : caractériser la multiplicité d’une racine par les dérivées successives
- Chercher : exploiter les relations entre coefficients et racines
- Communiquer : rédiger une récurrence complète sur une suite de polynômes

Exercice 1 : Questions de cours (2,5 points)

Calculatrice interdite. Dans tout le sujet, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Énoncez la formule de Taylor pour un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ en un point $a \in \mathbb{K}$. Déduisez-en que, pour $m \in \mathbb{N}^*$, $a$ est racine de $P$ d’ordre au moins $m$ si et seulement si $P(a) = P^{\prime}(a) = \cdots = P^{(m-1)}(a) = 0$. (1,5 point)
Soit $P = X^3 + pX^2 + qX + r \in \mathbb{C}[X]$, de racines $a$, $b$, $c$ comptées avec multiplicité. Exprimez $a + b + c$, $ab + bc + ca$ et $abc$ en fonction de $p$, $q$, $r$, en justifiant. (1 point)

Exercice 2 : Restes de divisions et racine multiple (3,5 points)

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3.

Déterminez le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X – 1)(X – 2)$. (1 point)
Déterminez le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X – 1)^2$. (1 point)
Soit $P = X^{2n} – nX^{n+1} + nX^{n-1} – 1$. Montrez que 1 est racine de $P$ et déterminez sa multiplicité exacte. (1,5 point)

Exercice 3 : Relations entre coefficients et racines (2,5 points)

On note $a$, $b$, $c$ les racines complexes, comptées avec multiplicité, du polynôme $P = X^3 – 2X^2 + 3X – 5$.

Calculez $a^2 + b^2 + c^2$. Déduisez-en que $P$ admet au moins une racine non réelle. (1 point)
Vérifiez que $0$ n’est pas racine de $P$ et calculez $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$. (0,5 point)
Calculez $a^3 + b^3 + c^3$. (1 point)

Exercice 4 : Interpolation de Lagrange (2 points)

On cherche les polynômes $Q \in \mathbb{R}[X]$ tels que $Q(-1) = 4$, $Q(0) = 1$ et $Q(2) = 1$.

Écrivez les polynômes de Lagrange $L_0$, $L_1$, $L_2$ associés aux points $-1$, $0$, $2$, et rappelez la propriété $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. (0,5 point)
Déterminez l’unique polynôme $P$ de degré au plus 2 qui convient, sous forme développée puis factorisée. (1 point)
Déterminez tous les polynômes $Q$ de $\mathbb{R}[X]$ qui conviennent. (0,5 point)

Exercice 5 : Factorisation et éléments simples (4,5 points)

Factorisez $X^6 – 1$ en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$, puis dans $\mathbb{R}[X]$. (1 point)
Décomposez en éléments simples $F = \dfrac{1}{X(X+1)(X+2)}$. Déduisez-en, pour $N \in \mathbb{N}^*$, une expression simple de $S_N = \sum_{k=1}^{N} \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$, puis la limite de $S_N$. (1,5 point)
Décomposez $G = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ en éléments simples sur $\mathbb{R}$, puis déterminez une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x^3 + 1}$ sur $]-1, +\infty[$. (1 point)
Soit $n \geq\, 2$ et $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $0 \leq\, k \leq\, n – 1$. Décomposez $\dfrac{1}{X^n – 1}$ en éléments simples sur $\mathbb{C}$. (1 point)

Exercice 6 : Problème : polynômes de Tchebychev (5 points)

On définit la suite de polynômes $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par $T_0 = 1$, $T_1 = X$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $T_{n+2} = 2X\,T_{n+1} – T_n$.

Calculez $T_2$, $T_3$ et $T_4$. (0,5 point)
Montrez que, pour tout $n \geq\, 1$, $T_n$ est de degré $n$ et de coefficient dominant $2^{n-1}$, et que $T_n(-X) = (-1)^n T_n(X)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. (1 point)
Montrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout réel $\theta$, $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$. (1 point)
Soit $n \geq\, 1$. Déterminez $n$ racines distinctes de $T_n$ dans $]-1, 1[$. Déduisez-en que ces racines sont simples et donnez la factorisation de $T_n$ dans $\mathbb{R}[X]$. (1 point)
Montrez que $|T_n(x)| \leq\, 1$ pour tout $x \in [-1, 1]$, et déterminez les réels $x$ de $[-1, 1]$ pour lesquels $|T_n(x)| = 1$ ($n \geq\, 1$). (1 point)
Soit $m \in \mathbb{N}^*$ et $n = 2m$. En évaluant la factorisation de d) en 0, calculez $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n})$. (0,5 point)

$Corrigé du contrôle de maths sup : polynômes, racines et fractions rationnelles$

Réviser avant le contrôle : polynômes, racines et fractions rationnelles

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Polynômes » en maths sup et « Fractions rationnelles » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés polynômes, fractions rationnelles.

Retrouvez tous les contrôles de maths sup classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.

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