Nombres complexes : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Calculs sous forme algébrique

1. Mettez sous forme algébrique \(z_1 = (2 + 3i)(1 – i)\) et \(z_2 = \dfrac{1 + 2i}{3 – 4i}\).
2. Calculez le module de \(z_2\) de deux manières : à partir de sa forme algébrique, puis à l’aide de la propriété du module d’un quotient.
3. Calculez \((1 + i)^2\), puis déduisez-en \((1 + i)^8\). Calculez aussi \(i^{2026}\).
4. Déterminez le complexe \(z\) tel que \(2z + i\,\overline{z} = 3\).

Exercice 2 : Forme trigonométrique et valeurs exactes

On pose \(z = 1 + i\sqrt{3}\) et \(w = 1 – i\).

1. Écrivez \(z\) et \(w\) sous forme trigonométrique.
2. Écrivez \(\dfrac{z}{w}\) sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique. Déduisez-en les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).
3. Calculez \(z^{10}\) sous forme algébrique.
4. Déterminez les entiers naturels \(n\) tels que \(z^n\) soit un réel strictement positif.

Exercice 3 : Racines carrées sous forme algébrique

1. Déterminez, sous forme algébrique, les racines carrées de \(-5 + 12i\), de \(8 – 6i\) et de \(-15 – 8i\).
2. Déterminez les racines carrées de \(1 + i\) sous forme algébrique.
3. Déterminez-les aussi sous forme trigonométrique.
4. En comparant les deux résultats, déduisez-en que \(\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\).

Exercice 4 : Équations du second degré à coefficients complexes

1. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2 – (3 + 4i)z – 1 + 7i = 0\).
2. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(iz^2 – 3iz + 3i – 1 = 0\), puis vérifiez le résultat à l’aide de la somme et du produit des racines.
3. Soit \(\theta \in \mathbb{R}\). Résolvez \(z^2 – 2\cos(\theta)\,z + 1 = 0\).
4. Déterminez deux nombres complexes \(u\) et \(v\) dont la somme et le produit valent \(1\). Donnez-les sous forme exponentielle.

Exercice 5 : Module, conjugaison et inégalité triangulaire

Dans tout l’exercice, \(z\) et \(w\) désignent des nombres complexes.

1. Démontrez l’identité du parallélogramme : \(|z + w|^2 + |z – w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2)\). Interprétez-la dans un parallélogramme.
2. On suppose \(|z| = |w| = 1\) et \(zw \neq -1\). Montrez que \(\dfrac{z + w}{1 + zw}\) est un réel.
3. Déterminez tous les complexes \(z\) tels que \(|z| = 2\) et \(|z + 3i| = 5\).
4. Montrez que \(|z| \leq\, |\mathrm{Re}(z)| + |\mathrm{Im}(z)| \leq\, \sqrt{2}\,|z|\).

Exercice 6 : Linéarisation et calcul d’intégrales

1. Linéarisez \(\cos^3 t\) et \(\sin^4 t\).
2. Linéarisez \(\sin t \cos^2 t\).
3. Déduisez-en la valeur de \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^4 t \, \mathrm{d}t\).
4. Calculez \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin t \cos^2 t \, \mathrm{d}t\) de deux façons : avec la linéarisation, puis en reconnaissant une dérivée.

Exercice 7 : Formule de Moivre et valeur de sin(π/10)

1. À l’aide de la formule de Moivre, exprimez \(\cos(3t)\) en fonction de \(\cos t\) et \(\sin(3t)\) en fonction de \(\sin t\).
2. Exprimez \(\cos(4t)\) comme un polynôme en \(\cos t\).
3. Exprimez \(\tan(3t)\) en fonction de \(\tan t\), en précisant pour quels réels \(t\) la formule est valable.
4. On pose \(t = \dfrac{\pi}{10}\). Justifiez que \(\cos(3t) = \sin(2t)\). Déduisez-en que \(\sin\dfrac{\pi}{10} = \dfrac{\sqrt{5} – 1}{4}\).

Exercice 8 : Technique de l’angle moitié

1. Soit \(\theta \in ]-\pi, \pi[\). Déterminez le module et un argument de \(1 + e^{i\theta}\). Que deviennent-ils si \(\theta \in ]\pi, 3\pi[\) ?
2. Soit \(\theta \in ]0, 2\pi[\). Déterminez le module et un argument de \(1 – e^{i\theta}\).
3. Soit \(\theta \in ]0, \pi[\). Montrez que \(\dfrac{1 + e^{i\theta}}{1 – e^{i\theta}}\) est imaginaire pur et calculez-le.
4. Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(\theta \in \mathbb{R}\). Calculez \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} \cos(k\theta)\) et \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} \sin(k\theta)\).

Exercice 9 : Sommes trigonométriques

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(t \in \mathbb{R}\), on pose \(C_n(t) = \sum_{k=0}^{n} \cos(kt)\) et \(S_n(t) = \sum_{k=0}^{n} \sin(kt)\).

1. Calculez \(C_n(t)\) et \(S_n(t)\) lorsque \(t \in 2\pi\mathbb{Z}\).
2. On suppose \(t \notin 2\pi\mathbb{Z}\). Calculez \(C_n(t) + iS_n(t)\), puis donnez \(C_n(t)\) et \(S_n(t)\) sous forme factorisée.
3. On suppose \(t \notin \pi\mathbb{Z}\). Déduisez-en une expression de \(\sum_{k=0}^{n} \cos^2(kt)\).
4. Vérifiez la formule de la question 3 pour \(n = 1\) et \(t = \pi/3\).

Exercice 10 : Racines cinquièmes de l’unité et cos(2π/5)

On pose \(\omega = e^{2i\pi/5}\), puis \(a = \omega + \omega^4\) et \(b = \omega^2 + \omega^3\).

1. Montrez que \(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0\).
2. Montrez que \(a = 2\cos\dfrac{2\pi}{5}\) et \(b = 2\cos\dfrac{4\pi}{5}\).
3. Calculez \(a + b\) et \(ab\). Déduisez-en \(a\) et \(b\), puis la valeur exacte de \(\cos\dfrac{2\pi}{5}\).
4. Déduisez-en la valeur exacte de \(\cos\dfrac{\pi}{5}\).

Exercice 11 : Équations z^n = a

1. Résolvez \(z^3 = -8i\). Donnez les solutions sous forme algébrique et représentez-les dans le plan complexe.
2. Résolvez \(z^4 = -4\) et représentez les solutions.
3. Déduisez de la question 2 une factorisation de \(z^4 + 4\) en produit de deux trinômes du second degré à coefficients réels.
4. Résolvez l’équation \(z^4 = \overline{z}\). On pourra commencer par déterminer les modules possibles.

Exercice 12 : Une équation de degré n − 1

Soit \(n \geq\, 2\) un entier. On considère l’équation \((E) : (z + 1)^n = (z – 1)^n\).

1. Montrez que \(1\) n’est pas solution, puis que \((E)\) équivaut à \((\dfrac{z + 1}{z – 1})^n = 1\).
2. Soit \(u \in \mathbb{U}_n\). Résolvez l’équation \(\dfrac{z + 1}{z – 1} = u\). Pour quelle valeur de \(u\) n’a-t-elle pas de solution ?
3. À l’aide de la technique de l’angle moitié, montrez que les solutions de \((E)\) sont les nombres \(z_k = -i\,\dfrac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)}\), pour \(1 \leq\, k \leq\, n – 1\), et qu’elles sont deux à deux distinctes.
4. Retrouvez directement, sans calcul de racines, que toute solution de \((E)\) est imaginaire pure.

Exercice 13 : Exponentielle complexe

1. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) les équations \(e^z = 1 + i\sqrt{3}\), \(e^z = -3\) et \(e^z = -2i\).
2. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(e^{2z} – (1 + i)e^z + i = 0\).
3. Déterminez l’ensemble des complexes \(z\) tels que \(e^z\) soit réel, puis tels que \(e^z\) soit un réel strictement négatif.
4. Existe-t-il un complexe \(z\) tel que \(e^z = 0\) ? Justifiez.

Exercice 14 : Triangle rectangle, alignement et triangles équilatéraux

Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) d’affixes \(a = 1 + i\), \(b = 4 + 2i\), \(c = 4i\) et \(d = 7 + 3i\), placés sur la figure ci-dessous.

1. Calculez \(\dfrac{c – a}{b – a}\). Déduisez-en la nature du triangle \(ABC\).
2. Montrez que les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont alignés.
3. Déterminez les affixes des points \(E\) et \(E^{\prime}\) tels que les triangles \(ABE\) et \(ABE^{\prime}\) soient équilatéraux.
4. Calculez l’aire du triangle \(ABC\).

Exercice 15 : Lieux géométriques

On note \(A\) et \(B\) les points d’affixes \(i\) et \(-1\). Pour tout complexe \(z \neq -1\), on pose \(Z = \dfrac{z – i}{z + 1}\) et on note \(M\) le point d’affixe \(z = x + iy\), avec \(x, y\) réels.

1. Calculez les parties réelle et imaginaire de \(Z\) en fonction de \(x\) et \(y\).
2. Déterminez l’ensemble \(\mathcal{D}\) des points \(M\) tels que \(Z\) soit réel.
3. Déterminez l’ensemble \(\mathcal{C}\) des points \(M\) tels que \(Z\) soit imaginaire pur.
4. Déterminez l’ensemble \(\mathcal{M}\) des points \(M\) tels que \(|Z| = 1\).
5. Retrouvez géométriquement ces trois ensembles à l’aide des vecteurs \(\vec{BM}\) et \(\vec{AM}\).

Exercice 16 : Similitudes directes

On considère les applications du plan définies en affixes par \(f(z) = (1 + i)z + 2 – i\), \(g(z) = iz + 1 + i\) et \(h(z) = -2z + 3\).

1. Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de \(g\) et de \(h\).
2. Montrez que \(f\) possède un unique point fixe \(\Omega\). Donnez le rapport et l’angle de \(f\).
3. On note \(O\), \(I\), \(K\), \(J\) les points d’affixes \(0\), \(1\), \(1 + i\) et \(i\). Déterminez les images de ces points par \(f\). Quelle est la nature du quadrilatère obtenu ?
4. Déterminez l’expression de \(g \circ f\), puis sa nature et ses éléments caractéristiques.
5. Déterminez la similitude directe \(s\) telle que \(s(0) = 1\) et \(s(1) = 1 + i\), puis ses éléments caractéristiques.

Exercice 17 : Une somme de racines septièmes de l’unité

On pose \(\omega = e^{2i\pi/7}\), \(S = \omega + \omega^2 + \omega^4\) et \(T = \omega^3 + \omega^5 + \omega^6\).

1. Montrez que \(T = \overline{S}\).
2. Calculez \(S + T\) et \(ST\).
3. Montrez que \(\mathrm{Im}(S) = \sin\dfrac{2\pi}{7} + \sin\dfrac{4\pi}{7} – \sin\dfrac{\pi}{7}\), puis que \(\mathrm{Im}(S) > 0\).
4. Déduisez-en la valeur exacte de \(S\).
5. Déduisez-en les valeurs de \(\cos\dfrac{2\pi}{7} + \cos\dfrac{4\pi}{7} + \cos\dfrac{8\pi}{7}\) et de \(\sin\dfrac{2\pi}{7} + \sin\dfrac{4\pi}{7} – \sin\dfrac{\pi}{7}\).

Exercice 18 : Problème, produit de sinus et polygone régulier

Soit \(n \geq\, 2\) un entier. On note \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n – 1\). On admet, en attendant le chapitre sur les polynômes, que pour tout complexe \(z\) : \[1 + z + z^2 + \cdots + z^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (z – \omega_k).\] La figure ci-dessous représente, pour \(n = 7\), les segments qui joignent le point d’affixe \(1\) aux autres sommets du polygone régulier.

1. Vérifiez l’égalité admise dans le cas \(n = 3\), en notant \(j = e^{2i\pi/3}\).
2. Déduisez de l’égalité admise que \(\prod_{k=1}^{n-1} (1 – \omega_k) = n\).
3. Pour \(1 \leq\, k \leq\, n – 1\), montrez que \(|1 – \omega_k| = 2\sin\dfrac{k\pi}{n}\).
4. Déduisez-en que \(\prod_{k=1}^{n-1} \sin\dfrac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}\).
5. Interprétez ce résultat pour le polygone régulier de la figure.
6. Vérifiez directement la formule pour \(n = 6\).

Exercice 19 : Coefficients binomiaux de trois en trois

Soit \(n \geq\, 1\) un entier et \(j = e^{2i\pi/3}\). On pose \(A_n = \sum_{0 \leq\, 3k \leq\, n} \binom\,{n}{3k} = \binom\,{n}{0} + \binom\,{n}{3} + \binom\,{n}{6} + \cdots\)

1. Soit \(p \in \mathbb{N}\). Montrez que \(1 + j^p + j^{2p}\) vaut \(3\) si \(p\) est multiple de \(3\), et \(0\) sinon.
2. Montrez que \(3A_n = 2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n\).
3. Écrivez \(1 + j\) et \(1 + j^2\) sous forme exponentielle.
4. Déduisez-en que \(A_n = \dfrac{1}{3}(2^n + 2\cos\dfrac{n\pi}{3})\).
5. Vérifiez la formule pour \(n = 4\) et \(n = 6\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : nombres complexes, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités, Trigonométrie et fonctions circulaires
• Chapitre précédent : Trigonométrie et fonctions circulaires
• Chapitre suivant : Fonctions usuelles et techniques de dérivation
• Le même thème en L1 : nombres complexes, exercices de maths en L1
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé