Corrigé du contrôle de maths 2de : inéquations et résolution graphique

Exercice 1 : Inéquations du premier degré (4 points)

1. On part de \(3x – 5 \leq\, 7\).
   En ajoutant 5, on obtient donc \(3x \leq\, 12\).
   Puis \(x \leq\, 4\) (on divise par 3, positif : le sens ne change pas).
   \(S = \,]-\infty \,;\, 4]\).
2. On part de \(-2x + 9 > 3\).
   En retranchant 9, on obtient d’abord \(-2x > -6\).
   Puis \(x < 3\) (on divise par \(-2\), négatif : le sens de l’inégalité change donc).
   \(S = \,]-\infty \,;\, 3[\).
3. D’abord, on multiplie les deux membres par 6, positif :
   \(3x – 6 \geq\, 2(2x + 1)\)
   \(3x – 6 \geq\, 4x + 2\)
   \(-x \geq\, 8\)
   \(x \leq\, -8\) (on multiplie ensuite par \(-1\) : le sens change).
   \(S = \,]-\infty \,;\, -8]\).
4. \(4(x – 1) < 4x + 3\) équivaut à \(4x – 4 < 4x + 3\), soit \(-4 < 3\).
   Or cette inégalité est vraie quel que soit \(x\).
   \(S = \mathbb{R}\).

Erreur fréquente : en b), garder le sens \(x > 3\) après la division par \(-2\). Test rapide : \(x = 0\) donne \(9 > 3\), vrai, donc 0 doit être solution.

Barème : chaque question 1 point : 0,5 pour les étapes (avec le changement de sens en b et c), 0,5 pour l’intervalle avec les bons crochets.

Exercice 2 : Tableaux de signes (5 points)

1. D’abord, \(2x – 6 = 0\) pour \(x = 3\). Comme le coefficient 2 est positif, \(2x – 6\) est donc négatif avant 3 et positif après.
   Ensuite, \(x + 4 = 0\) pour \(x = -4\) ; ainsi, \(x + 4\) est négatif avant \(-4\) et positif après.

   \(x\)	\(-\infty\)		\(-4\)		\(3\)		\(+\infty\)
   \(2x – 6\)		−		−	0	+
   \(x + 4\)		−	0	+		+
   \((2x – 6)(x + 4)\)		+	0	−	0	+

   Par conséquent, le produit est positif ou nul à l’extérieur des deux valeurs.
   \(S = \,]-\infty \,;\, -4] \cup [3 \,;\, +\infty[\).

2. Valeur interdite : \(3 – x = 0\) pour \(x = 3\).
   D’une part, \(x + 2\) est négatif avant \(-2\) et positif après. D’autre part, le coefficient \(-1\) est négatif : \(3 – x\) est donc positif avant 3 et négatif après.

   \(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(3\)		\(+\infty\)
   \(x + 2\)		−	0	+		+
   \(3 – x\)		+		+	0	−
   \(\dfrac{x + 2}{3 – x}\)		−	0	+	||	−

   L’inégalité est stricte et 3 est interdite : les deux bornes sont donc exclues.
   \(S = \,]-2 \,;\, 3[\).

3. \(x^2 < 9x\) équivaut à \(x^2 – 9x < 0\), soit \(x(x – 9) < 0\). On dresse alors le tableau de signes du produit.
   

   \(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(9\)		\(+\infty\)
   \(x\)		−	0	+		+
   \(x – 9\)		−		−	0	+
   \(x(x – 9)\)		+	0	−	0	+

   Ainsi, le produit est strictement négatif entre ses deux valeurs d’annulation.
   \(S = \,]0 \,;\, 9[\).

Erreur fréquente : en c), diviser par \(x\) pour obtenir \(x < 9\). En effet, on ne connaît pas le signe de \(x\). Cette division est donc interdite et donnerait à tort des solutions négatives.

Barème : a) 2 points : 0,5 pour les valeurs d’annulation, 1 pour le tableau, 0,5 pour l’ensemble des solutions ; b) 1,5 point : 0,25 pour la valeur interdite, 0,75 pour le tableau avec la double barre, 0,5 pour l’intervalle ouvert ; c) 1,5 point : 0,5 pour la factorisation, 0,5 pour le tableau, 0,5 pour l’intervalle.

Exercice 3 : Deux courbes à comparer (5 points)

1. On lit d’abord les ordonnées des points d’abscisse 0 des deux courbes.
   \(f(0) = -1\) et \(g(0) = 3\).
2. Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\). Or ces points sont \((-1 \,;\, 2)\) et \((4 \,;\, 7)\).
   \(S = \{-1 \,;\, 4\}\).
3. On cherche ensuite les abscisses des points où \(\mathcal{C}_f\) est strictement en dessous de \(\mathcal{C}_g\). C’est donc le cas entre les deux points d’intersection.
   \(S = \,]-1 \,;\, 4[\).
4. On trace la droite horizontale d’ordonnée 2 : elle coupe alors \(\mathcal{C}_f\) aux points d’abscisses \(-1\) et 3. Ainsi, la courbe est au-dessus de cette droite (ou dessus) de \(-2\) à \(-1\) et de 3 à 5.
   \(S = [-2 \,;\, -1] \cup [3 \,;\, 5]\).
5. D’abord, \(f(x) – g(x) = x^2 – 2x – 1 – (x + 3) = x^2 – 3x – 4\).
   Ensuite, \((x + 1)(x – 4) = x^2 – 4x + x – 4 = x^2 – 3x – 4\). Les deux expressions sont donc égales.
   Par conséquent, \(f(x) < g(x)\) équivaut à \((x + 1)(x – 4) < 0\). Tableau de signes sur \([-2 \,;\, 5]\) :

   \(x\)	\(-2\)		\(-1\)		\(4\)		\(5\)
   \(x + 1\)		−	0	+		+
   \(x – 4\)		−		−	0	+
   \(f(x) – g(x)\)		+	0	−	0	+

   \(f(x) – g(x) < 0\) pour \(x \in \,]-1 \,;\, 4[\) : on retrouve ainsi le résultat de la question c).

Barème : a) 0,5 point (0,25 par valeur) ; b) 1 point (0,5 par solution) ; c) 1 point : 0,5 pour les bornes, 0,5 pour les crochets ouverts ; d) 1 point : 0,5 par intervalle ; e) 1,5 point : 0,5 pour l’égalité, 0,75 pour le tableau, 0,25 pour la conclusion.

Exercice 4 : Choisir sa formule d’escalade (6 points)

1. Formule A : \(10 \times 12 = 120\). Formule B : \(90 + 10 \times 6 = 150\). Formule C : \(300\).
   Pour 10 séances, on paie donc \(120\) € avec A, \(150\) € avec B et \(300\) € avec C.
2. \(A(x) = 12x\), \(B(x) = 90 + 6x\) et \(C(x) = 300\).
3. On résout \(90 + 6x < 12x\).
   Donc \(90 < 6x\).
   Puis \(15 < x\).
   \(S = \,]15 \,;\, +\infty[\) : la formule B est moins chère que la formule A à partir de 16 séances. En effet, pour 15 séances, les deux coûtent \(180\) €.
4. On résout \(90 + 6x \leq\, 300\).
   Donc \(6x \leq\, 210\).
   Puis \(x \leq\, 35\).
   Comme \(x\) est un nombre positif de séances, \(S = [0 \,;\, 35]\) : la formule B coûte donc au plus autant que la formule C jusqu’à 35 séances (à 35 séances, les deux coûtent \(300\) €).

Questions e et f : lecture graphique et budget de Jade

5. Sur le graphique, la droite rouge (B) coupe la bleue (A) au point \((15 \,;\, 180)\) et passe en dessous après. De plus, elle coupe la verte (C) au point \((35 \,;\, 300)\) et passe au-dessus après. Les résultats de c) et d) sont ainsi confirmés.
   La formule A est la plus avantageuse jusqu’à 14 séances, la formule B de 16 à 34 séances, la formule C à partir de 36 séances. À 15 séances, A et B sont au même prix. De même, à 35 séances, B et C sont au même prix.
6. La formule C coûte \(300\) €, plus que le budget : elle est donc exclue. Avec A : \(12x \leq\, 250\) donne \(x \leq\, \dfrac{250}{12} \approx 20{,}8\), soit 20 séances. Enfin, avec B : \(90 + 6x \leq\, 250\) donne \(6x \leq\, 160\). Ainsi, \(x \leq\, \dfrac{160}{6} \approx 26{,}7\), donc 26 séances (pour \(246\) €).
   Jade peut faire au maximum 26 séances, avec la formule B.

Erreur fréquente : en f), arrondir \(26{,}7\) à 27. En effet, avec 27 séances, la formule B coûte \(90 + 162 = 252\) €, ce qui dépasse le budget. On prend donc l’entier inférieur.

Barème : a) 1 point (0,5 si une erreur) ; b) 1 point ; c) 1 point : 0,5 pour la résolution, 0,5 pour l’interprétation ; d) 1 point, même répartition ; e) 1,5 point : 0,5 pour la vérification des points d’intersection, 1 pour la conclusion selon le nombre de séances ; f) 0,5 point.

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