Ce QCM de maths sup teste le cœur de l’algèbre linéaire : applications linéaires, noyau et image, théorème du rang, projecteurs et symétries, et le rôle de la dimension finie. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Applications linéaires et théorème du rang du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Applications linéaires - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(u \in \mathcal{L}(E, F)\) avec \(E\) de dimension finie. Que dit le théorème du rang ?
A\(\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rg} u\)
B\(E = \ker u \oplus \operatorname{Im} u\)
C\(\dim E = \dim \ker u + \dim F\)
D\(\dim F = \dim \ker u + \operatorname{rg} u\)
Question 2
Quel est le noyau de \(u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \((x,y,z) \mapsto (x + y, y + z)\) ?
A\(\mathrm{Vect}\left((1,-1,0), (0,1,-1)\right)\)
B\(\mathrm{Vect}\left((1,-1,1)\right)\)
C\(\mathrm{Vect}\left((1,-1,-1)\right)\)
D\(\mathrm{Vect}\left((1,1,1)\right)\)
Question 3
Soit \(p\) un projecteur de \(E\) (\(p \circ p = p\)). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(p\) est la projection sur \(\ker p\) parallèlement à \(\operatorname{Im} p\)
B\(\ker p\) et \(\operatorname{Im} p\) sont orthogonaux
C\(p\) est injectif dès que \(p \neq 0\)
D\(p\) est la projection sur \(\operatorname{Im} p\) parallèlement à \(\ker p\)
Question 4
Soit \(p\) la projection sur \(F\) parallèlement à \(G\). Quelle est la symétrie par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\) ?
A\(2p + \mathrm{id}_E\)
B\(2p - \mathrm{id}_E\)
C\(p - \mathrm{id}_E\)
D\(\mathrm{id}_E - 2p\)
Question 5
Sur \(\mathbb{R}[X]\), l’endomorphisme de dérivation \(D : P \mapsto P'\) est :
Ainjectif et non surjectif
Bni injectif ni surjectif
Csurjectif et non injectif
Dbijectif
Question 6
Quelle est la dimension de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)\) ?
A\(9\)
B\(8\)
C\(6\)
D\(5\)
Question 7
Quel est le rang de l’endomorphisme \(P \mapsto P''\) de \(\mathbb{R}_3[X]\) ?
A\(2\)
B\(1\)
C\(4\)
D\(3\)
Question 8
Soit \(u, v \in \mathcal{L}(E)\) tels que \(u \circ v = 0\). Laquelle des affirmations est toujours vraie ?
A\(\operatorname{Im} u \subset \ker v\)
B\(u = 0\) ou \(v = 0\)
C\(\operatorname{Im} v \subset \ker u\)
D\(\ker u \subset \operatorname{Im} v\)
Question 9
Il existe une unique application linéaire \(u\) de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) telle que \(u(1,1) = (2,0)\) et \(u(1,-1) = (0,2)\). Que vaut \(u(1,0)\) ?
A\((1,-1)\)
B\((2,2)\)
C\((2,0)\)
D\((1,1)\)
Question 10
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension au moins \(2\). Lequel des ensembles suivants est un groupe pour la composition ?
Al’ensemble des projecteurs de \(E\)
Bl’ensemble \(\mathcal{L}(E)\) des endomorphismes de \(E\)
Cl’ensemble des endomorphismes non nuls de \(E\)
Dl’ensemble \(GL(E)\) des automorphismes de \(E\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de applications linéaires en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le calcul du noyau et de l’image d’une application linéaire ;
l’énoncé exact du théorème du rang et ses conséquences ;
les projecteurs (\(p^2 = p\)) et les symétries (\(s^2 = \mathrm{id}\)), et leurs éléments caractéristiques ;
la construction d’une application linéaire par l’image d’une base ;
l’équivalence injective, surjective, bijective pour un endomorphisme en dimension finie.
L’erreur la plus fréquente
« Injectif équivaut à bijectif » est faux en dimension infinie : sur \(\mathbb{R}[X]\), \(P \mapsto XP\) est injectif non surjectif et la dérivation est surjective non injective.
Comment réviser avant de refaire le test
Dès qu’un énoncé porte sur un endomorphisme en dimension finie, demandez-vous si le théorème du rang ne remplace pas une vérification de surjectivité par un simple calcul de noyau. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
A-t-on toujours \(E = \ker u \oplus \operatorname{Im} u\) ?
Non. C’est vrai pour un projecteur, mais pour \(u\) nilpotent non nul, comme \((x, y) \mapsto (y, 0)\), on a \(\ker u = \operatorname{Im} u\). Le théorème du rang ne donne qu’une égalité de dimensions.
Comment reconnaître un projecteur ?
On vérifie \(p \circ p = p\). C’est alors la projection sur \(\operatorname{Im} p = \ker(p – \mathrm{id})\) parallèlement à \(\ker p\).
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