Équations différentielles : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Équations homogènes du premier ordre

Résoudre les équations suivantes sur l’intervalle indiqué.

1. \(y^{\prime}+3y=0\) sur \(\mathbb{R}\).
2. \(y^{\prime}-2xy=0\) sur \(\mathbb{R}\).
3. \(xy^{\prime}+y=0\) sur \(]0,+\infty[\).
4. \(y^{\prime}+\tan(x)\,y=0\) sur \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).

Exercice 2 : Seconds membres simples au premier ordre

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations suivantes, en cherchant une solution particulière de la forme suggérée.

1. \(y^{\prime}+2y=e^{x}\), avec une solution particulière de la forme \(\lambda e^{x}\).
2. \(y^{\prime}-y=x^2\), avec une solution particulière polynomiale de degré 2.
3. \(y^{\prime}+y=e^{-x}\), avec une solution particulière de la forme \(\lambda x e^{-x}\).

Exercice 3 : Un problème de Cauchy au premier ordre

On considère l’équation \((E) : y^{\prime}+2xy=2x\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Trouver une solution constante de \((E)\).
2. En déduire toutes les solutions de \((E)\).
3. Déterminer l’unique solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=3\).
4. Étudier les variations de \(f\) et sa limite en \(\pm\infty\).

Exercice 4 : Variation de la constante

Résoudre les équations suivantes par la méthode de variation de la constante.

1. \(xy^{\prime}-y=x^2e^{x}\) sur \(]0,+\infty[\).
2. \(y^{\prime}+y=\dfrac{1}{1+e^{x}}\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 5 : Structure affine et solution évidente

On considère l’équation \((E) : y^{\prime}+(\cos x)\,y=\cos x\) sur \(\mathbb{R}\). La figure ci-dessous représente son champ de directions : en chaque point \((x,y)\), le petit segment a pour pente \(\cos(x)(1-y)\).

1. Montrer, dans le cas général d’une équation \(y^{\prime}+a(x)y=b(x)\) à coefficients continus, que la différence de deux solutions est solution de l’équation homogène.
2. Trouver une solution évidente de \((E)\), puis résoudre \((E)\).
3. Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont \(2\pi\)-périodiques.
4. Déterminer la solution dont la courbe passe par le point \((0\,;3)\).
5. Montrer sans calcul que deux solutions distinctes de \((E)\) ne prennent jamais la même valeur au même point. Que dire d’une solution qui prend la valeur 1 en un point ?

Exercice 6 : Principe de superposition au premier ordre

On considère l’équation \((E) : y^{\prime}-y=e^{x}+\cos x\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime}-y=e^{x}\) de la forme \(\lambda x e^{x}\).
2. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime}-y=\cos x\) de la forme \(\alpha\cos x+\beta\sin x\).
3. En déduire la solution générale de \((E)\).
4. Déterminer la solution de \((E)\) qui s’annule en 0.

Exercice 7 : Variation de la constante avec une racine carrée

On considère l’équation \((E) : (1+x^2)\,y^{\prime}+x\,y=1\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Justifier que l’on peut normaliser \((E)\) sur \(\mathbb{R}\) tout entier, puis résoudre l’équation homogène associée.
2. Vérifier que la fonction \(g : x\mapsto \ln\big(x+\sqrt{1+x^2}\big)\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).
3. Résoudre \((E)\) par variation de la constante.
4. Déterminer la solution telle que \(y(0)=1\), puis montrer que toutes les solutions tendent vers 0 en \(+\infty\).

Exercice 8 : Loi de refroidissement de Newton

Une tasse de thé est posée dans une pièce à 20 °C. On note \(T(t)\) sa température en degrés Celsius, \(t\) en minutes. On admet la loi de Newton : il existe \(k>0\) tel que \(T^{\prime}(t)=-k\big(T(t)-20\big)\) pour tout \(t\geq\, 0\). Les deux mesures disponibles sont représentées ci-dessous.

1. Exprimer \(T(t)\) en fonction de \(k\) et de \(t\), sachant que \(T(0)=90\).
2. Sachant que \(T(10)=55\), déterminer la valeur exacte de \(k\).
3. Calculer \(T(30)\).
4. Au bout de combien de temps le thé atteint-il 25 °C ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à la minute près.

Exercice 9 : Recollement de solutions en un point singulier

On considère l’équation \((E) : xy^{\prime}-2y=0\). On cherche les fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que \(xf^{\prime}(x)-2f(x)=0\) pour tout réel \(x\).

1. Résoudre \((E)\) sur \(]0,+\infty[\), puis sur \(]-\infty,0[\).
2. Soit \(f\) une solution sur \(\mathbb{R}\). Montrer qu’il existe deux réels \(C_1\) et \(C_2\) tels que \(f(x)=C_1x^2\) pour \(x>0\) et \(f(x)=C_2x^2\) pour \(x<0\). Que vaut \(f(0)\) ?
3. Réciproquement, montrer que toute fonction de cette forme est solution sur \(\mathbb{R}\). Quelle est la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbb{R}\) ?
4. Montrer que le problème « \((E)\), \(y(0)=0\) » a une infinité de solutions sur \(\mathbb{R}\), et que le problème « \((E)\), \(y(0)=1\) » n’en a aucune. Pourquoi cela ne contredit-il pas le théorème de Cauchy ?

Exercice 10 : Solutions périodiques et unicité

Soient \(T>0\) et \(a,b\) deux fonctions continues et \(T\)-périodiques sur \(\mathbb{R}\). On considère \((E) : y^{\prime}+a(x)y=b(x)\).

1. Soit \(f\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(g : x\mapsto f(x+T)\) est aussi solution de \((E)\).
2. En déduire que \(f\) est \(T\)-périodique si et seulement si \(f(T)=f(0)\).
3. Application : résoudre \(y^{\prime}+y=\cos x\) sur \(\mathbb{R}\), puis montrer que cette équation possède une unique solution \(2\pi\)-périodique.
4. Montrer que toute solution de \(y^{\prime}+y=\cos x\) vérifie \(y(x)-\frac{1}{2}(\cos x+\sin x)\to 0\) quand \(x\to+\infty\).

Exercice 11 : Équations homogènes du second ordre

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations suivantes (solutions réelles).

1. \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0\).
2. \(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0\).
3. \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0\).
4. \(y^{\prime\prime}+9y=0\).
5. Donner les solutions complexes de l’équation 3.

Exercice 12 : Problème de Cauchy au second ordre

1. Déterminer l’unique solution de \(y^{\prime\prime}-y^{\prime}-6y=0\) telle que \(y(0)=1\) et \(y^{\prime}(0)=8\).
2. Déterminer l’unique solution de \(y^{\prime\prime}+9y=0\) telle que \(y(\frac{\pi}{6})=2\) et \(y^{\prime}(\frac{\pi}{6})=3\).
3. Déterminer l’unique solution de \(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0\) telle que \(y(0)=1\) et \(y^{\prime}(0)=0\). Montrer qu’elle est strictement positive sur \([0,+\infty[\).

Exercice 13 : Second membre polynomial

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) :

1. \(y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=2x^2-3\) ;
2. \(y^{\prime\prime}-y^{\prime}=2x\). On expliquera pourquoi une solution particulière de degré 1 ne peut pas convenir.

Exercice 14 : Second membre exponentiel : les trois cas

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=e^{3x}\).
2. \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=e^{x}\).
3. \(y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{2x}\).

Exercice 15 : Second membre polynôme-exponentielle

1. Résoudre \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=(x+1)e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\), en posant \(y=z\,e^{x}\).
2. Résoudre \(y^{\prime\prime}+y^{\prime}=xe^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 16 : Seconds membres trigonométriques et résonance

1. Résoudre \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=\cos x\) sur \(\mathbb{R}\), en passant par l’équation complexe associée.
2. Résoudre \(y^{\prime\prime}+4y=\sin(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que, dans la question 1, toutes les solutions sont bornées sur \([0,+\infty[\), alors que, dans la question 2, aucune ne l’est.

Exercice 17 : Superposition et conditions initiales

On considère \((E) : y^{\prime\prime}-y=2e^{x}-2\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Résoudre l’équation homogène associée.
2. Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}-y=2e^{x}\), puis de \(y^{\prime\prime}-y=-2\).
3. En déduire la solution générale de \((E)\).
4. Déterminer la solution de \((E)\) telle que \(y(0)=0\) et \(y^{\prime}(0)=0\).

Exercice 18 : Démonstration de la structure au second ordre

Soient \(r_1,r_2\in\mathbb{C}\) et \((H) : y^{\prime\prime}-(r_1+r_2)y^{\prime}+r_1r_2\,y=0\). Les fonctions sont à valeurs complexes, définies sur \(\mathbb{R}\).

1. Soit \(y\) deux fois dérivable. On pose \(z=y^{\prime}-r_2y\). Montrer que \(y\) est solution de \((H)\) si et seulement si \(z^{\prime}=r_1z\).
2. En déduire les solutions de \((H)\) lorsque \(r_1\neq r_2\), puis lorsque \(r_1=r_2\).
3. Montrer que l’ensemble des solutions est un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension 2.
4. On suppose \(r_1\neq r_2\). Soient \(x_0,\alpha,\beta\) donnés. Montrer, à l’aide d’un déterminant, qu’il existe une unique solution telle que \(y(x_0)=\alpha\) et \(y^{\prime}(x_0)=\beta\).

Exercice 19 : Équation d’Euler par changement de variable

On considère \((E) : x^2y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+2y=x^3\) sur \(]0,+\infty[\).

1. Soit \(y\) deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\). On pose \(z(t)=y(e^{t})\) pour \(t\in\mathbb{R}\). Exprimer \(z^{\prime}(t)\) et \(z^{\prime\prime}(t)\) à l’aide de \(y^{\prime}(e^t)\) et \(y^{\prime\prime}(e^t)\).
2. Montrer que \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z\) est solution de \(z^{\prime\prime}-3z^{\prime}+2z=e^{3t}\).
3. Résoudre cette équation, puis en déduire les solutions de \((E)\).
4. Vérifier directement que \(x\mapsto \frac{x^3}{2}\) est solution de \((E)\).

Exercice 20 : Suites récurrentes linéaires d’ordre deux

Déterminer le terme général des suites suivantes.

1. \(u_0=1\), \(u_1=4\) et \(u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
2. \(v_0=1\), \(v_1=4\) et \(v_{n+2}=4v_{n+1}-4v_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
3. \(w_0=0\), \(w_1=1\) et \(w_{n+2}=w_{n+1}-w_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que \((w_n)\) est périodique et préciser sa période.
4. Comparer avec les solutions de \(y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0\) : quelle équation caractéristique commune apparaît ?

Exercice 21 : Méthode d’Euler et suite géométrique

On considère le problème de Cauchy \(y^{\prime}=-y\), \(y(0)=1\), sur \([0, 1]\). Soit \(n\geq\, 2\) un entier et \(h=\frac{1}{n}\). La méthode d’Euler définit \(u_0=1\) et \(u_{k+1}=u_k+h\,(-u_k)\) : on remplace la courbe par une ligne brisée, comme sur la figure ci-dessous où \(n=5\).

1. Résoudre le problème de Cauchy de manière exacte.
2. Montrer que \((u_k)\) est une suite géométrique et exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Montrer que \(u_n\leq\, e^{-1}\) pour tout \(n\geq\, 2\), en utilisant \(\ln(1-t)\leq\, -t\) pour \(t\in[0, 1[\).
4. Montrer que \(u_n\) tend vers \(e^{-1}\) quand \(n\to+\infty\).

Exercice 22 : Discrétisation de l’oscillateur harmonique

La solution de \(y^{\prime\prime}+y=0\), \(y(0)=1\), \(y^{\prime}(0)=0\) est \(\cos\). On l’approche par un schéma aux différences. Soit \(h\in\,]0, 2[\). On définit \(u_0=1\), \(u_1=1-\frac{h^2}{2}\) et, pour \(k\geq\, 1\),

\[u_{k+1}-2u_k+u_{k-1}=-h^2u_k.\]

1. Écrire l’équation caractéristique de cette récurrence. Montrer que ses racines sont \(e^{i\theta}\) et \(e^{-i\theta}\), où \(\theta\in\,]0,\pi[\) vérifie \(\cos\theta=1-\frac{h^2}{2}\).
2. En déduire que \(u_k=\cos(k\theta)\) pour tout \(k\in\mathbb{N}\).
3. Montrer que \(\theta\to 0\) et que \(\dfrac{\theta}{h}\to 1\) lorsque \(h\to 0\).
4. Soit \(x>0\) fixé. Pour \(n>\frac{x}{2}\), on prend \(h=\frac{x}{n}\) et on note \(\theta_n\) l’angle associé. Montrer que \(u_n=\cos(n\theta_n)\) tend vers \(\cos x\).

Exercice 23 : Équations fonctionnelles

1. Déterminer les fonctions \(f\) continues sur \(\mathbb{R}\) telles que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=1+2\displaystyle\int_0^x t\,f(t)\,\mathrm{d}t\).
2. Déterminer les fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=f(-x)\). On montrera d’abord que \(f\) est deux fois dérivable.

Exercice 24 : Problème : oscillateur amorti et régime forcé

Soit \(\alpha\geq\, 0\). On étudie \((H_\alpha) : y^{\prime\prime}+2\alpha y^{\prime}+y=0\) avec les conditions \(y(0)=1\) et \(y^{\prime}(0)=0\). On note \(y_\alpha\) l’unique solution de ce problème de Cauchy.

Partie A : cas \(0<\alpha<1\).

1. Posons \(\beta=\sqrt{1-\alpha^2}\). Montrer que \(y_\alpha(t)=e^{-\alpha t}(\cos(\beta t)+\frac{\alpha}{\beta}\sin(\beta t))\).
2. Montrer qu’il existe \(\varphi\in]0,\frac{\pi}{2}[\) tel que \(y_\alpha(t)=\frac{1}{\beta}e^{-\alpha t}\sin(\beta t+\varphi)\). En déduire que \(y_\alpha\) s’annule une infinité de fois sur \([0,+\infty[\), et que deux zéros consécutifs sont distants de \(\frac{\pi}{\beta}\).

Partie B : cas \(\alpha=1\) et cas \(\alpha>1\).

1. Déterminer \(y_1\).
2. Pour \(\alpha>1\), déterminer \(y_\alpha\) et montrer que \(y_\alpha(t)>0\) pour tout \(t\geq\, 0\).
3. Montrer que, pour tout \(\alpha>0\), \(y_\alpha(t)\to 0\) quand \(t\to+\infty\). Que se passe-t-il pour \(\alpha=0\) ?

Partie C : régime forcé. On prend \(\alpha=\frac{1}{2}\) et l’on considère \((E) : y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=\cos t\).

1. Trouver une solution particulière de \((E)\) de la forme \(\lambda\cos t+\mu\sin t\).
2. Résoudre \((E)\), puis déterminer la solution telle que \(y(0)=0\) et \(y^{\prime}(0)=0\).
3. Montrer que toute solution \(y\) de \((E)\) vérifie \(y(t)-\sin t\to 0\) quand \(t\to+\infty\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : équations différentielles, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Intégrale de Riemann et calcul de primitives, Nombres complexes et trigonométrie
• Chapitre précédent : Intégrale de Riemann et calcul de primitives
• Chapitre suivant : Formules de Taylor et développements limités
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• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3