Corrigé du contrôle de maths 3ème : nombres premiers et décomposition en facteurs

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(91 = 7 \times 13\), donc 91 a d’autres diviseurs que 1 et lui-même : 91 n’est pas un nombre premier.
2. D’après la liste des nombres premiers, ceux compris entre 20 et 40 sont 23 ; 29 ; 31 et 37.
3. On calcule d’abord les puissances : \(2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\). Le résultat est donc 72.
4. \(1\,155\) se termine par 5, donc il est divisible par 5 : \(1\,155 = 5 \times 231\). 5 est un diviseur de \(1\,155\) (3, 7 ou 11 conviennent aussi).

Barème : 1 point par réponse exacte, car aucune justification n’est exigée. En b, on accorde toutefois 0,5 point si un seul nombre manque ou est en trop.

Exercice 2 : Critères de divisibilité (4 points)

1. On utilise d’abord les critères de divisibilité. Un nombre est divisible par 2 s’il est pair, et par 5 s’il se termine par 0 ou 5. Il est aussi divisible par 3 (ou par 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou par 9). Ensuite, on calcule les sommes des chiffres : \(3 + 4 + 2 = 9\) ; \(1 + 0 + 3 + 5 = 9\) ; \(2 + 1 + 7 + 0 = 10\) ; \(4 + 8 + 1 + 5 = 18\).
   

   Le nombre est-il divisible par…	2	3	5	9
   342	oui	oui	non	oui
   \(1\,035\)	non	oui	oui	oui
   \(2\,170\)	oui	non	oui	non
   \(4\,815\)	non	oui	oui	oui

2. \(1\,035\) se termine par 5, donc il est divisible par 5 : \(1\,035 = 5 \times 207\). Il possède donc un diviseur autre que 1 et lui-même : \(1\,035\) n’est pas premier.
3. D’abord, \(45 = 5 \times 9\). D’après le tableau, \(4\,815\) est divisible par 9 : \(4\,815 = 9 \times 535\). Ensuite, 535 se termine par 5 : \(535 = 5 \times 107\). Donc \(4\,815 = 9 \times 5 \times 107 = 45 \times 107\). Ainsi, Léo a raison : \(4\,815\) est divisible par 45.

Barème : a) 2,5 points, on retire 0,5 point par ligne comportant une erreur. Pour la b), 0,5 point pour un diviseur trouvé avec la conclusion. Enfin, la c) vaut 1 point : 0,5 point pour \(45 = 5 \times 9\), 0,5 point pour la conclusion justifiée.

Erreur fréquente : croire qu’un nombre divisible par 3 et par 9 est divisible par 27. En effet, cela ne marche qu’avec deux nombres sans diviseur commun autre que 1, comme 5 et 9.

Exercice 3 : Décomposer en produit de facteurs premiers (5 points)

1. On complète d’abord l’arbre avec \(4 = 2 \times 2\) et \(9 = 3 \times 3\). Tous les nombres au bout des branches sont alors premiers.

   

   On obtient \(360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\), donc \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).

2. On divise par les nombres premiers dans l’ordre croissant, tant que c’est possible :
   

   \(1\,050\)	2
   525	3
   175	5
   35	5
   7	7
   1

   Ainsi, \(1\,050 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 7\). Puis on vérifie : \(2 \times 3 \times 25 \times 7 = 6 \times 175 = 1\,050\).

3. \(294 = 2 \times 147\), puis \(147 = 3 \times 49\) et \(49 = 7 \times 7\). Donc \(294 = 2 \times 3 \times 7^2\).
4. Dans le carré d’un entier, chaque facteur premier apparaît avec un exposant pair. Or \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\) : il manque donc un facteur 2 et un facteur 5. On multiplie alors par \(2 \times 5 = 10\) :
   \[360 \times 10 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = (2^2 \times 3 \times 5)^2 = 60^2 = 3\,600.\]
   Il faut multiplier 360 par 10 au minimum.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour l’arbre complété, 1 point pour la décomposition avec puissances (0,5 point sans puissances). Pour la b), 1,5 point : 1 point pour les divisions, 0,5 point pour la décomposition. Puis la c) vaut 1 point. Enfin, la d) vaut 1 point : 0,5 point pour l’argument des exposants pairs, 0,5 point pour 10.

Exercice 4 : Des fractions irréductibles (3 points)

1. On remplace le numérateur et le dénominateur par leurs décompositions, puis on simplifie par les facteurs communs 2, 3 et 7 :
   \[\frac{294}{1\,050} = \frac{2 \times 3 \times 7 \times 7}{2 \times 3 \times 5 \times 5 \times 7} = \frac{7}{5 \times 5} = \frac{7}{25}.\]
   7 et 25 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1, donc la fraction irréductible est \(\dfrac{7}{25}\).
2. On décompose d’abord 252 : \(252 = 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 63 = 2 \times 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7\), donc \(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\).
   \[\frac{252}{360} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 7}{2^3 \times 3^2 \times 5} = \frac{7}{2 \times 5} = \frac{7}{10}.\]
   Ainsi, la fraction irréductible est \(\dfrac{7}{10}\).

Barème : a) 1,5 point : 1 point pour la simplification par les facteurs communs, 0,5 point pour le résultat. Ensuite, la b) vaut 1,5 point : 0,5 point pour la décomposition de 252, 1 point pour la fraction irréductible.

Exercice 5 : Le nombre mystère (4 points)

1. Prenons par exemple 3 et 5 : ce sont deux nombres premiers, et \(3 \times 5 + 1 = 16\). Or \(16 = 2 \times 8\), donc 16 n’est pas premier. Ainsi, ce contre-exemple suffit : Sofiane a tort.
2. Le nombre est divisible par les nombres premiers 5 et 11, donc sa décomposition contient 5 et 11. Il lui faut alors un troisième facteur premier \(p\), différent de 5 et de 11. Le nombre vaut donc \(55 \times p\).
   Puisque le nombre est impair, \(p \neq 2\). Essayons d’abord \(p = 3\) : \(55 \times 3 = 165\), qui est bien entre 100 et 200. Avec \(p = 7\), on obtient \(55 \times 7 = 385\), trop grand. Les nombres premiers suivants donnent aussi des produits encore plus grands.
   Le nombre de Maëlle est donc 165 (\(165 = 3 \times 5 \times 11\)).

3. Question c : 221 est-il premier ?

   221 est impair, donc non divisible par 2. La somme de ses chiffres vaut 5, donc il n’est pas divisible par 3. Il ne se termine ni par 0 ni par 5, donc il n’est pas divisible par 5. De même, \(221 = 7 \times 31 + 4\) et \(221 = 11 \times 20 + 1\) : ni 7 ni 11 ne le divisent. En revanche \(13 \times 17 = 221\).
   221 a donc des diviseurs autres que 1 et lui-même : 221 n’est pas un nombre premier.

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour un contre-exemple correct, 0,5 point pour la conclusion. Ensuite, la b) vaut 1,5 point : 1 point pour la démarche (facteurs 5 et 11, troisième facteur impair), 0,5 point pour 165. Enfin, la c) vaut 1,5 point : 1 point pour le diviseur 13 et le calcul \(13 \times 17 = 221\), 0,5 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : répondre à la question a avec des exemples qui marchent (\(2 \times 3 + 1 = 7\)). Des exemples ne prouvent jamais qu’une affirmation est toujours vraie, alors qu’un seul contre-exemple prouve qu’elle est fausse.

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Après le corrigé du contrôle : nombres premiers et décomposition en facteurs

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