Ce QCM vérifie la maîtrise des applications et des relations binaires en L1 : images directes et réciproques, injectivité, surjectivité, relations d’équivalence et d’ordre. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Applications et relations binaires du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Applications et relations - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^2\). Que vaut \(f^{-1}([1, 4])\) ?
A\([-2, -1] \cup [1, 2]\)
B\([1, 2]\)
C\([-2, 2]\)
D\([1, 16]\)
Question 2
Sur \(\mathbb{R}\), on définit \(x \mathrel{R} y \iff |x - y| \leqslant 1\). Quelles propriétés possède \(R\) ?
ASymétrique et transitive, mais pas réflexive
BRéflexive, symétrique et transitive
CRéflexive et symétrique, mais pas transitive
DRéflexive et transitive, mais pas symétrique
Question 3
Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\). Si \(g \circ f\) est injective, que peut-on affirmer à coup sûr ?
A\(g\) est surjective
B\(f\) est injective
C\(g\) est injective
D\(f\) et \(g\) sont injectives
Question 4
Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\). Si \(g \circ f\) est surjective, que peut-on affirmer à coup sûr ?
Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \mathrel{R} y \iff x^2 = y^2\). Quelle est la classe d’équivalence de \(-2\) ?
A\(\{-2, 2\}\)
B\([-2, 2]\)
C\(\{4\}\)
D\(\{-2\}\)
Question 7
Sur \(\mathbb{N}^*\), la relation de divisibilité \(a \mid b\) est :
Aréflexive et transitive mais non antisymétrique
Bune relation d’équivalence
Cune relation d’ordre total
Dune relation d’ordre partiel
Question 8
Dans \(\mathbb{N}^*\) ordonné par la divisibilité, que dire de la partie \(\{2, 3\}\) ?
AElle n’a pas de plus grand élément et aucun majorant
BSon plus grand élément est \(6\)
CElle n’a pas de plus grand élément, et \(6\) est le plus petit de ses majorants
DSon plus grand élément est \(3\)
Question 9
L’application \(f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(x \mapsto \frac{2x + 1}{x - 1}\) est bijective. Quelle est sa réciproque ?
A\(y \mapsto \dfrac{y + 1}{y - 2}\)
B\(y \mapsto \dfrac{y - 1}{2y + 1}\)
C\(y \mapsto \dfrac{y + 1}{y + 2}\)
D\(y \mapsto \dfrac{y - 1}{y - 2}\)
Question 10
Pour une application \(f : E \to F\) quelconque et des parties convenables, laquelle de ces égalités est toujours vraie ?
A\(f(f^{-1}(B)) = B\)
B\(f^{-1}(B \cap C) = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(C)\)
C\(f^{-1}(f(A)) = A\)
D\(f(A \cap A') = f(A) \cap f(A')\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de applications et relations en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le calcul d’une image directe \(f(A)\) et d’une image réciproque \(f^{-1}(B)\) ;
les liens entre composition et injectivité ou surjectivité ;
la détermination d’une application réciproque ;
les classes d’équivalence d’une relation ;
les relations d’ordre partielles, majorants et plus grand élément.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire que la notation \(f^{-1}(B)\) suppose \(f\) bijective. L’image réciproque existe pour toute application ; seule la bijection réciproque exige la bijectivité.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour chaque énoncé du type « si \(g \circ f\) est injective, alors… », fabriquez-vous un petit contre-exemple sur des ensembles à deux ou trois éléments : c’est le moyen le plus sûr de retenir quelle application hérite de quelle propriété. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Comment montrer qu’une relation est une relation d’équivalence ?
On vérifie séparément la réflexivité, la symétrie et la transitivité, chacune pour des éléments quelconques. Une seule propriété manquante suffit à conclure que ce n’en est pas une.
Quelle différence entre plus grand élément et borne supérieure ?
Le plus grand élément appartient à la partie et majore tous ses éléments. La borne supérieure est le plus petit des majorants ; elle peut exister sans appartenir à la partie.
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