Corrigé du contrôle de maths 4ème : fractions égales, sommes et différences

Exercice 1 : Nombres premiers (4 points)

1. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les nombres premiers inférieurs à 30 sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 et 29.

2. \(51 = 3 \times 17\) ; \(57 = 3 \times 19\) ; \(87 = 3 \times 29\) ; \(91 = 7 \times 13\) : ces quatre nombres ne sont pas premiers.

   53 et 97 ne sont divisibles par aucun des nombres premiers 2, 3, 5 et 7 (et \(11 \times 11 = 121\) dépasse 97, il est inutile d’aller plus loin).

   Les nombres premiers de la liste sont 53 et 97.

3. \(84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\)

   \(126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7\)

   \(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\) et \(126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7\) (on peut aussi écrire \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) et \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)).

Barème : a) 1 point (0,5 point si un seul nombre manque ou est en trop, 1 n’étant pas premier) ; b) 0,25 point par nombre bien classé avec sa justification ; c) 0,75 point par décomposition.

Erreur fréquente : croire que 51, 57 ou 91 sont premiers parce qu’ils sont impairs et ne sont pas dans les tables de 2 et 5.

Exercice 2 : Simplifier des fractions (3 points)

1. Les facteurs communs à 84 et 126 sont 2, 3 et 7 :

   \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{2 \times 2 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7} = \dfrac{2}{3}\)

   \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{2}{3}\) (on a divisé le numérateur et le dénominateur par \(2 \times 3 \times 7 = 42\)).

2. \(\dfrac{45}{60} = \dfrac{3 \times 15}{4 \times 15} = \dfrac{3}{4}\)

   \(-\dfrac{72}{90} = -\dfrac{4 \times 18}{5 \times 18} = -\dfrac{4}{5}\)

   \(\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\) et \(-\dfrac{72}{90} = -\dfrac{4}{5}\).

3. \(35 = 7 \times 5\), donc \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{15}{35}\). Et \(21 = 3 \times 7\), donc \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 7}{7 \times 7} = \dfrac{21}{49}\).

   \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{35} = \dfrac{21}{49}\).

Barème : a) 0,5 point pour l’utilisation des décompositions, 0,5 point pour \(\dfrac{2}{3}\) ; b) 0,5 point par fraction (une simplification incomplète comme \(\dfrac{9}{12}\) rapporte 0,25 point) ; c) 0,5 point par nombre.

Exercice 3 : Comparer des fractions (3 points)

1. On écrit les deux fractions avec le même dénominateur 18 :

   \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}\) et \(\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}\). Comme \(15 > 14\), \(\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}\).

2. \(-\dfrac{3}{4} = -\dfrac{6}{8}\). On compare d’abord les distances à zéro : \(\dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8}\). Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro, donc \(-\dfrac{3}{4} < -\dfrac{5}{8}\).
3. Avec le dénominateur commun 12 : \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\) ; \(\dfrac{7}{12}\) ; \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}\) ; \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\). Comme \(7 < 8 < 9 < 10\) :

   \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}\)

Barème : a) et b) 0,5 point pour la mise au même dénominateur, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour les fractions de dénominateur 12, 0,5 point pour le rangement.

Erreur fréquente : conclure \(-\dfrac{3}{4} > -\dfrac{5}{8}\) parce que \(6 > 5\) : pour des nombres négatifs, l’ordre est inversé.

Exercice 4 : Sommes et différences (6 points)

Pour ajouter ou soustraire des fractions, on les écrit avec le même dénominateur, puis on ajoute ou soustrait les numérateurs.

1. \(A = \dfrac{2 + 5}{9}\), donc \(A = \dfrac{7}{9}\).
2. \(B = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12}\), donc \(B = \dfrac{7}{6}\).
3. \(C = \dfrac{20}{24} – \dfrac{9}{24}\), donc \(C = \dfrac{11}{24}\).
4. Le plus petit dénominateur commun à 10 et 15 est 30 : \(D = -\dfrac{21}{30} + \dfrac{8}{30} = \dfrac{-21 + 8}{30}\), donc \(D = -\dfrac{13}{30}\).
5. \(E = -\dfrac{12}{6} – \dfrac{5}{6} = \dfrac{-12 – 5}{6}\), donc \(E = -\dfrac{17}{6}\).
6. \(F = \dfrac{3}{6} – \dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{3 – 4 + 5}{6} = \dfrac{4}{6}\), donc \(F = \dfrac{2}{3}\).

Barème : 1 point par calcul : 0,5 point pour la mise au même dénominateur, 0,5 point pour le résultat simplifié (0,25 point si le résultat est juste mais non simplifié).

Erreur fréquente : ajouter les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, par exemple \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{8}{16}\), ce qui est faux.

Exercice 5 : Le jardin partagé (4 points)

1. \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\)

   Les carottes, les tomates et les fraises occupent \(\dfrac{3}{4}\) du jardin.

2. Le jardin entier correspond à 1 : \(1 – \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} – \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\). Les fleurs occupent \(\dfrac{1}{4}\) du jardin.
3. Sur 12 carreaux : carottes \(\dfrac{3}{12}\), soit 3 carreaux ; tomates \(\dfrac{4}{12}\), soit 4 carreaux ; fraises \(\dfrac{2}{12}\), soit 2 carreaux ; fleurs \(\dfrac{3}{12}\), soit 3 carreaux. Voici une répartition possible (l’emplacement des carreaux peut varier) :

   

4. Carottes et fraises réunies : \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\). Tomates : \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}\). Comme \(\dfrac{4}{12} < \dfrac{5}{12}\), Lina a tort : les tomates occupent moins de place que les carottes et les fraises réunies.

Barème : a) 0,5 point pour le dénominateur commun 12, 0,5 point pour la somme \(\dfrac{9}{12}\), 0,5 point pour la simplification ; b) 0,5 point pour le calcul \(1 – \dfrac{3}{4}\), 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour un quadrillage avec les bons nombres de carreaux ; d) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : fractions égales, sommes et différences

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