Logique et ensembles : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Tables de vérité et tautologies

Soient \(P\), \(Q\) et \(R\) trois assertions.

1. Dressez la table de vérité de \(P \Rightarrow Q\), de \(\neg P \vee Q\) et de \(\neg Q \Rightarrow \neg P\). Que constatez-vous ?
2. Montrez que \(((P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow R)) \Rightarrow (P \Rightarrow R)\) est une tautologie.
3. L’assertion \((P \Rightarrow Q) \Rightarrow (Q \Rightarrow P)\) est-elle une tautologie ?
4. Montrez que \(\neg(P \Rightarrow Q)\) est logiquement équivalente à \(P \wedge \neg Q\).

Exercice 2 : Négation d’assertions simples

Dans cet exercice, \(x\) et \(y\) désignent des réels et \(n\) un entier naturel. Écrivez la négation de chaque assertion sous une forme positive, c’est-à-dire sans placer « non » devant toute la phrase.

1. « \(n\) est pair et \(n \geq\, 10\) ».
2. « \(x \leq\, 1\) ou \(x > 5\) ».
3. « \(0 < x \leq\, 3\) ».
4. « Si \(n\) est premier, alors \(n\) est impair ». Cette assertion est-elle vraie pour tout \(n\) ?
5. « \(x = 0 \Leftrightarrow y = 0\) ».

Exercice 3 : Traduction en langage formel

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction. Traduisez chaque phrase à l’aide de quantificateurs.

1. La fonction \(f\) est constante.
2. La fonction \(f\) s’annule au moins une fois.
3. La fonction \(f\) est la fonction nulle.
4. La fonction \(f\) n’est pas la fonction nulle.
5. La fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
6. La fonction \(f\) prend toutes les valeurs réelles.
7. La fonction \(f\) est bornée.
8. Entre deux réels distincts, il existe toujours un rationnel.

Exercice 4 : Vrai ou faux avec quantificateurs

Dites si chaque assertion est vraie ou fausse, puis justifiez. Lorsqu’elle est fausse, écrivez sa négation et démontrez celle-ci.

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y > x\).
2. \(\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y > x\).
3. \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y^2 = x\).
4. \(\forall x \in \mathbb{R}_+,\ \exists y \in \mathbb{R},\ y^2 = x\).
5. \(\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ xy = 0\).
6. \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ xy = 1\).
7. \(\forall n \in \mathbb{N},\ \exists m \in \mathbb{N},\ (n = 2m \text{ ou } n = 2m + 1)\).
8. \(\exists ! x \in \mathbb{R},\ x^2 = 4\).

Exercice 5 : Lecture d’un graphe et quantificateurs

On considère la fonction \(f\) définie sur \([-2, 2]\) par \(f(x) = x^3 – 3x\). Sa courbe est tracée ci-dessous.

Pour chacune des assertions suivantes, conjecturez sa valeur de vérité sur le graphique. Écrivez ensuite sa négation, puis démontrez par le calcul celle des deux qui est vraie.

1. \(\forall x \in [-2, 2],\ -2 \leq\, f(x) \leq\, 2\). On pourra factoriser \(f(x) – 2\) et \(f(x) + 2\).
2. \(\exists x \in [-2, 2],\ f(x) = 0\).
3. \(\exists ! x \in [-2, 2],\ f(x) = 1\).
4. \(\forall y \in [-2, 2],\ \exists x \in [-2, 2],\ f(x) = y\).
5. \(\forall x \in [0, 2],\ f(x) \leq\, 0\).
6. \(\forall (x, y) \in [-2, 2]^2,\ x \leq\, y \Rightarrow f(x) \leq\, f(y)\).

Exercice 6 : Négation de phrases à plusieurs quantificateurs

Soient \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(a \in \mathbb{R}\) et \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite réelle. Écrivez chaque propriété avec des quantificateurs, puis écrivez sa négation.

1. \(f\) est continue en \(a\) : pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(\eta > 0\) tel que tout réel \(x\) vérifiant \(|x – a| \leq\, \eta\) vérifie \(|f(x) – f(a)| \leq\, \varepsilon\).
2. La suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).
3. La suite \((u_n)\) est bornée.
4. La fonction \(f\) est périodique.
5. La fonction \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\) : pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(\eta > 0\) tel que, pour tous réels \(x\) et \(y\), \(|x – y| \leq\, \eta\) entraîne \(|f(x) – f(y)| \leq\, \varepsilon\).
6. La suite \((u_n)\) est croissante à partir d’un certain rang.
7. On pose \(u_n = (-1)^n\). À l’aide de la négation de la convergence vers \(0\), montrez que \((u_n)\) ne converge pas vers \(0\).

Exercice 7 : Ordre des quantificateurs

1. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\). On considère les assertions \(A\) : « \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists M \in \mathbb{R},\ f(x) \leq\, M\) » et \(B\) : « \(\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \leq\, M\) ». Montrez que \(A\) est vraie pour toute fonction \(f\). Que signifie \(B\) ? Donnez une fonction pour laquelle \(B\) est fausse.
2. Dans \(\mathbb{N}\), dites si les assertions suivantes sont vraies ou fausses : \(\forall x\, \exists y,\ x \leq\, y\) ; \(\exists y\, \forall x,\ x \leq\, y\) ; \(\exists x\, \forall y,\ x \leq\, y\) ; \(\forall y\, \exists x,\ x \leq\, y\).
3. Reprenez l’assertion \(\exists x\, \forall y,\ x \leq\, y\) lorsque \(x\) et \(y\) parcourent \(\mathbb{Z}\).
4. Soit \(P(x, y)\) un prédicat, avec \(x \in E\) et \(y \in F\). Démontrez que \((\exists y \in F,\ \forall x \in E,\ P(x, y)) \Rightarrow (\forall x \in E,\ \exists y \in F,\ P(x, y))\).

Exercice 8 : Réciproque et contraposée

Pour chaque implication, où \(x, a, b\) sont réels et \(n\) entier, écrivez la réciproque et la contraposée. Dites ensuite si l’implication et sa réciproque sont vraies.

1. \(x > 1 \Rightarrow x^2 > 1\).
2. \(n\) est multiple de \(6\) \(\Rightarrow\) \(n\) est pair.
3. \(ab = 0 \Rightarrow (a = 0 \text{ ou } b = 0)\).
4. \(x^2 = x \Rightarrow x = 1\).
5. La condition « \(x > 1\) » est-elle nécessaire pour avoir \(x^2 > 1\) ? Est-elle suffisante ?

Exercice 9 : Raisonnements par contraposition

Démontrez chacune des implications suivantes en raisonnant par contraposition.

1. Pour tous réels \(x\) et \(y\) : si \(x \neq y\), alors \((x + 1)(y – 1) \neq (x – 1)(y + 1)\).
2. Pour tout entier \(n\) : si \(n^2 – 1\) n’est pas divisible par \(8\), alors \(n\) est pair.
3. Pour tout réel \(a\) : si \(|a| \leq\, \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\), alors \(a = 0\).
4. Pour tout entier \(n \geq\, 2\) : si \(2^n – 1\) est premier, alors \(n\) est premier. On pourra utiliser l’identité \(x^b – 1 = (x – 1)(x^{b-1} + x^{b-2} + \cdots + x + 1)\).

Exercice 10 : Irrationalité par l’absurde

On admet que \(\sqrt{2}\) est irrationnel et que toute fraction positive s’écrit sous forme irréductible.

1. Montrez par l’absurde que \(\sqrt{6}\) est irrationnel.
2. En calculant \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2\), montrez que \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) est irrationnel.
3. Soient \(x \in \mathbb{Q}\) et \(y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). Montrez que \(x + y\) est irrationnel. Si de plus \(x \neq 0\), montrez que \(xy\) est irrationnel.
4. La somme de deux irrationnels est-elle toujours irrationnelle ?

Exercice 11 : Nombres premiers et logarithmes

1. On admet que tout entier \(N \geq\, 2\) possède au moins un diviseur premier. Montrez par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers. On pourra considérer \(N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1\).
2. Montrez que \(\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\) est irrationnel.
3. Montrez que \(\log_{10} 2 = \dfrac{\ln 2}{\ln 10}\) est irrationnel.

Exercice 12 : Principe des tiroirs

1. Montrez par l’absurde le principe des tiroirs : si l’on range \(n + 1\) objets dans \(n\) tiroirs, alors un tiroir au moins contient deux objets.
2. Soit \(n \geq\, 1\). On choisit \(n + 1\) entiers distincts dans \(\{1, 2, \ldots, 2n\}\). Montrez que deux d’entre eux sont consécutifs.
3. On place cinq points dans un carré plein de côté \(2\). Montrez que deux d’entre eux sont à une distance inférieure ou égale à \(\sqrt{2}\).
4. Soit \(n \geq\, 1\). Montrez que parmi \(n + 1\) entiers quelconques, il en existe deux dont la différence est divisible par \(n\).

Exercice 13 : Choisir un type de raisonnement

Pour chaque énoncé, choisissez un mode de raisonnement adapté, justifiez ce choix, puis rédigez la démonstration.

1. L’assertion « \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq\, x\) » est fausse.
2. Pour tout entier \(n\), si \(n^2\) est divisible par \(3\), alors \(n\) est divisible par \(3\).
3. Pour tous réels \(a, b \geq\, 0\), on a \(\dfrac{a + b}{2} \geq\, \sqrt{ab}\).
4. Il n’existe pas d’entiers relatifs \(a\) et \(b\) tels que \(6a + 9b = 4\).
5. Tout réel \(x\) s’écrit de manière unique \(x = n + r\) avec \(n \in \mathbb{Z}\) et \(r \in [0, 1[\). On admet que, pour tout réel \(x\), il existe un unique entier \(\lfloor x \rfloor\) tel que \(\lfloor x \rfloor \leq\, x < \lfloor x \rfloor + 1\).

Exercice 14 : Analyse-synthèse : parties paire et impaire

1. Montrez qu’une fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) à la fois paire et impaire est la fonction nulle.
2. Par analyse-synthèse, montrez que toute fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire \(g\) et d’une fonction impaire \(h\). Donnez \(g\) et \(h\).
3. Déterminez les parties paire et impaire des fonctions \(x \mapsto x^3 + 2x^2 – x + 5\), \(x \mapsto e^x\) et \(x \mapsto \dfrac{1}{1 + e^x}\).
4. Montrez de même que toute fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) s’écrit de manière unique \(f = g + h\), où \(g\) est affine, c’est-à-dire de la forme \(x \mapsto \alpha x + \beta\), et où \(h\) vérifie \(h(0) = h(1) = 0\).

Exercice 15 : Analyse-synthèse : équations fonctionnelles

Dans chaque question, déterminez toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) vérifiant la condition donnée. Séparez clairement l’analyse et la synthèse.

1. \(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ f(x + y) + f(x – y) = 2x^2 + 2y^2\).
2. \(\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) + 2f(1 – x) = x\).
3. \(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ f(x)f(y) – f(xy) = x + y\).

Exercice 16 : Ensembles définis par une propriété

1. Écrivez en extension les ensembles \(A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ divise } 12\}\), \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 – 3x + 2 = 0\}\) et \(C = \{n \in \mathbb{Z} \mid |n – 1| \leq\, 2\}\).
2. Écrivez sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles : \(I = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \leq\, 4\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}\), le complémentaire \(J\) dans \(\mathbb{R}\) de \(]-\infty, 1] \cup [3, +\infty[\), et \(K = \{x \in \mathbb{R} \mid |x – 2| < 1\} \cup \{x \in \mathbb{R} \mid |x – 3| \leq\, 1\}\).
3. On note \(\bigcup_{n \geq\, 1} A_n\) l’ensemble des réels qui appartiennent à au moins un \(A_n\), et \(\bigcap_{n \geq\, 1} A_n\) celui des réels qui appartiennent à tous les \(A_n\). Montrez que \[\bigcup_{n \geq\, 1} [\frac{1}{n}, 2 – \frac{1}{n}] = \,]0, 2[ \qquad \text{et} \qquad \bigcap_{n \geq\, 1} ]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}[ = \{0\}.\]

Exercice 17 : Égalités d’ensembles

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois parties d’un ensemble \(E\). La figure ci-dessous découpe \(E\) en huit zones numérotées de 1 à 8.

1. Donnez les numéros des zones qui composent \(A \cap (B \cup C)\), \((A \cap B) \cup (A \cap C)\), \(A \setminus (B \cap C)\), \((A \setminus B) \cup (A \setminus C)\), \((A \setminus B) \setminus C\) et \(A \setminus (B \cup C)\). Quelles égalités conjecturez-vous ?
2. Démontrez par double inclusion que \(A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\).
3. Démontrez par une chaîne d’équivalences que \((A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)\).
4. Démontrez que \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

Exercice 18 : Inclusions et simplifications

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois parties d’un ensemble \(E\).

1. Montrez que \(A \cup B = A \cap B\) si et seulement si \(A = B\).
2. Montrez que \(A \cup B \subset A \cap C\) si et seulement si \(B \subset A \subset C\).
3. Montrez que si \(A \cap B = A \cap C\) et \(A \cup B = A \cup C\), alors \(B = C\).
4. Montrez par des contre-exemples qu’aucune des deux hypothèses de la question 3 ne suffit seule.
5. Montrez que \(A \subset B\) si et seulement si \(\overline{B} \subset \overline{A}\).

Exercice 19 : Ensemble des parties

1. Écrivez \(\mathcal{P}(E)\) pour \(E = \{0, 1, 2\}\).
2. Écrivez \(\mathcal{P}(\varnothing)\) et \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))\).
3. Avec \(E = \{0, 1, 2\}\), dites si chaque assertion est vraie ou fausse : \(0 \in E\) ; \(\{0\} \in E\) ; \(\{0\} \subset E\) ; \(\{0\} \in \mathcal{P}(E)\) ; \(\varnothing \in \mathcal{P}(E)\) ; \(\varnothing \subset \mathcal{P}(E)\) ; \(\{\{0\}, \{1, 2\}\} \subset \mathcal{P}(E)\) ; \(E \in \mathcal{P}(E)\).
4. Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles. Montrez que \(\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)\).
5. Montrez que \(\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A \cup B)\), et que l’inclusion peut être stricte.

Exercice 20 : Produit cartésien

1. Soient \(G = \{1, 2\}\) et \(H = \{a, b, c\}\). Écrivez \(G \times H\) en extension. A-t-on \(G \times H = H \times G\) ?

Dans la suite, \(A\) et \(C\) sont des parties d’un ensemble \(E\), et \(B\) et \(D\) des parties d’un ensemble \(F\).

2. Montrez que \((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)\).
3. Montrez que \((A \times B) \cup (C \times D) \subset (A \cup C) \times (B \cup D)\).
4. On prend \(E = F = \mathbb{R}\), \(A = B = [0, 1]\) et \(C = D = [2, 3]\), comme sur la figure ci-dessous. Montrez que l’inclusion de la question 3 est alors stricte.
5. Montrez que \(A \times B = \varnothing\) si et seulement si \(A = \varnothing\) ou \(B = \varnothing\).

Exercice 21 : Fonctions indicatrices

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). On note \(A \,\Delta\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\) la différence symétrique de \(A\) et \(B\).

1. Exprimez \(\mathbf{1}_{A \setminus B}\) et \(\mathbf{1}_{A \Delta B}\) en fonction de \(\mathbf{1}_A\) et \(\mathbf{1}_B\).
2. Démontrez la loi de De Morgan \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) à l’aide des indicatrices.
3. Montrez que \(A \subset B\) si et seulement si \(\mathbf{1}_A \mathbf{1}_B = \mathbf{1}_A\).
4. Vérifiez que \((\mathbf{1}_A – \mathbf{1}_B)^2 = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B – 2\mathbf{1}_A \mathbf{1}_B\). Retrouvez alors, avec les indicatrices, que \(A \cup B = A \cap B\) équivaut à \(A = B\).

Exercice 22 : Indicatrices et formule du crible

Soient \(E\) un ensemble fini et \(A\), \(B\), \(C\) trois parties de \(E\).

1. Justifiez que \(\operatorname{card}(A) = \sum_{x \in E} \mathbf{1}_A(x)\).
2. Montrez que \(\mathbf{1}_{A \cup B \cup C} = 1 – (1 – \mathbf{1}_A)(1 – \mathbf{1}_B)(1 – \mathbf{1}_C)\), puis développez.
3. Déduisez-en une formule pour \(\operatorname{card}(A \cup B \cup C)\).
4. Dans une promotion de \(100\) étudiants, \(45\) suivent un cours d’espagnol, \(38\) d’allemand et \(30\) d’italien. De plus, \(12\) suivent espagnol et allemand, \(10\) espagnol et italien, \(8\) allemand et italien, et \(3\) suivent les trois. Combien d’étudiants ne suivent aucune de ces trois langues ? Combien en suivent exactement une ?

Exercice 23 : Problème : la différence symétrique

Soit \(E\) un ensemble. Pour \(A, B \in \mathcal{P}(E)\), on pose \(A \,\Delta\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\).

1. Montrez que \(A \,\Delta\, B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\).
2. Montrez que \(\mathbf{1}_{A \Delta B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B – 2\mathbf{1}_A \mathbf{1}_B\).
3. Calculez \(A \,\Delta\, \varnothing\), \(A \,\Delta\, A\) et \(A \,\Delta\, E\).
4. Montrez que la différence symétrique est associative : \((A \,\Delta\, B) \,\Delta\, C = A \,\Delta\, (B \,\Delta\, C)\). Décrivez les éléments de \(A \,\Delta\, B \,\Delta\, C\).
5. Montrez que \(A \,\Delta\, B = \varnothing\) si et seulement si \(A = B\).
6. Soient \(A, B \in \mathcal{P}(E)\). Montrez que l’équation \(A \,\Delta\, X = B\), d’inconnue \(X \in \mathcal{P}(E)\), possède une unique solution, que vous déterminerez. Déduisez-en que \(A \,\Delta\, B = A \,\Delta\, C\) entraîne \(B = C\).
7. Montrez que \(A \cap (B \,\Delta\, C) = (A \cap B) \,\Delta\, (A \cap C)\).

Exercice 24 : Problème : l’argument diagonal de Cantor

Soit \(E\) un ensemble. On suppose qu’à chaque élément \(x\) de \(E\) on associe une partie \(f(x)\) de \(E\). On pose \[D = \{x \in E \mid x \notin f(x)\}.\]

1. Dans cette question, \(E = \{1, 2, 3\}\), \(f(1) = \{1, 2\}\), \(f(2) = \varnothing\) et \(f(3) = \{1, 3\}\). Déterminez \(D\) et vérifiez que \(D\) n’est égal à aucune des parties \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\).
2. Revenons au cas général. Soit \(a \in E\). En raisonnant par l’absurde et en vous demandant si \(a \in D\), montrez que \(D \neq f(a)\).
3. Déduisez-en qu’il n’existe aucune façon d’associer à chaque élément de \(E\) une partie de \(E\) de sorte que toutes les parties de \(E\) soient atteintes.
4. Soit \((s_k)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite de suites, chaque \(s_k = (s_k(n))_{n \in \mathbb{N}}\) étant à valeurs dans \(\{0, 1\}\). On définit la suite \(t\) par \(t(n) = 1 – s_n(n)\). Montrez que \(t\) est différente de chaque \(s_k\). Quel lien voyez-vous avec la question 3, via les fonctions indicatrices des parties de \(\mathbb{N}\) ?
5. Montrez par l’absurde qu’il n’existe pas d’ensemble \(U\) dont les éléments seraient tous les ensembles. On pourra considérer \(R = \{x \in U \mid x \notin x\}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : logique et ensembles, cours de maths en L1
• Chapitre suivant : Applications et relations binaires
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3