Contrôle de maths 4ème : théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 1 : Écrire les rapports égaux (3 points)

Calculatrice autorisée. Les figures ne sont pas à l’échelle.

Dans le triangle \(RST\), le point \(E\) appartient au segment \([RS]\), le point \(F\) appartient au segment \([RT]\) et les droites \((EF)\) et \((ST)\) sont parallèles. On donne \(RE = 4\text{ cm}\), \(RS = 10\text{ cm}\), \(RT = 12\text{ cm}\) et \(ST = 8\text{ cm}\).

1. Écris l’égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès. (1 point)
2. Calcule la longueur \(RF\). (1 point)
3. Calcule la longueur \(EF\). (1 point)

Exercice 2 : Parallèles ou non ? (4 points)

Dans chaque figure, dis si la droite qui porte le segment rouge est parallèle au troisième côté du triangle. Justifie.

1. Figure 1 : \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\), \(AM = 3\text{ cm}\), \(AB = 5\text{ cm}\), \(AN = 4{,}2\text{ cm}\) et \(AC = 7\text{ cm}\). Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ? (2 points)
2. Figure 2 : \(P \in [DE]\), \(Q \in [DF]\), \(DP = 4\text{ cm}\), \(DE = 9\text{ cm}\), \(DQ = 5\text{ cm}\) et \(DF = 11\text{ cm}\). Les droites \((PQ)\) et \((EF)\) sont-elles parallèles ? (2 points)

Exercice 3 : Les milieux de deux côtés (4 points)

Dans le triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu du segment \([AB]\) et \(J\) est le milieu du segment \([AC]\). On sait que \(BC = 9\text{ cm}\) et que le périmètre du triangle \(ABC\) est égal à \(26\text{ cm}\).

1. Démontre que les droites \((IJ)\) et \((BC)\) sont parallèles. (1,5 point)
2. Calcule la longueur \(IJ\). (1 point)
3. Le triangle \(AIJ\) est une réduction du triangle \(ABC\). Donne le coefficient de réduction, puis calcule le périmètre du triangle \(AIJ\). (1,5 point)

Exercice 4 : Attention aux longueurs (4 points)

Dans le triangle \(OAB\), le point \(C\) appartient au segment \([OA]\) et le point \(D\) au segment \([OB]\). Les droites \((CD)\) et \((AB)\) sont parallèles. On a \(OC = 6\text{ cm}\), \(CA = 4\text{ cm}\), \(CD = 4{,}5\text{ cm}\) et \(OB = 9\text{ cm}\).

1. Calcule la longueur \(OA\), puis la longueur \(AB\). (1,5 point)
2. Calcule la longueur \(OD\). (1,5 point)
3. Déduis-en la longueur \(DB\). (1 point)

Exercice 5 : La hauteur d’un arbre (5 points)

Pour mesurer la hauteur d’un arbre, Amine plante un bâton vertical \([CD]\) de \(1{,}5\text{ m}\) de haut. Au même moment, l’extrémité de l’ombre du bâton et celle de l’ombre de l’arbre \([AB]\) sont au même point \(S\) du sol. Les points \(S\), \(C\), \(A\) sont alignés, les points \(S\), \(D\), \(B\) aussi. Il mesure \(SC = 2\text{ m}\) et \(SA = 12\text{ m}\). Le sol est horizontal, le bâton et l’arbre sont perpendiculaires au sol.

1. Démontre que les droites \((CD)\) et \((AB)\) sont parallèles. (1,5 point)
2. Calcule la hauteur \(AB\) de l’arbre. (2 points)
3. Calcule la longueur \(SB\) du rayon de soleil entre le sol et le sommet de l’arbre. (1,5 point)

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