Nombres réels : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des nombres réels en L1 : inégalités, partie entière, borne supérieure et inférieure, propriété d’Archimède et densité. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Nombres réels et borne supérieure du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Nombres réels - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \(A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^* \right\}\). Laquelle de ces affirmations est vraie ?

A \(\sup A = 1\) et \(A\) n’a pas de plus grand élément

B \(\sup A = 0\) et \(A\) n’a pas de plus grand élément

C \(A\) est majorée mais n’a pas de borne supérieure

D \(\sup A = 1\) et \(1\) est le plus grand élément de \(A\)

Question 2

Soit \(A\) une partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\). Quelle propriété caractérise \(M = \sup A\) ?

A \(M\) majore \(A\) et \(\exists \varepsilon > 0,\ \forall a \in A,\ a > M - \varepsilon\)

B \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ |a - M| < \varepsilon\)

C \(M\) majore \(A\) et \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ a > M - \varepsilon\)

D \(M \in A\) et \(\forall a \in A,\ a \leqslant M\)

Question 3

Que vaut la partie entière \(\lfloor -\pi \rfloor\) ?

A \(4\)

B \(-3\)

C \(3\)

D \(-4\)

Question 4

Soit \(A = \left\{ (-1)^n + \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^* \right\}\). Que valent \(\sup A\) et \(\inf A\) ?

A \(\sup A = \frac{3}{2}\) et \(\inf A = -1\)

B \(\sup A = 2\) et \(\inf A = -1\)

C \(\sup A = \frac{3}{2}\) et \(\inf A = 0\)

D \(\sup A = 1\) et \(\inf A = -1\)

Question 5

Quel énoncé exprime la propriété d’Archimède de \(\mathbb{R}\) ?

A \(\exists n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R},\ n > x\)

B \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists q \in \mathbb{Q},\ q = x\)

C \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ n < x\)

D \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ n > x\)

Question 6

Soit \(A = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}\), vue comme partie de \(\mathbb{Q}\). Laquelle de ces affirmations est vraie ?

A \(A\) a un plus grand élément dans \(\mathbb{Q}\)

B \(A\) n’est pas majorée dans \(\mathbb{Q}\)

C \(A\) est majorée dans \(\mathbb{Q}\) mais n’y a pas de borne supérieure

D \(A\) a pour borne supérieure \(2\) dans \(\mathbb{Q}\)

Question 7

Soit \(r \in \mathbb{Q}\). Que peut-on dire du réel \(r + \sqrt{2}\) ?

A Il est irrationnel seulement si \(r \neq 0\)

B Il est toujours irrationnel

C Il est toujours rationnel

D Il est rationnel ou non selon la valeur de \(r\)

Question 8

Quelle est l’approximation décimale par défaut de \(\sqrt{2}\) à \(10^{-2}\) près, c’est-à-dire \(\frac{\lfloor 100\sqrt{2} \rfloor}{100}\) ?

A \(1{,}4\)

B \(1{,}41\)

C \(1{,}414\)

D \(1{,}42\)

Question 9

Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides et majorées de \(\mathbb{R}\). Laquelle de ces égalités est toujours vraie ?

A \(\sup(A + B) = \sup A + \sup B\)

B \(\sup(AB) = \sup A \times \sup B\)

C \(\sup(A \cap B) = \min(\sup A, \sup B)\)

D \(\sup(-A) = -\sup A\)

Question 10

Pour tous réels \(x\) et \(y\), quelle inégalité est vraie ?

A \(|x - y| \leqslant |x| - |y|\)

B \(|x + y| \geqslant |x| + |y|\)

C \(\big| |x| - |y| \big| \leqslant |x - y|\)

D \(|x - y| \leqslant \big| |x| - |y| \big|\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de nombres réels en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la caractérisation de la borne supérieure par \(\varepsilon\) ;
la différence entre borne supérieure et plus grand élément ;
l’axiome de la borne supérieure, qui distingue \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{Q}\) ;
la partie entière et les approximations décimales ;
la propriété d’Archimède et la densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : écrire \(\lfloor -2{,}5 \rfloor = -2\). La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal, donc \(\lfloor -2{,}5 \rfloor = -3\) : ce n’est pas une troncature pour les négatifs.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour déterminer une borne supérieure, procédez toujours en deux temps : montrez que le candidat \(M\) est un majorant, puis, pour \(\varepsilon > 0\) quelconque, exhibez explicitement un élément de la partie strictement supérieur à \(M – \varepsilon\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Nombres réels et borne supérieure, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Récurrence et dénombrement, Nombres complexes, Suites numériques, Limites et continuité. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi a-t-on besoin d’un axiome pour la borne supérieure ?

Parce qu’elle ne découle pas des règles de corps ordonné : \(\mathbb{Q}\) les vérifie aussi, mais \(\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}\) n’y a pas de borne supérieure. L’axiome exprime précisément que \(\mathbb{R}\) n’a pas de « trous ».

Que signifie « \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) » ?

Qu’entre deux réels distincts il existe toujours un rationnel ; de façon équivalente, tout réel est limite d’une suite de rationnels, par exemple de ses approximations décimales.