Ce QCM vérifie la maîtrise des suites numériques en L1 : définition quantifiée de la limite, théorèmes de comparaison, limite monotone, suites extraites et suites récurrentes. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Suites numériques du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Suites numériques - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelle phrase traduit \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\) ?
A\(\exists \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant N,\ |u_n - \ell| \leqslant \varepsilon\)
B\(\exists N \in \mathbb{N},\ \forall \varepsilon > 0,\ \forall n \geqslant N,\ |u_n - \ell| \leqslant \varepsilon\)
C\(\forall \varepsilon > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geqslant N,\ |u_n - \ell| \leqslant \varepsilon\)
D\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant N,\ |u_n - \ell| \leqslant \varepsilon\)
Question 2
Soit \((u_n)\) une suite réelle croissante. Laquelle de ces affirmations est vraie ?
A\((u_n)\) converge vers \(\inf_n u_n\) dès qu’elle est bornée
B\((u_n)\) converge si et seulement si elle est majorée
CSi \((u_n)\) est majorée par \(M\), alors elle converge vers \(M\)
D\((u_n)\) converge si et seulement si elle est minorée
Question 3
Deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) sont dites adjacentes lorsque :
Al’une est croissante, l’autre décroissante, et \(u_n \leqslant v_n\) pour tout \(n\)
B\(u_n \leqslant v_n\) pour tout \(n\) et \(v_n - u_n \to 0\)
Celles convergent vers la même limite
Dl’une est croissante, l’autre décroissante, et \(v_n - u_n \to 0\)
Question 4
Que dit le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles ?
AToute suite bornée admet une suite extraite convergente
BToute suite bornée admet une suite extraite monotone et divergente
CToute suite bornée est convergente
DToute suite admet une suite extraite convergente
Question 5
Pourquoi la suite \(u_n = (-1)^n\) diverge-t-elle ?
AParce qu’elle n’est pas monotone
BParce qu’elle n’admet aucune suite extraite convergente
CParce qu’elle n’est pas bornée
D\(u_{2n} \to 1\) et \(u_{2n+1} \to -1\), deux limites différentes
Question 6
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\). Quel est son terme général ?
A\(u_n = 3 \cdot 2^n - 3\)
B\(u_n = (-2)^n - 1\)
C\(u_n = 2^n - (-1)^n\)
D\(u_n = 2^n + (-1)^n\)
Question 7
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 3\). Quel est son terme général ?
A\(u_n = 3 + 2^n\)
B\(u_n = 4 \cdot 2^n - 3\)
C\(u_n = 3 \cdot 2^n + 1\)
D\(u_n = 3 + 2^{n+1}\)
Question 8
Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\). On admet que \((u_n)\) converge. Quelle est sa limite ?
A\(-1\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(\sqrt{2}\)
Question 9
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(u_{n+1} - u_n \to 0\). Que peut-on en déduire ?
A\((u_n)\) est bornée
BRien sur sa convergence : \(u_n = \ln n\) vérifie l’hypothèse et diverge
C\((u_n)\) est monotone à partir d’un certain rang
D\((u_n)\) converge
Question 10
Quelle est la limite de \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^2 + k}\) ?
A\(\frac{1}{2}\)
B\(+\infty\)
C\(1\)
D\(0\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de suites numériques en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la définition \(\varepsilon\)-\(N\) de la convergence ;
le théorème de la limite monotone et les suites adjacentes ;
les suites extraites et le théorème de Bolzano-Weierstrass ;
le théorème des gendarmes pour encadrer une somme ;
les suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d’ordre 2.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : conclure que \((u_n)\) converge parce que \(u_{n+1} – u_n \to 0\). La suite \(u_n = \ln n\) vérifie cette condition et tend pourtant vers \(+\infty\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\), cherchez d’abord un intervalle stable par \(f\), puis étudiez la monotonie de \(f\) sur cet intervalle : les limites possibles sont alors à chercher parmi les points fixes de \(f\) si \(f\) est continue. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Le plus efficace est souvent d’exhiber deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes, ou une suite extraite qui tend vers l’infini.
Une suite bornée converge-t-elle ?
Non, \(((-1)^n)\) est bornée et diverge. Le théorème de Bolzano-Weierstrass garantit seulement l’existence d’une suite extraite convergente.
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