Ce QCM de maths sup porte sur les développements limités : DL usuels, opérations (produit, quotient, composition, primitivation), formule de Taylor-Young et étude locale d’une courbe ou d’un point critique. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Développements limités et étude locale du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Développements limités - QCM de maths sup
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Répondues : 0 / 10
Question 1
Sous quelle hypothèse sur \(f\) le programme de MPSI énonce-t-il la formule de Taylor-Young à l’ordre \(n\) en \(a\) ?
A\(f\) de classe \(C^n\) sur un intervalle contenant \(a\)
B\(f\) de classe \(C^{n-1}\) sur un intervalle contenant \(a\)
C\(f\) continue sur un intervalle contenant \(a\)
D\(f\) dérivable sur un intervalle contenant \(a\)
Question 2
Quel est le développement limité à l’ordre 4 en 0 de \(\frac{1}{\cos x}\) ?
A\(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\)
B\(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + o(x^4)\)
C\(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\)
D\(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^4)\)
Question 3
Quel est le développement limité à l’ordre 3 en 0 de \(\tan x\) ?
A\(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)
B\(x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
C\(x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
D\(x + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)
Question 4
Que vaut \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}\) ?
A\(-\frac{1}{6}\)
B\(0\)
C\(-\frac{1}{3}\)
D\(\frac{1}{6}\)
Question 5
Quel est le développement limité à l’ordre 3 en 0 de \(e^{\sin x}\) ?
A\(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
B\(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)
C\(1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)
D\(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)\)
Question 6
Soit \(f\) définie au voisinage de \(0\) et admettant un développement limité à l’ordre 2 en \(0\). Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?
A\(f\) est deux fois dérivable en \(0\)
B\(f\) est dérivable en \(0\)
C\(f'\) admet un DL d’ordre 1 en \(0\)
D\(f\) est de classe \(C^2\) au voisinage de \(0\)
Question 7
Quelle est l’asymptote en \(+\infty\) de la courbe de \(f(x) = \sqrt{x^2 + x}\), et la position de la courbe par rapport à elle ?
A\(y = x + \frac{1}{2}\), courbe au-dessus
B\(y = x\), courbe au-dessus
C\(y = x + \frac{1}{2}\), courbe en dessous
D\(y = x + 1\), courbe en dessous
Question 8
En \(0\), la fonction \(f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2}\) présente :
Aun point d’inflexion à tangente horizontale
Bun minimum local strict
Cun maximum local strict
Daucun extremum, car \(f''(0) = 0\)
Question 9
En primitivant le DL de \(\frac{1}{1+x^2}\), quel développement à l’ordre 5 en 0 obtient-on pour \(\arctan x\) ?
A\(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)\)
B\(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)\)
C\(x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)\)
D\(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)\)
Question 10
Quel est le développement limité à l’ordre 2 en 0 de \(\frac{x}{\sin x}\) (prolongée par \(1\) en \(0\)) ?
A\(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\)
B\(1 + \frac{x^2}{3} + o(x^2)\)
C\(1 + \frac{x^2}{6} + o(x^2)\)
D\(1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de développements limités en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les DL usuels en 0 : \(\exp\), \(\sin\), \(\cos\), \(\ln(1+x)\), \((1+x)^\alpha\), \(\arctan\), \(\tan\) à l’ordre 3 ;
le calcul d’un DL par quotient ou composition, à l’ordre juste nécessaire ;
la primitivation d’un développement limité ;
le lien entre DL d’ordre 1 et dérivabilité, et ses limites à l’ordre 2 ;
l’étude locale : asymptote, position relative, nature d’un point critique.
L’erreur la plus fréquente
Une fonction qui admet un DL d’ordre 2 en \(0\) n’est pas forcément deux fois dérivable en \(0\) : \(x \mapsto x^3 \sin(1/x)\), prolongée par \(0\), a pour DL \(o(x^2)\) sans que sa dérivée soit dérivable en \(0\).
Comment réviser avant de refaire le test
Avant tout calcul, factorisez par le terme prépondérant du dénominateur ou de l’argument pour savoir à quel ordre développer chaque morceau, et tronquez au fur et à mesure. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Au plus petit ordre qui fait apparaître un terme non nul au numérateur et au dénominateur. Pour \(\frac{\sin x – x}{x^3}\), il faut aller jusqu’à \(x^3\) dans \(\sin x\).
Pourquoi le DL d’une fonction paire n’a-t-il que des puissances paires ?
Par unicité du DL : si \(f(x) = \sum a_k x^k + o(x^n)\), alors \(f(-x)\) a pour DL \(\sum (-1)^k a_k x^k + o(x^n)\), et l’égalité \(f(-x) = f(x)\) impose \(a_k = 0\) pour \(k\) impair.
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