Déterminants : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des déterminants en L1 : signature, forme \(n\)-linéaire alternée, propriétés du déterminant, développement, comatrice, Cramer et Vandermonde. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Déterminants du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Déterminants - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Quelle est la signature du cycle \((1\ 2\ 3\ 4)\) de \(\mathfrak{S}_4\) ?

A \(1\)

B \(4\)

C \(-1\)

D \(0\)

Question 2

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) avec \(\det A = 2\). Que vaut \(\det(-2A)\) ?

A \(-4\)

B \(-16\)

C \(4\)

D \(16\)

Question 3

Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), laquelle de ces égalités est toujours vraie ?

A \(\det(A^T) = \det A\)

B \(\det(A + B) = \det A + \det B\)

C \(\det(-A) = -\det A\)

D \(\det(AB) = \det A + \det B\)

Question 4

Que vaut \(\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix}\) ?

A \(3\)

B \(0\)

C \(-9\)

D \(-3\)

Question 5

Que vaut le déterminant de Vandermonde \(\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}\) ?

A \(-2\)

B \(2\)

C \(1\)

D \(6\)

Question 6

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) inversible, quelle formule donne \(A^{-1}\) à l’aide de la comatrice ?

A \(A^{-1} = \mathrm{Com}(A)^T\)

B \(A^{-1} = \det A \cdot \mathrm{Com}(A)^T\)

C \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\, \mathrm{Com}(A)^T\)

D \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\, \mathrm{Com}(A)\)

Question 7

Par les formules de Cramer, quelle est la solution du système \(2x + y = 5\), \(x + 3y = 5\) ?

A \(x = 2\), \(y = 1\)

B \(x = 1\), \(y = 2\)

C \(x = 10\), \(y = 5\)

D \(x = 2\), \(y = -1\)

Question 8

Quel est l’effet de l’opération \(C_1 \leftarrow C_1 + 3C_2\) sur le déterminant d’une matrice carrée ?

A Il est multiplié par \(3\)

B Il change de signe

C Il est multiplié par \(4\)

D Il ne change pas

Question 9

Soit \(D_n\) le déterminant de taille \(n\) ayant des \(2\) sur la diagonale, des \(-1\) juste au-dessus et juste au-dessous, et des \(0\) ailleurs. Que vaut \(D_n\) ?

A \(n\)

B \(2^n\)

C \(n + 1\)

D \(2n\)

Question 10

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), laquelle de ces conditions équivaut à \(\det A \neq 0\) ?

A Tous les coefficients diagonaux de \(A\) sont non nuls

B Les colonnes de \(A\) forment une base de \(\mathbb{R}^n\)

C Aucun coefficient de \(A\) n’est nul

D Au moins une colonne de \(A\) est non nulle

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de déterminants en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la signature d’une permutation, en particulier d’un cycle ;
les propriétés \(\det(AB) = \det A \det B\), \(\det(A^T) = \det A\) et \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det A\) ;
le calcul par opérations élémentaires et par développement selon une ligne ;
la comatrice et les formules de Cramer ;
les déterminants de Vandermonde et tridiagonaux.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : écrire \(\det(2A) = 2\det A\). Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne, donc multiplier la matrice entière par \(\lambda\) multiplie le déterminant par \(\lambda^n\).

Comment réviser avant de refaire le test

Avant de développer un déterminant, faites apparaître un maximum de zéros par des opérations \(C_i arrow C_i + \lambda C_j\), qui ne changent pas sa valeur ; ne développez qu’ensuite, selon la ligne ou la colonne la plus creuse. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Déterminants, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Applications linéaires, Matrices et changement de base, Géométrie du plan et de l’espace, Probabilités finies. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi le déterminant est-il défini comme forme \(n\)-linéaire alternée ?

Parce que les formes \(n\)-linéaires alternées sur un espace de dimension \(n\) forment une droite : il en existe une seule valant \(1\) sur une base donnée. Toutes les propriétés du déterminant découlent de cette unicité.

Les formules de Cramer sont-elles efficaces en pratique ?

Elles sont précieuses en théorie et pour les petits systèmes, surtout avec paramètre. Pour un grand système numérique, le pivot de Gauss demande beaucoup moins de calculs.