Matrices et changement de base : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Matrice d’une application de R³ dans R²

On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) définie par \(f(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x-y+z)\).

1. Écrivez la matrice \(A\) de \(f\) dans les bases canoniques de \(\mathbb{R}^3\) et de \(\mathbb{R}^2\).
2. Calculez \(f(1, 1, 1)\) à l’aide d’un produit matriciel.
3. On pose \(v_1=(1, 0, 0)\), \(v_2=(1, 1, 0)\) et \(v_3=(1, 1, 1)\). Admettez que \(\mathcal{B}^{\prime}=(v_1,v_2,v_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Écrivez la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}^{\prime}\) au départ et la base canonique à l’arrivée.
4. Déterminez le rang de \(A\), puis une base du noyau de \(f\).

Exercice 2 : Matrice de la dérivation

Soit \(D\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}_3[X]\) défini par \(D(P)=P^{\prime}\). On note \(\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)\) la base canonique.

1. Écrivez la matrice \(M\) de \(D\) dans la base \(\mathcal{B}\).
2. Calculez \(M^2\), \(M^3\) et \(M^4\). Interprétez le résultat en termes de dérivées successives.
3. Donnez le rang et la trace de \(M\).
4. On considère maintenant \(\Delta:\mathbb{R}_3[X]\to\mathbb{R}_2[X]\), \(P\mapsto P^{\prime}\). Écrivez sa matrice dans les bases canoniques. Quelle est sa taille ?

Exercice 3 : Rotations du plan et formules d’addition

Pour \(\theta\in\mathbb{R}\), on note \(r_\theta\) la rotation vectorielle d’angle \(\theta\) du plan \(\mathbb{R}^2\), et \((e_1,e_2)\) la base canonique. La figure ci-dessous représente les images des deux vecteurs de base.

1. Donnez les coordonnées de \(r_\theta(e_1)\) et de \(r_\theta(e_2)\). Déduisez-en la matrice \(R_\theta\) de \(r_\theta\).
2. Calculez le produit \(R_\theta R_\varphi\). Sachant que \(r_\theta\circ r_\varphi=r_{\theta+\varphi}\), retrouvez les formules donnant \(\cos(\theta+\varphi)\) et \(\sin(\theta+\varphi)\).
3. Justifiez que \(R_\theta\) est inversible et donnez son inverse.
4. Calculez la trace de \(R_\theta\). Pour quelles valeurs de \(\theta\) la rotation \(r_\theta\) est-elle une symétrie ?

Exercice 4 : Coordonnées dans une nouvelle base du plan

Dans \(\mathbb{R}^2\) muni de sa base canonique \(\mathcal{B}\), on pose \(u_1=(2, 1)\) et \(u_2=(1, 1)\). La figure ci-dessous représente ces vecteurs et le vecteur \(v=(3, 5)\).

1. Montrez que \(\mathcal{B}^{\prime}=(u_1,u_2)\) est une base de \(\mathbb{R}^2\). Écrivez la matrice de passage \(P\) de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\).
2. Calculez \(P^{-1}\).
3. Déterminez les coordonnées de \(v\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). Vérifiez le résultat.
4. Un vecteur \(w\) a pour coordonnées \((1,-1)\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). Quelles sont ses coordonnées dans \(\mathcal{B}\) ?

Exercice 5 : Calcul de rangs

Déterminez le rang de chacune des matrices suivantes par la méthode du pivot.

\[A=\begin{pmatrix}1 2 3\\ 4 5 6\\ 7 8 9\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 1 0 1\\ 0 1 1 1\\ 1 2 1 2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 2 1\\ 2 1 1\\ 1 1 2\end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix}1 -1\\ 2 -2\\ 3 -3\end{pmatrix}.\]

1. Calculez \(\mathrm{rg}(A)\), \(\mathrm{rg}(B)\), \(\mathrm{rg}(C)\) et \(\mathrm{rg}(E)\).
2. Sans calcul, donnez le rang de \(B^{T}\) et de \(E^{T}\).
3. Parmi \(A\) et \(C\), laquelle est inversible ?

Exercice 6 : Trace et produit de matrices

1. Soit \(A=\begin{pmatrix}1 2\\ 3 4\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0 1\\ 1 1\end{pmatrix}\). Calculez \(AB\), \(BA\), puis leurs traces. Comparez aussi avec \(\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)\).
2. On note \(E_{11}\), \(E_{12}\), \(E_{21}\) les matrices élémentaires de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Calculez \(\mathrm{tr}(E_{11}E_{12}E_{21})\) et \(\mathrm{tr}(E_{11}E_{21}E_{12})\). Qu’en concluez-vous ?
3. Montrez qu’il n’existe pas de matrices \(A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que \(AB-BA=I_n\).

Exercice 7 : Changement de bases pour une application de R³ dans R²

On reprend \(f(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x-y+z)\), de matrice \(A\) dans les bases canoniques. On considère la base \(\mathcal{B}^{\prime}=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\mathbb{R}^3\), avec \(v_1=(1, 0, 0)\), \(v_2=(1, 1, 0)\), \(v_3=(1, 1, 1)\), et la base \(\mathcal{C}^{\prime}=(w_1,w_2)\) de \(\mathbb{R}^2\), avec \(w_1=(1, 1)\) et \(w_2=(0, 1)\).

1. Écrivez les matrices de passage \(P\) (dans \(\mathbb{R}^3\)) et \(Q\) (dans \(\mathbb{R}^2\)).
2. Calculez \(Q^{-1}\).
3. Déduisez-en la matrice \(A^{\prime}\) de \(f\) dans les bases \(\mathcal{B}^{\prime}\) et \(\mathcal{C}^{\prime}\).
4. Vérifiez la deuxième colonne de \(A^{\prime}\) en calculant directement \(f(v_2)\).

Exercice 8 : Endomorphisme du plan et puissances

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(A=\begin{pmatrix}4 -2\\ 1 1\end{pmatrix}\) dans la base canonique. On pose \(u_1=(1, 1)\) et \(u_2=(2, 1)\).

1. Calculez \(f(u_1)\) et \(f(u_2)\). Montrez que \(\mathcal{B}^{\prime}=(u_1,u_2)\) est une base et donnez la matrice \(D\) de \(f\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\).
2. Écrivez la matrice de passage \(P\) et calculez \(P^{-1}\). Vérifiez que \(P^{-1}AP=D\).
3. Calculez \(A^n\) pour tout entier \(n\geq\,0\).
4. On définit deux suites par \(x_0=1\), \(y_0=0\) et, pour tout \(n\), \(x_{n+1}=4x_n-2y_n\), \(y_{n+1}=x_n+y_n\). Exprimez \(x_n\) et \(y_n\) en fonction de \(n\).

Exercice 9 : Composée de la multiplication par X et de la dérivation

On considère \(f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_3[X]\), \(P\mapsto XP\), et \(g:\mathbb{R}_3[X]\to\mathbb{R}_2[X]\), \(P\mapsto P^{\prime}\). Les espaces sont munis de leurs bases canoniques.

1. Écrivez les matrices \(F\) de \(f\) et \(G\) de \(g\). Précisez leurs tailles.
2. Calculez \(GF\) et \(FG\).
3. Retrouvez ces résultats en calculant directement \(g\circ f\) et \(f\circ g\).
4. Comparez \(\mathrm{tr}(GF)\) et \(\mathrm{tr}(FG)\). L’application \(g\circ f\) est-elle bijective ? Et \(f\circ g\) ?

Exercice 10 : Translation des polynômes et matrice inverse

Soit \(\tau\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}_2[X]\) défini par \(\tau(P)=P(X+1)\). On note \(T\) sa matrice dans la base \((1,X,X^2)\).

1. Écrivez la matrice \(T\).
2. Justifiez que \(\tau\) est un automorphisme et donnez sa réciproque. Déduisez-en \(T^{-1}\) sans calcul d’inverse, puis vérifiez que \(TT^{-1}=I_3\).
3. Pour \(n\in\mathbb{N}\), identifiez l’endomorphisme \(\tau^n\) et déduisez-en \(T^n\).
4. Donnez la trace et le rang de \(T\).

Exercice 11 : Interpolation et matrice de Vandermonde

Soit \(\varphi:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}^3\), \(P\mapsto \big(P(0),P(1),P(2)\big)\).

1. Montrez que \(\varphi\) est linéaire et écrivez sa matrice \(V\) dans les bases canoniques.
2. Calculez \(V^{-1}\). Déduisez-en que \(\varphi\) est un isomorphisme.
3. Déterminez l’unique \(P\in\mathbb{R}_2[X]\) tel que \(P(0)=1\), \(P(1)=0\) et \(P(2)=3\).
4. Interprétez les colonnes de \(V^{-1}\) comme des polynômes \(L_0,L_1,L_2\). Que valent \(L_i(j)\) pour \(i,j\in\{0, 1, 2\}\) ?

Exercice 12 : Rang selon un paramètre

Pour \(m\in\mathbb{R}\), on pose \(A_m=\begin{pmatrix}1 1 m\\ 1 m 1\\ m 1 1\end{pmatrix}\).

1. Calculez le déterminant de \(A_m\) et factorisez-le.
2. Déduisez-en le rang de \(A_m\) selon les valeurs de \(m\).
3. Pour \(m=1\) puis pour \(m=-2\), déterminez le noyau de l’endomorphisme canoniquement associé à \(A_m\), et vérifiez le théorème du rang.

Exercice 13 : Dimension d’espaces d’applications linéaires

Soit \(u\) un vecteur non nul de \(\mathbb{R}^3\) et \(D=\mathrm{Vect}(d)\) une droite de \(\mathbb{R}^3\).

1. Quelle est la dimension de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2)\) ? Décrivez une base de cet espace.
2. Soit \(\mathcal{F}=\{f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3) : f(u)=0\}\). Montrez que \(\mathcal{F}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)\) de dimension 6. On utilisera une base de \(\mathbb{R}^3\) dont le premier vecteur est \(u\).
3. Soit \(\mathcal{G}=\{f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3) : \mathrm{Im}\,f\subset D\}\). Montrez que \(\dim\mathcal{G}=3\).
4. Déterminez \(\dim(\mathcal{F}\cap\mathcal{G})\), puis \(\dim(\mathcal{F}+\mathcal{G})\).

Exercice 14 : Inverse à gauche et inverse à droite

Soit \(A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB=I_n\). On note \(a\) et \(b\) les endomorphismes de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associés à \(A\) et \(B\).

1. Montrez que \(b\) est injectif.
2. Déduisez-en que \(b\) est un automorphisme, puis que \(BA=I_n\).
3. On prend \(A=\begin{pmatrix}1 0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{1, 2}(\mathbb{R})\) et \(B=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2, 1}(\mathbb{R})\). Calculez \(AB\) et \(BA\). Pourquoi le raisonnement précédent ne s’applique-t-il pas ?

Exercice 15 : Reconnaître un projecteur et une symétrie du plan

Soit \(p\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(A=\begin{pmatrix}2 -2\\ 1 -1\end{pmatrix}\) dans la base canonique. La figure ci-dessous représente les droites \(D_1\) et \(D_2\) ainsi que le point \(M(3;1)\).

1. Calculez \(A^2\). Que peut-on en déduire pour \(p\) ?
2. Montrez que \(\mathrm{Im}\,p=D_1\) et \(\ker p=D_2\).
3. Écrivez la matrice de \(p\) dans la base \(\big((2, 1),(1, 1)\big)\). Comparez sa trace et son rang.
4. Calculez \(p(M)\) et décomposez \(M\) selon \(D_1\oplus D_2\).
5. Soit \(S=2A-I_2\). Vérifiez que \(S^2=I_2\), décrivez la symétrie \(s\) associée et calculez \(s(M)\).

Exercice 16 : Projection sur un plan de R³

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère le plan \(\Pi\) d’équation \(x+y-z=0\) et la droite \(D=\mathrm{Vect}(0, 0, 1)\).

1. Montrez que \(\mathbb{R}^3=\Pi\oplus D\).
2. Soit \(p\) la projection sur \(\Pi\) parallèlement à \(D\). Calculez \(p(x,y,z)\) et écrivez la matrice \(A\) de \(p\) dans la base canonique.
3. Vérifiez que \(A^2=A\), et calculez \(\mathrm{tr}(A)\).
4. Donnez une base \(\mathcal{B}^{\prime}\) adaptée à la décomposition \(\Pi\oplus D\), la matrice de passage \(P\), et la matrice de \(p\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\).
5. Écrivez la matrice \(S\) de la symétrie par rapport à \(\Pi\) parallèlement à \(D\), et vérifiez que \(S^2=I_3\).

Exercice 17 : Matrice équivalente à J₁

Soit \(A=\begin{pmatrix}1 -1 2\\ -2 2 -4\end{pmatrix}\) et \(f\) l’application de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\) canoniquement associée.

1. Déterminez le rang de \(A\) et une base du noyau de \(f\).
2. Construisez une base \(\mathcal{B}^{\prime}\) de \(\mathbb{R}^3\) et une base \(\mathcal{C}^{\prime}\) de \(\mathbb{R}^2\) dans lesquelles la matrice de \(f\) est \(J_1=\begin{pmatrix}1 0 0\\ 0 0 0\end{pmatrix}\).
3. Écrivez les matrices de passage \(P\) et \(Q\), puis vérifiez que \(Q^{-1}AP=J_1\).

Exercice 18 : Transposition dans les matrices carrées d’ordre 2

Soit \(t\) l’endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) défini par \(t(M)=M^{T}\). On note \(\mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\) la base canonique.

1. Écrivez la matrice \(T\) de \(t\) dans \(\mathcal{B}\), et calculez \(T^2\).
2. Déduisez-en que \(t\) est une symétrie. Par rapport à quel sous-espace, et parallèlement à quel sous-espace ?
3. Donnez une base adaptée et la matrice de \(t\) dans cette base.
4. Calculez la trace de \(t\) de deux façons.

Exercice 19 : Matrices semblables ou non

1. Montrez que la seule matrice semblable à \(I_n\) est \(I_n\). Déduisez-en que \(\begin{pmatrix}1 1\\ 0 1\end{pmatrix}\) n’est pas semblable à \(I_2\), bien qu’elles aient même trace, même rang et même déterminant.
2. Montrez que \(\begin{pmatrix}1 1\\ 0 1\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}1 0\\ 1 1\end{pmatrix}\) sont semblables, en interprétant un échange des vecteurs de base.
3. Montrez que \(\begin{pmatrix}1 0\\ 0 0\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}0 1\\ 0 0\end{pmatrix}\) sont équivalentes mais pas semblables.
4. Montrez que \(A=\begin{pmatrix}1 2\\ 0 3\end{pmatrix}\) est semblable à \(\mathrm{diag}(1, 3)\), en donnant une matrice de passage.
5. Montrez que si \(A\) et \(B\) sont semblables, alors \(A^2\) et \(B^2\) le sont aussi. Soit \(N\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) la matrice dont les seuls coefficients non nuls sont \(n_{12}=n_{23}=1\), et \(N^{\prime}\) celle dont les seuls coefficients non nuls sont \(n^{\prime}_{12}=n^{\prime}_{34}=1\). Montrez que \(N\) et \(N^{\prime}\) ont même rang et même trace, mais ne sont pas semblables.

Exercice 20 : Matrices de rang 1

Dans cet exercice, \(n\) et \(p\) sont des entiers non nuls.

1. Soit \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\). Montrez que \(\mathrm{rg}(AB)\leq\,\mathrm{rg}(A)\) et \(\mathrm{rg}(AB)\leq\,\mathrm{rg}(B)\).
2. Montrez que \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) est de rang 1 si et seulement s’il existe des colonnes non nulles \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\) et \(Y\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\) telles que \(A=XY^{T}\).
3. On suppose \(n=p\) et \(A=XY^{T}\) de rang 1. Montrez que \(A^2=\mathrm{tr}(A)\,A\).
4. Déduisez-en que si \(\mathrm{tr}(A)\neq0\), la matrice \(\frac{1}{\mathrm{tr}(A)}A\) est celle d’un projecteur, et que si \(\mathrm{tr}(A)=0\), alors \(A^2=0\).
5. Appliquez ces résultats à \(\begin{pmatrix}1 2\\ 2 4\end{pmatrix}\) et à \(\begin{pmatrix}1 -1\\ 1 -1\end{pmatrix}\).

Exercice 21 : Endomorphismes de carré nul en dimension 3

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension 3 et \(f\in\mathcal{L}(E)\) tel que \(f\neq0\) et \(f\circ f=0\).

1. Montrez que \(\mathrm{Im}\,f\subset\ker f\), puis que \(\mathrm{rg}(f)=1\).
2. Soit \(e_3\) un vecteur tel que \(f(e_3)\neq0\), et \(e_1=f(e_3)\). Justifiez que l’on peut compléter \(e_1\) en une base \((e_1,e_2)\) de \(\ker f\).
3. Montrez que \((e_1,e_2,e_3)\) est une base de \(E\) et écrivez la matrice de \(f\) dans cette base.
4. Déduisez-en que toutes les matrices non nulles \(A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^2=0\) sont semblables entre elles.
5. Application : soit \(A=\begin{pmatrix}1 -1 0\\ 1 -1 0\\ 0 0 0\end{pmatrix}\). Vérifiez que \(A^2=0\) et donnez explicitement une matrice \(P\) inversible telle que \(P^{-1}AP=E_{13}\).

Exercice 22 : Matrices semblables seulement à elles-mêmes

Soit \(n\geq\,2\) et \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(P^{-1}AP=A\) pour toute \(P\in GL_n(\mathbb{K})\).

1. Interprétez cette hypothèse en termes d’endomorphisme et de changement de base.
2. Soit \(i\neq j\). Montrez que \(P=I_n+E_{ij}\) est inversible et que \(AE_{ij}=E_{ij}A\).
3. En calculant les coefficients de \(AE_{ij}\) et de \(E_{ij}A\), montrez que \(A=\lambda I_n\) pour un certain \(\lambda\in\mathbb{K}\).
4. Réciproquement, vérifiez que les matrices \(\lambda I_n\) conviennent. Concluez : quels sont les endomorphismes qui ont la même matrice dans toutes les bases ?

Exercice 23 : Problème : puissances d’une matrice et suites couplées

On pose \(J\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent 1, et \(A=J-I_3=\begin{pmatrix}0 1 1\\ 1 0 1\\ 1 1 0\end{pmatrix}\). On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

1. Déterminez le rang de \(A+I_3\) et celui de \(A-2I_3\).
2. Déterminez \(\ker(A+I_3)\) et \(\ker(A-2I_3)\). Montrez que \(\mathbb{R}^3=\ker(A+I_3)\oplus\ker(A-2I_3)\).
3. On pose \(u_1=(1,-1, 0)\), \(u_2=(0, 1,-1)\) et \(u_3=(1, 1, 1)\). Montrez que \(\mathcal{B}^{\prime}=(u_1,u_2,u_3)\) est une base, écrivez la matrice de passage \(P\) et calculez \(P^{-1}\).
4. Calculez la matrice \(D\) de \(f\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). Vérifiez la cohérence des traces de \(A\) et de \(D\).
5. Soit \(q\) la projection sur \(\ker(A-2I_3)\) parallèlement à \(\ker(A+I_3)\). Montrez que sa matrice canonique est \(\frac{1}{3}J\), puis que \(A=3\cdot\frac{1}{3}J-I_3\). Déduisez-en \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
6. On définit trois suites par \(a_0=1\), \(b_0=c_0=0\) et, pour tout \(n\), \(a_{n+1}=b_n+c_n\), \(b_{n+1}=a_n+c_n\), \(c_{n+1}=a_n+b_n\). Exprimez \(a_n\), \(b_n\) et \(c_n\) en fonction de \(n\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : matrices et changement de base, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Applications linéaires, Systèmes linéaires et calcul matriciel
• Chapitre précédent : Applications linéaires
• Chapitre suivant : Déterminants
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3