Corrigé du contrôle de maths 2de : statistiques et probabilités conditionnelles

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\) et \(0{,}96 – 1 = -0{,}04\). Réponse : une baisse de \(4\,\%\).
2. \(12 \times 5 = 60\). Réponse : 60.
3. La série, déjà rangée, compte 6 valeurs : la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs, \(\frac{7 + 9}{2} = 8\). Réponse : 8.
4. \(\frac{100 – 80}{80} = \frac{20}{80} = 0{,}25\). Réponse : \(+25\,\%\).
5. \(0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12\). Réponse : \(12\,\%\).
6. \(P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}3\). Réponse : \(0{,}3\).
7. \(1 – 0{,}15 = 0{,}85\). Réponse : \(0{,}85\).
8. \(\frac{18}{60} = 0{,}3\). Réponse : \(30\,\%\).

Erreur fréquente : à la question a, répondre « 0 % » : les deux pourcentages ne s’appliquent pas à la même valeur de référence.

Barème : 0,5 point par réponse exacte.

Exercice 2 : Le temps d’écran des lycéens (4 points)

1. L’effectif d’une classe est l’aire du rectangle : hauteur multipliée par l’amplitude. Pour \([4\,;6[\), l’amplitude est 2 h, donc l’effectif est \(10 \times 2 = 20\).
   

   Temps (en h)	\([0\,;1[\)	\([1\,;2[\)	\([2\,;3[\)	\([3\,;4[\)	\([4\,;6[\)	Total
   Effectif	20	50	70	40	20	200

   On vérifie : \(20 + 50 + 70 + 40 + 20 = 200\).

2. Les centres des classes sont \(0{,}5\) ; \(1{,}5\) ; \(2{,}5\) ; \(3{,}5\) et \(5\).
   \(\overline{x} = \frac{0{,}5 \times 20 + 1{,}5 \times 50 + 2{,}5 \times 70 + 3{,}5 \times 40 + 5 \times 20}{200}\)
   \(\overline{x} = \frac{10 + 75 + 175 + 140 + 100}{200} = \frac{500}{200} = 2{,}5\).
   Le temps d’écran moyen est estimé à \(2{,}5\) heures par jour, soit 2 h 30 min.
3. L’effectif total est 200 : la médiane se situe entre la 100e et la 101e valeur. Effectifs cumulés croissants : 20 ; 70 ; 140 ; 180 ; 200. La 100e et la 101e valeur sont dans la classe dont l’effectif cumulé passe de 70 à 140. La classe médiane est \([2\,;3[\).
4. \(\frac{40 + 20}{200} = \frac{60}{200} = 0{,}3\). \(30\,\%\) des lycéens interrogés passent au moins 3 heures par jour devant un écran.
5. \(t = \frac{2{,}5 – 2}{2} = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25\). La moyenne a augmenté de \(25\,\%\) en deux ans.

Erreur fréquente : lire 10 comme effectif de la classe \([4\,;6[\) : la hauteur est un effectif pour une heure, et cette classe dure deux heures.

Barème : a) 0,5 point pour les quatre premières classes, 0,5 point pour la classe \([4\,;6[\) ; b) 0,5 point pour les centres, 0,5 point pour le calcul ; c) 0,5 point pour la justification par les effectifs cumulés, 0,25 point pour la classe ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point pour la formule, 0,25 point pour le résultat.

Exercice 3 : Le prix d’un abonnement (3 points)

1. Une hausse de \(10\,\%\) correspond au coefficient \(1{,}10\), une hausse de \(5\,\%\) au coefficient \(1{,}05\). Le coefficient global est leur produit : \(1{,}10 \times 1{,}05 = 1{,}155\).
   Le taux global est \(1{,}155 – 1 = 0{,}155\), soit une hausse de \(15{,}5\,\%\).
   Nouveau prix : \(12 \times 1{,}155 = 13{,}86\).
   Le coefficient global est \(1{,}155\), soit une hausse de \(15{,}5\,\%\), et le nouveau prix est \(13{,}86\) €.
2. Le coefficient réciproque est \(\frac{1}{1{,}155} \approx 0{,}865\,8\), et \(0{,}865\,8 – 1 = -0{,}134\,2\).
   Il faut appliquer une baisse d’environ \(13{,}42\,\%\). On vérifie : \(13{,}86 \times (1 – 0{,}134\,2) \approx 12{,}00\) €.
3. \(25\,\%\) de \(40\,\%\) : \(0{,}25 \times 0{,}40 = 0{,}10\), soit \(10\,\%\) des abonnés. Et \(0{,}10 \times 3\,600 = 360\).
   \(10\,\%\) des abonnés sont lycéens, soit 360 abonnés.

Erreur fréquente : additionner les taux (\(10\,\% + 5\,\% = 15\,\%\)) ou croire qu’une baisse de \(15{,}5\,\%\) suffit pour revenir au prix initial.

Barème : a) 0,5 point pour le coefficient global, 0,25 point pour le taux, 0,25 point pour le prix ; b) 0,5 point pour le coefficient réciproque, 0,5 point pour le pourcentage arrondi ; c) 0,5 point pour le pourcentage, 0,5 point pour le nombre d’abonnés.

Exercice 4 : Un club sportif : du tableau à l’arbre (4,5 points)

1. On se restreint aux 330 compétiteurs, dont 180 sont mineurs : \(\frac{180}{330} = \frac{6}{11} \approx 0{,}545\). Environ \(54{,}5\,\%\) des compétiteurs sont mineurs.
2. L’adhérent est choisi au hasard (équiprobabilité) :
   \(P(M) = \frac{300}{800} = 0{,}375\) ;
   \(P_M(C) = \frac{180}{300} = 0{,}6\) (on se restreint aux 300 mineurs) ;
   \(P_{\overline{M}}(C) = \frac{150}{500} = 0{,}3\) (on se restreint aux 500 majeurs).
   \(P(M) = 0{,}375\), \(P_M(C) = 0{,}6\) et \(P_{\overline{M}}(C) = 0{,}3\).
3. On complète avec \(P(\overline{M}) = 1 – 0{,}375 = 0{,}625\), \(P_M(\overline{C}) = 0{,}4\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{C}) = 0{,}7\).

   

4. Deux chemins mènent à \(C\) :
   \(P(C) = P(M \cap C) + P(\overline{M} \cap C) = 0{,}375 \times 0{,}6 + 0{,}625 \times 0{,}3 = 0{,}225 + 0{,}187\,5 = 0{,}412\,5\).
   Avec le tableau : \(\frac{330}{800} = 0{,}412\,5\). \(P(C) = 0{,}412\,5\) : les deux méthodes concordent.
5. \(P_C(M) = \frac{P(M \cap C)}{P(C)} = \frac{0{,}225}{0{,}412\,5} = \frac{6}{11} \approx 0{,}545\). On retrouve la fréquence de la question a : choisir un adhérent au hasard parmi les compétiteurs revient à calculer la fréquence des mineurs parmi les compétiteurs.

Barème : a) 0,5 point pour le calcul, 0,25 point pour l’arrondi ; b) 0,25 point pour \(P(M)\), 0,5 point pour chacune des deux probabilités conditionnelles ; c) 0,5 point pour la structure, 0,5 point pour les probabilités ; d) 0,5 point pour le calcul sur l’arbre, 0,25 point pour la vérification ; e) 0,5 point pour le calcul, 0,25 point pour l’explication.

Exercice 5 : Deux machines : de l’arbre au tableau (4,5 points)

1. Machine A : \(0{,}6 \times 5\,000 = 3\,000\) pièces, dont \(0{,}03 \times 3\,000 = 90\) défectueuses et \(3\,000 – 90 = 2\,910\) non défectueuses.
   Machine B : \(0{,}4 \times 5\,000 = 2\,000\) pièces, dont \(0{,}05 \times 2\,000 = 100\) défectueuses et \(2\,000 – 100 = 1\,900\) non défectueuses.
   

   	Défectueuse	Non défectueuse	Total
   Machine A	90	2 910	3 000
   Machine B	100	1 900	2 000
   Total	190	4 810	5 000

2. \(P(D) = \frac{190}{5\,000} = 0{,}038\). On peut le retrouver sur l’arbre : \(0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}02 = 0{,}038\). \(P(D) = 0{,}038\).
3. On se restreint aux 190 pièces défectueuses : \(P_D(A) = \frac{90}{190} = \frac{9}{19} \approx 0{,}474\). Sachant qu’une pièce est défectueuse, la probabilité qu’elle provienne de la machine A est environ \(0{,}474\).
4. \(P_D(B) = \frac{100}{190} \approx 0{,}526 > 0{,}5\). Le directeur a raison : environ \(52{,}6\,\%\) des pièces défectueuses sortent de la machine B, alors qu’elle ne produit que \(40\,\%\) des pièces.
5. On note \(x\) le taux de pièces défectueuses de la machine B. La proportion de pièces défectueuses est \(0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4x = 0{,}018 + 0{,}4x\).
   On veut \(0{,}018 + 0{,}4x \leq\, 0{,}03\), soit \(0{,}4x \leq\, 0{,}012\), soit \(x \leq\, 0{,}03\).
   La machine B ne doit pas dépasser \(3\,\%\) de pièces défectueuses.

Erreur fréquente : répondre \(0{,}6\) à la question c en confondant \(P_D(A)\) avec \(P(A)\), la part de la production de la machine A.

Barème : a) 0,5 point par ligne machine, 0,5 point pour la ligne des totaux ; b) 0,75 point ; c) 0,5 point pour la restriction aux pièces défectueuses, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point avec justification chiffrée ; e) 0,5 point pour l’inéquation, 0,25 point pour la conclusion.

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