L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet de référence n° 1 du brevet de maths 2027 : énoncé et corrigé : cherchez chaque question avant de lire sa correction.
Corrigé du sujet (corrigé référence 2027)
Partie 1 — Automatismes (corrigé référence 2027)
Question 1. On réduit au même dénominateur 20, multiple commun de 5 et de 4 : \(A=\dfrac{12}{20}-\dfrac{5}{20}=\dfrac{7}{20}\). Comme 7 est premier et ne divise pas 20, la fraction est déjà irréductible : \(A=\dfrac{7}{20}\).
Question 2. On écrit chaque terme en écriture décimale : \(3{,}1\times 10^{2}=310\), \(5\times 10=50\) et \(2{,}1\times 10^{-1}=0{,}21\) (multiplier par \(10^{-1}\), c’est diviser par 10). Donc \(B=310-50+0{,}21\), soit \(B=260{,}21\).
Question 3. On reconnaît la forme \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) avec \(a=5\) et \(b=2\sqrt{3}\). Or \((2\sqrt{3})^2=4\times 3=12\). Ensuite, le produit vaut donc \(25-12\), c’est-à-dire 13. Par ailleurs, erreur fréquente : écrire \((2\sqrt{3})^2=6\) en oubliant d’élever le 2 au carré.
Question 4. On passe tout en écriture décimale : \(1+\dfrac{3}{100}=1{,}03\) et \(\dfrac{7}{4}=1{,}75\). On compare alors 1,03 ; 1,25 ; 1,3 et 1,75, d’où l’ordre croissant : \(1+\dfrac{3}{100}\) ; 1,25 ; 1,3 ; \(\dfrac{7}{4}\). Attention : 1,3 est plus grand que 1,25 même s’il s’écrit avec moins de chiffres (1,30 contre 1,25).
Question 5. On ajoute 2 aux deux membres : \(3x=27\), puis on divise par 3 : \(x=9\). Vérification : \(3\times 9-2=25\).
Question 6. On distribue \(-4\) sur les deux termes de la parenthèse, sans oublier le signe du second : \(3a-1-8a-12\), puis on regroupe les termes en \(a\) et les constantes : \(-5a-13\).
Question 7. La translation qui envoie E sur B fait glisser chaque point d’un « demi-côté » dans la direction de A vers B. Ainsi A a pour image E, M a pour image F et H a pour image M. Par ailleurs, l’image du triangle AMH est donc le triangle EFM. On peut vérifier que ces deux triangles sont bien superposables : ils occupent chacun deux petits triangles de la figure.
Partie 1 — Automatismes : (suite)
Question 8. Les points A, B, E et A, C, D sont alignés et (CB) est parallèle à (DE) : le théorème de Thalès donne \(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{CB}{DE}\), soit \(\dfrac{6}{AE}=\dfrac{3}{15}\). Puis le côté DE est 5 fois plus long que CB, donc AE est 5 fois plus long que AB : \(AE=6\times 5\), soit AE = 30 cm.
Question 9. Augmenter de 20 %, c’est multiplier par \(1+\dfrac{20}{100}=1{,}2\). Or \(15\times 1{,}2=18\) (ou : 20 % de 15, c’est 3, et 15 + 3 = 18). Le nouveau prix est 18 €.
Exercice 1 (corrigé référence 2027)
1. On additionne les dix salaires des femmes : \(1500+1530+1550+1600+1650+1700+1800+2000+3000+3500=19\,830\). Leur moyenne est donc \(\dfrac{19\,830}{10}=1983\) €. Ensuite, le salaire moyen des hommes est 2076 €, soit \(2076-1983=93\) € de plus. En moyenne, un homme de l’entreprise gagne 93 € de plus par mois qu’une femme : les rémunérations ne sont pas tout à fait similaires.
2. Réponse rédigée modèle : « Le plus petit salaire des femmes est 1500 €, qui est supérieur à 1480 €. Le plus bas salaire de l’entreprise, 1480 €, est donc celui d’un homme. Enfin, l’étendue d’une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur. Puis pour les hommes, l’étendue vaut 2400 €, donc le salaire le plus élevé des hommes est égal à \(1480+2400=3880\) €. Chez les femmes, le salaire maximal est 3500 €, ce qui est inférieur à 3880 €. Le salaire le plus élevé de l’entreprise est donc 3880 €, et il est perçu par un homme. »
Remarque : beaucoup d’élèves ajoutent directement 2400 € à 1500 € ; il faut d’abord établir à qui appartient le salaire de 1480 €, sinon l’étendue ne peut pas être utilisée.
Exercice 1 (corrigé référence 2027) (suite)
3. Chez les hommes, l’effectif est pair (20). Si l’on range les salaires dans l’ordre croissant, la médiane est la moyenne de la 10e et de la 11e valeur. Comme tous les salaires sont différents, la 10e valeur est strictement inférieure à 2200 € et la 11e strictement supérieure. Les salaires de rang 11 à 20 dépassent donc 2200 € : cela fait exactement 10 hommes. Chez les femmes, seuls 3000 € et 3500 € dépassent 2200 €, soit 2 femmes. Au total, 12 personnes gagnent plus de 2200 €.
Exercice 1 (corrigé référence 2027) (suite)
Remarque : la précision « tous différents » est indispensable ; sans elle, plusieurs hommes pourraient gagner exactement 2200 € et le décompte serait impossible.
Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.
Exercice 2 :
1. Le point A se lit à l’abscisse 7 et à l’ordonnée 210 : A(7 ; 210).
2. Réponse rédigée modèle : « La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. De plus, la courbe \(C_2\) n’en est pas une : elle est formée de deux segments qui changent de direction au point A. Elle ne peut donc pas représenter \(g\). De plus, de plus, l’ordonnée à l’origine de \(g\) est \(g(0)=10\times 0+60=60\) : sa droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 60). C’est exactement le cas de \(C_1\), qui est bien une droite. La fonction \(g\) est donc représentée par \(C_1\). »
3. a. Ensuite, on part de 12 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à \(C_1\) puis on lit l’ordonnée : l’image de 12 par \(g\) est environ 180.
Exercice 2 (suite)
b. \(g(12)=10\times 12+60=120+60=180\). Le calcul confirme la lecture : \(g(12)=180\).
4. On cherche \(x\) tel que \(g(x)=150\) : \(10x+60=150\), donc \(10x=90\) et \(x=9\). L’antécédent de 150 par \(g\) est 9 (on le retrouve sur \(C_1\) en partant de 150 sur l’axe des ordonnées).
5. Avec le tarif N, le prix est \(60+10x\) pour \(x\) voyages : c’est la fonction \(g\), donc \(C_1\) correspond au tarif N. Avec le tarif P, le prix augmente de 30 € par voyage jusqu’à 7 voyages, soit \(7\times 30=210\) €, puis il ne bouge plus : c’est la forme de \(C_2\), qui monte jusqu’à A(7 ; 210) puis devient horizontale. \(C_2\) correspond au tarif P. Le tarif M n’est pas représenté.
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 2 : (suite)
6. La fonction \(f\) est linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine. Par ailleurs, il suffit d’un second point, par exemple \(f(8)=200\) : on trace la droite passant par (0 ; 0) et (8 ; 200). On peut contrôler avec \(f(4)=100\).
7. On compare les trois courbes. Puis le tarif P est plafonné à 210 € dès 7 voyages. La droite du tarif M dépasse 210 € à partir de 9 voyages (\(25\times 8=200\) mais \(25\times 9=225\)). Ensuite, la droite \(C_1\) du tarif N rejoint le palier de \(C_2\) au point (15 ; 210) : pour 15 voyages, N et P coûtent tous deux 210 €, et au-delà N devient plus cher (220 € pour 16 voyages). Le tarif P devient plus avantageux que les deux autres à partir de 16 voyages dans l’année. Attention à ne pas répondre 15 : à 15 voyages, P et N sont à égalité, P n’est pas encore « plus » avantageux.
Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.
Exercice 3 :
Le codage de la figure indique que AB, BM, MC et AM sont égales, donc égales à 4. Comme M est le milieu de [BC], \(BC=2\times 4=8\).
1. Le triangle ABC est rectangle en A, d’hypoténuse [BC]. D’après le théorème de Pythagore : \(BC^2=AB^2+AC^2\), soit \(64=16+AC^2\), donc \(AC^2=48\). \(AC=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\approx6{,}93\).
2. a. Réponse rédigée modèle : « Dans le triangle ABM, la hauteur issue du point A est la droite qui passe par le sommet A et qui est perpendiculaire au côté opposé [BM], c’est-à-dire à la droite (BM). » On appelle aussi hauteur le segment qui joint A au pied de cette perpendiculaire.
Exercice 3 (suite)
b. Le triangle ABM a trois côtés de longueur 4 : il est équilatéral. Puis dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d’un sommet est aussi la médiane issue de ce sommet ; son pied H est donc le milieu de [BM]. Ainsi HB = 2. Le point H appartient au segment [BC], donc \(CH=BC-HB=8-2\), soit CH = 6.
3. Calculons d’abord AH. De plus, le triangle ABH est rectangle en H ; le théorème de Pythagore donne \(AH^2=AB^2-HB^2=16-4=12\), donc \(AH=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Dans le triangle CAH, le point M est sur [CH], le point N est sur [CA] et les droites (MN) et (AH) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{CM}{CH}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{MN}{AH}\), d’où \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{MN}{2\sqrt{3}}\) et \(MN=\dfrac{4\times 2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\). NM \(=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\approx2{,}31\).
De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.
Exercice 3 : (suite)
Autre méthode : dans ABC, \(\tan\widehat{ACB}=\dfrac{4}{4\sqrt{3}}\), ce qui donne un angle de 30° ; dans le triangle CMN rectangle en M (voir question 4), \(MN=CM\times \tan30^\circ\approx2{,}31\). Les deux résultats concordent.
4. Réponse rédigée modèle : « La droite (AH) est perpendiculaire à (BC) et la droite (MN) est parallèle à (AH). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre : (MN) est donc perpendiculaire à (BC), et le triangle CMN est rectangle en M. Ensuite, dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. Après cela, dans le triangle ABC rectangle en A : \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ\). Dans le triangle CMN rectangle en M : \(\widehat{CNM}+\widehat{NCM}=90^\circ\). Comme N appartient à [CA] et M à [CB], les angles \(\widehat{NCM}\) et \(\widehat{ACB}\) sont le même angle. Par ailleurs, on en déduit que \(\widehat{ABC}=\widehat{CNM}\). »
On peut d’ailleurs donner leur mesure : ABM étant équilatéral, \(\widehat{ABC}=60^\circ\), donc \(\widehat{CNM}=60^\circ\) aussi. Une autre démarche consiste à remarquer que les triangles ABC et MNC ont deux angles égaux (l’angle droit et l’angle en C) : ils sont semblables, et leurs troisièmes angles sont donc égaux.
Retour à l’énoncé : Sujet de référence n° 1 du brevet de maths 2027 : énoncé et corrigé. Autre sujet de référence : Corrigé du sujet de référence n° 2 du brevet de maths 2027.
Corrigé référence 2027 : méthode de travail
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Par ailleurs, corrigé référence 2027 demande surtout de la régularité.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet blanc de maths 2022 n° 1.
