Voici le corrigé du contrôle de maths de 3ème sur le thème : développer, réduire et identités remarquables.
Voici la correction pas à pas de l’évaluation sur le développement. Chaque expression est développée ligne par ligne, avec les termes regroupés avant la réduction, pour que tu repères facilement l’étape où tu t’es trompé.
Tu verras comment appliquer \((a + b)^2\), \((a – b)^2\) et \((a + b)(a – b)\) sans oublier le double produit, comment gérer un signe moins devant une parenthèse et comment utiliser les identités remarquables en calcul mental. Le barème détaillé accompagne chaque exercice pour noter ta copie comme le ferait ton professeur.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 3ème : développer, réduire et identités remarquables.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Automatismes | 4 points |
| Exercice 2 : Développer et réduire | 4 points |
| Exercice 3 : Les identités remarquables | 4 points |
| Exercice 4 : Calcul mental astucieux | 3 points |
| Exercice 5 : La piscine du jardin | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Automatismes (4 points)
- On regroupe d’abord les termes en \(x\) et les constantes : \(3x – 7x + 5 + 2\). Ainsi, \(3x + 5 – 7x + 2 = -4x + 7\).
- On distribue le 4 : \(4(2x – 3) = 8x – 12\).
- D’après l’identité remarquable, \((x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2\). C’est donc la réponse B : \(x^2 + 6x + 9\).
- On calcule d’abord le carré : \(2 \times (-2)^2 – 3 \times (-2) = 2 \times 4 + 6 = 8 + 6\). Le résultat est donc 14.
Barème : 1 point par réponse exacte.
Erreur fréquente : en d, écrire \(-2^2 = -4\). Or le carré porte sur \(-2\) tout entier, donc \((-2)^2 = 4\).
Exercice 2 : Développer et réduire (4 points)
- On distribue d’abord le 5, puis on supprime la parenthèse précédée d’un signe moins : \(A = 5x – 20 – (6x + 3) = 5x – 20 – 6x – 3\). Donc \(A = -x – 23\).
- On applique la double distributivité : \(B = 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5)\). Ainsi, \(B = 2x^2 – 10x + 3x – 15\). Après réduction, \(B = 2x^2 – 7x – 15\).
- De même, \(C = 3x \times 4 + 3x \times (-x) – 1 \times 4 – 1 \times (-x)\). Puis \(C = 12x – 3x^2 – 4 + x\). Donc \(C = -3x^2 + 13x – 4\).
- On développe d’abord le produit, en le gardant entre parenthèses à cause du signe moins :
\((x – 3)(x + 4) = x^2 + 4x – 3x – 12 = x^2 + x – 12\).
Ensuite, \(D = x^2 + 2x – (x^2 + x – 12) = x^2 + 2x – x^2 – x + 12\). Enfin, \(D = x + 12\).
Barème : 1 point par expression : 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la réduction correcte.
Erreur fréquente : en D, ne changer que le signe du premier terme. En effet, \(-(x^2 + x – 12)\) donne \(-x^2 – x + 12\) : tous les signes changent.
Exercice 3 : Les identités remarquables (4 points)
- Avec \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) : \(E = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2\). Ainsi, \(E = x^2 + 10x + 25\).
- Avec \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) : \(F = (3x)^2 – 2 \times 3x \times 2 + 2^2\). Donc \(F = 9x^2 – 12x + 4\).
- Avec \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\) : \(G = (2x)^2 – 7^2\). Alors \(G = 4x^2 – 49\).
- On développe les deux carrés, puis on retire la seconde parenthèse : \(H = (x^2 + 2x + 1) – (x^2 – 2x + 1) = x^2 + 2x + 1 – x^2 + 2x – 1\). Finalement, \(H = 4x\).
Barème : 1 point par expression. On accorde seulement 0,5 point si le double produit est oublié ou si \((3x)^2\) est remplacé par \(3x^2\).
Exercice 4 : Calcul mental astucieux (3 points)
- Avec \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) : \(101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1\). Donc \(101^2 = 10\,201\).
- Avec \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\) : \(49 \times 51 = (50 – 1)(50 + 1) = 2\,500 – 1\). Ainsi, \(49 \times 51 = 2\,499\).
- Avec \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) : \(98^2 = (100 – 2)^2 = 10\,000 – 400 + 4\). Alors \(98^2 = 9\,604\).
Barème : 1 point par calcul : 0,5 point pour l’identité et la décomposition du nombre, 0,5 point pour le résultat.
Exercice 5 : La piscine du jardin (5 points)
- L’aire d’un rectangle est longueur × largeur : \((2x + 5)(x + 3) = 2x^2 + 6x + 5x + 15\). L’aire du jardin est donc \(2x^2 + 11x + 15\) m².
- L’aire de la piscine est \(x^2\). L’aire de la pelouse est donc \(2x^2 + 11x + 15 – x^2\). Ainsi, l’aire de la pelouse est bien \(x^2 + 11x + 15\) m².
- Pour \(x = 4\) : \(4^2 + 11 \times 4 + 15 = 16 + 44 + 15 = 75\). Vérifions : le jardin mesure alors 13 m sur 7 m, soit \(91\) m². Puis la piscine mesure \(16\) m² ; \(91 – 16 = 75\). L’aire de la pelouse est donc 75 m².
- Pour \(x = \dfrac{1}{2}\) :
\[(\frac{1}{2})^2 + 11 \times \frac{1}{2} + 15 = \frac{1}{4} + \frac{11}{2} + 15 = \frac{1}{4} + \frac{22}{4} + \frac{60}{4} = \frac{83}{4}.\]
Vérifions encore : le jardin mesure 6 m sur \(\dfrac{7}{2}\) m, soit 21 m², c’est-à-dire \(\dfrac{84}{4}\) m². De plus, la piscine mesure \(\dfrac{1}{4}\) m². Ainsi, l’aire de la pelouse est \(\dfrac{83}{4}\) m², soit \(20{,}75\) m².
Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour le produit \((2x + 5)(x + 3)\), 1 point pour le développement réduit. Ensuite, la b) vaut 1 point : 0,5 point pour l’aire \(x^2\) de la piscine, 0,5 point pour la soustraction. Puis la c) vaut 1 point. Enfin, la d) vaut 1,5 point : 1 point pour les calculs sur les fractions, 0,5 point pour \(\dfrac{83}{4}\).
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Après le corrigé du contrôle : développer, réduire et identités remarquables
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