Corrigé du contrôle de maths 2de : coordonnées de vecteurs et colinéarité

Exercice 1 : Lectures et calculs dans un repère (4 points)

1. On lit l’abscisse sur l’axe horizontal puis l’ordonnée sur l’axe vertical.
   \(A(-2 \,;\, 1)\), \(B(3 \,;\, 3)\) et \(C(4 \,;\, -1)\).
2. Les coordonnées de \(\vec{AB}\) sont \((x_B – x_A \,;\, y_B – y_A)\) :
   \(\vec{AB}(3 – (-2) \,;\, 3 – 1)\), soit \(\vec{AB}(5 \,;\, 2)\).
   \(\vec{AC}(4 – (-2) \,;\, -1 – 1)\), soit \(\vec{AC}(6 \,;\, -2)\).
   \(\vec{AB}(5 \,;\, 2)\) et \(\vec{AC}(6 \,;\, -2)\).
3. Le vecteur \(\vec{u}\) va du point \((-4 \,;\, -2)\) au point \((-2 \,;\, -3)\) : 2 unités vers la droite et 1 vers le bas.
   \(\vec{u}(2 \,;\, -1)\).
4. \(2\vec{AB}(10 \,;\, 4)\) et \(3\vec{u}(6 \,;\, -3)\).
   \(\vec{w}(10 – 6 \,;\, 4 – (-3))\).
   \(\vec{w}(4 \,;\, 7)\).
5. Le repère est orthonormé, donc \(AB = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4}\).
   \(AB = \sqrt{29}\).

Erreur fréquente : calculer \(x_A – x_B\) au lieu de \(x_B – x_A\) : on obtient alors les coordonnées de \(\vec{BA}\), l’opposé de \(\vec{AB}\).

Barème : a) 1 point (0,5 si une erreur) ; b) 1 point (0,5 par vecteur) ; c) 0,5 point ; d) 1 point : 0,5 pour les deux vecteurs intermédiaires, 0,5 pour le résultat ; e) 0,5 point.

Exercice 2 : Déterminant et colinéarité (4 points)

Rappel : \(\vec{u}(x \,;\, y)\) et \(\vec{v}(x^{\prime} \,;\, y^{\prime})\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy^{\prime} – yx^{\prime} = 0\).

1. \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 – (-6) \times (-2) = 12 – 12 = 0\).
   Le déterminant est nul : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (en effet \(\vec{u} = -\dfrac{3}{2}\vec{v}\)).
2. \(\det(\vec{r}, \vec{s}) = 5 \times 3 – 2 \times 7 = 15 – 14 = 1\).
   Le déterminant n’est pas nul : \(\vec{r}\) et \(\vec{s}\) ne sont pas colinéaires.
3. \(\det(\vec{a}, \vec{b}) = m \times 8 – 4 \times 6 = 8m – 24\).
   \(8m – 24 = 0\) équivaut à \(8m = 24\), soit \(m = 3\).
   Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si \(m = 3\).
4. \(\det(\vec{c}, \vec{d}) = 2 \times 8 – y \times y = 16 – y^2\).
   \(16 – y^2 = 0\) équivaut à \(y^2 = 16\), soit \(y = 4\) ou \(y = -4\).
   Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si \(y = 4\) ou \(y = -4\).

Erreur fréquente : à la question d), oublier la solution négative de \(y^2 = 16\).

Barème : chaque question 1 point : 0,5 pour le calcul du déterminant, 0,5 pour la conclusion (en d, 0,25 retiré si une seule valeur).

Exercice 3 : Trois points alignés (4 points)

1. \(\vec{AB}(3 – 1 \,;\, 5 – 2)\), soit \(\vec{AB}(2 \,;\, 3)\).
   \(\vec{AC}(9 – 1 \,;\, 14 – 2)\), soit \(\vec{AC}(8 \,;\, 12)\).
   \(\vec{AD}(-1 – 1 \,;\, -2 – 2)\), soit \(\vec{AD}(-2 \,;\, -4)\).
   \(\vec{AB}(2 \,;\, 3)\), \(\vec{AC}(8 \,;\, 12)\), \(\vec{AD}(-2 \,;\, -4)\).
2. \(\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 2 \times 12 – 3 \times 8 = 24 – 24 = 0\).
   Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires et ont le point \(A\) en commun.
   Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
3. \(\det(\vec{AB}, \vec{AD}) = 2 \times (-4) – 3 \times (-2) = -8 + 6 = -2\).
   Le déterminant n’est pas nul, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) ne sont pas colinéaires.
   Les points \(A\), \(B\) et \(D\) ne sont pas alignés.
4. Le point \(E\) est sur l’axe des abscisses, donc \(E(x \,;\, 0)\) et \(\vec{AE}(x – 1 \,;\, -2)\).
   \(\det(\vec{AB}, \vec{AE}) = 2 \times (-2) – 3 \times (x – 1) = -4 – 3x + 3 = -3x – 1\).
   \(-3x – 1 = 0\) équivaut à \(x = -\dfrac{1}{3}\).
   \(E(-\dfrac{1}{3} \,;\, 0)\).

Barème : a) 1 point (0,25 par vecteur, 0,25 pour la présentation) ; b) 1 point : 0,5 pour le déterminant, 0,5 pour la conclusion avec le point commun ; c) 1 point, même répartition ; d) 1 point : 0,25 pour \(E(x \,;\, 0)\), 0,5 pour l’équation, 0,25 pour le résultat.

Exercice 4 : Un parallélogramme et son centre (4 points)

1. \(\vec{PQ}(3 – (-1) \,;\, 4 – 2)\), soit \(\vec{PQ}(4 \,;\, 2)\).
   \(\vec{SR}(5 – 1 \,;\, 1 – (-1))\), soit \(\vec{SR}(4 \,;\, 2)\).
   \(\vec{PQ} = \vec{SR}\), de coordonnées \((4 \,;\, 2)\).
2. Si \(\vec{PQ} = \vec{SR}\), alors \(PQRS\) est un parallélogramme (les points ne sont pas alignés : \(\vec{PS}(2 \,;\, -3)\) n’est pas colinéaire à \(\vec{PQ}\), car \(4 \times (-3) – 2 \times 2 = -16\)).
   \(PQRS\) est un parallélogramme.
3. Le centre d’un parallélogramme est le milieu de ses diagonales, par exemple de \([PR]\) :
   \(x_K = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2\) et \(y_K = \dfrac{2 + 1}{2} = 1{,}5\).
   Vérification avec \([QS]\) : \(\dfrac{3 + 1}{2} = 2\) et \(\dfrac{4 + (-1)}{2} = 1{,}5\).
   \(K(2 \,;\, 1{,}5)\).
4. \(\dfrac{1}{2}\vec{PQ}(2 \,;\, 1)\) et \(\vec{QR}(5 – 3 \,;\, 1 – 4)\), soit \(\vec{QR}(2 \,;\, -3)\). Donc \(\vec{PT}(4 \,;\, -2)\).
   \(x_T – (-1) = 4\), donc \(x_T = 3\) ; \(y_T – 2 = -2\), donc \(y_T = 0\).
   \(T(3 \,;\, 0)\).
5. Milieu de \([RS]\) : \((\dfrac{5 + 1}{2} \,;\, \dfrac{1 + (-1)}{2}) = (3 \,;\, 0)\).
   Ce sont les coordonnées de \(T\) : \(T\) est le milieu de \([RS]\).

Erreur fréquente : comparer \(\vec{PQ}\) et \(\vec{RS}\). Dans \(PQRS\), il faut \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) ; \(\vec{RS}\) en est l’opposé.

Barème : a) 1 point (0,5 par vecteur) ; b) 0,5 point ; c) 1 point : 0,5 pour la méthode, 0,5 pour les coordonnées ; d) 1 point : 0,5 pour \(\vec{PT}\), 0,5 pour \(T\) ; e) 0,5 point.

Exercice 5 : Parallélisme dans un triangle (4 points)

1. \(\vec{AC}(1 – (-2) \,;\, 5 – (-1))\), soit \(\vec{AC}(3 \,;\, 6)\), donc \(\dfrac{1}{3}\vec{AC}(1 \,;\, 2)\).
   \(x_M – (-2) = 1\), donc \(x_M = -1\) ; \(y_M – (-1) = 2\), donc \(y_M = 1\).
   \(M(-1 \,;\, 1)\).
2. \(\vec{BC}(1 – 4 \,;\, 5 – 2)\), soit \(\vec{BC}(-3 \,;\, 3)\), donc \(\dfrac{1}{3}\vec{BC}(-1 \,;\, 1)\).
   \(x_N – 4 = -1\), donc \(x_N = 3\) ; \(y_N – 2 = 1\), donc \(y_N = 3\).
   \(N(3 \,;\, 3)\).
3. \(\vec{MN}(3 – (-1) \,;\, 3 – 1)\), soit \(\vec{MN}(4 \,;\, 2)\), et \(\vec{AB}(4 – (-2) \,;\, 2 – (-1))\), soit \(\vec{AB}(6 \,;\, 3)\).
   \(\det(\vec{MN}, \vec{AB}) = 4 \times 3 – 2 \times 6 = 12 – 12 = 0\).
   Les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires.
   Les droites \((MN)\) et \((AB)\) sont parallèles.
4. \(\vec{AO}(0 – (-2) \,;\, 0 – (-1))\), soit \(\vec{AO}(2 \,;\, 1)\).
   \(\det(\vec{AB}, \vec{AO}) = 6 \times 1 – 3 \times 2 = 6 – 6 = 0\).
   Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AO}\) sont colinéaires et ont le point \(A\) en commun, donc \(A\), \(B\) et \(O\) sont alignés.
   La droite \((AB)\) passe bien par l’origine \(O\).

Barème : a) 1 point : 0,5 pour \(\dfrac{1}{3}\vec{AC}\), 0,5 pour \(M\) ; b) 1 point, même répartition ; c) 1 point : 0,5 pour les vecteurs et le déterminant, 0,5 pour la conclusion ; d) 1 point : 0,5 pour le déterminant, 0,5 pour la conclusion (une lecture graphique seule ne rapporte pas de point).

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Après le corrigé du contrôle : coordonnées de vecteurs et colinéarité

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