Voici le corrigé du brevet blanc de maths n° 1 proposé pour préparer le DNB 2022. Ce sujet d’entraînement, construit comme l’épreuve officielle, compte sept exercices qui balaient le programme de troisième. Il s’ouvre sur un QCM : image par une fonction, développement d’un produit, théorème de Thalès appliqué à une lentille et résolution d’une équation du premier degré. On calcule ensuite un angle de tir grâce à la trigonométrie, puis on étudie une homothétie de rapport négatif et l’effet d’un agrandissement sur les aires. Un exercice sur la course à pied relie allure et vitesse moyenne par la fonction \(f(x)=\dfrac{60}{x}\). Viennent ensuite un problème de volume d’un cylindre avec conversions d’unités, un rallye VTT qui mobilise Pythagore, le parallélisme et Thalès, et enfin un programme Scratch qui dessine six rectangles régulièrement espacés. Chaque question est rappelée puis résolue pas à pas.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM : fonctions, calcul littéral, Thalès, équation (6 points)
Pour chacune des cinq questions, une seule des trois réponses proposées est exacte. On justifie ici chaque choix.
Question 1. On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=8x^2+3x-1\). Quelle est l’image de \(-2\) ?
On remplace \(x\) par \(-2\), sans oublier les parenthèses :
\[f(-2)=8\times (-2)^2+3\times (-2)-1=8\times 4-6-1=32-7=25\]
L’image de \(-2\) par \(f\) est 25 : réponse C.
Question 2. On considère la fonction \(f : x \mapsto x+1\). Quelle affirmation est exacte ?
La fonction ajoute 1 au nombre de départ. Ainsi \(f(2)=2+1=3\), donc l’affirmation « \(f(2)=1\) » est fausse. En revanche \(f(1)=1+1=2\) : l’image de 1 est 2, autrement dit 1 est un antécédent de 2.
L’affirmation exacte est \(f(1)=2\) : réponse B.
Question 3. Quelle est l’expression développée et réduite de \((x+4)(2x-3)\) ?
On applique la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
\[(x+4)(2x-3)=x\times 2x-x\times 3+4\times 2x-4\times 3=2x^2-3x+8x-12=2x^2+5x-12\]
La forme développée réduite est \(2x^2+5x-12\) : réponse B.
Question 4. Un stylo AB de 14 cm donne, à travers une lentille convergente de centre L, une image A′B′ sur un écran. Le stylo et son image sont parallèles, avec LA = 32 cm et LA′ = 12 cm. Quelle est la hauteur de l’image ?
Les points A, L, A′ d’une part et B, L, B′ d’autre part sont alignés, et les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») :
\[\frac{LA^{\prime}}{LA}=\frac{LB^{\prime}}{LB}=\frac{A^{\prime}B^{\prime}}{AB}\quad\text{soit}\quad \frac{12}{32}=\frac{A^{\prime}B^{\prime}}{14}\]
\[A^{\prime}B^{\prime}=\frac{12\times 14}{32}=\frac{168}{32}=5{,}25\ \text{cm}\]
L’image du stylo mesure 5,25 cm : réponse C.
Question 5. Quelle est la solution de l’équation \(3x-7=5x+13\) ?
On regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre :
\[3x-5x=13+7 \quad\Longleftrightarrow\quad -2x=20 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{20}{-2}=-10\]
Vérification : \(3\times (-10)-7=-37\) et \(5\times (-10)+13=-37\). La solution est \(-10\) : réponse A.
Exercice 2 :
Trigonométrie : l’angle de tir (4 points)
Le tireur tient son arme au point P, à 1 m du sol ; il vise un chapeau C situé à 2,13 m du sol, à 6 m de lui horizontalement. On demande l’angle \(\widehat{APC}\) entre la trajectoire de la balle et l’horizontale, au degré près.
Le point A est à la même hauteur que P (1 m), donc :
\[AC=2{,}13-1=1{,}13\ \text{m}\]
La droite (PA) est horizontale et (AC) est verticale : le triangle PAC est rectangle en A, avec PA = 6 m. Dans ce triangle, AC est le côté opposé à l’angle \(\widehat{APC}\) et PA le côté adjacent :
\[\tan\widehat{APC}=\frac{AC}{PA}=\frac{1{,}13}{6}\]
À la calculatrice, \(\widehat{APC}=\arctan(\dfrac{1{,}13}{6})\approx 10{,}67^\circ\).
L’angle d’inclinaison du tir est d’environ 11°.
Exercice 3 :
Homothétie de rapport négatif (6,5 points)
Le triangle A′B′C′ est l’image du triangle ABC par une homothétie de centre O et de rapport \(k\), qui envoie A sur A′, B sur B′ et C sur C′.
1. Placer le centre O de l’homothétie.
Par une homothétie de centre O, chaque point, son image et le centre O sont alignés. O appartient donc à la droite (AA′) et à la droite (BB′) : on trace les segments [AA′] et [BB′], et O est leur point d’intersection. On peut contrôler la construction : le segment [CC′] passe lui aussi par O.
2. Quel est le signe du rapport \(k\) ?
Le triangle et son image sont situés de part et d’autre du centre O : A et A′ (de même que B et B′, C et C′) sont de côtés opposés par rapport à O. Le rapport est donc négatif. La figure est à la fois agrandie et « retournée » (une homothétie de rapport négatif combine un agrandissement ou une réduction et un demi-tour autour de O).
3. Déterminer une valeur approchée de \(k\).
Sur la figure, on mesure AC = 8 cm et A′C′ = 11,5 cm. Une homothétie de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(|k|\), et \(k\) est négatif, donc :
\[k=-\frac{A^{\prime}C^{\prime}}{AC}=-\frac{11{,}5}{8}=-1{,}4375\approx -1{,}4\]
Le rapport vaut environ \(-1{,}4\).
4. Comparer les aires des deux triangles.
Une homothétie de rapport \(k\) multiplie les aires par \(k^2\) :
\[\mathcal{A}_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}=k^2\times \mathcal{A}_{ABC}\quad\text{avec}\quad k^2=(\frac{11{,}5}{8})^2=\frac{132{,}25}{64}\approx 2{,}07\]
L’aire du triangle A′B′C′ est donc environ 2 fois plus grande que celle du triangle ABC (environ 2,07 fois). Si l’on utilise la valeur arrondie \(k\approx -1{,}4\), on trouve \(k^2\approx 1{,}96\) : l’arrondi fait perdre un peu de précision, mais la conclusion « environ le double » reste la même.
Exercice 4 :
Course à pied : allure et vitesse moyenne (6,5 points)
1. Lors d’un entraînement, Léo a parcouru 10,5 km en 1 h 03 min (allure moyenne affichée : 6 min/km). Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
On convertit la durée : 1 h 03 min = 63 min \(=\dfrac{63}{60}\) h \(=1{,}05\) h. Donc :
\[v=\frac{d}{t}=\frac{10{,}5}{1{,}05}=10\ \text{km/h}\]
On peut aussi raisonner par proportionnalité : en 63 min il parcourt 10,5 km, donc en 60 min il parcourt \(\dfrac{60\times 10{,}5}{63}=10\) km. Sa vitesse moyenne est de 10 km/h.
2. On note \(f\) la fonction définie pour \(x\gt 0\) par \(f(x)=\dfrac{60}{x}\), où \(x\) est l’allure en min/km et \(f(x)\) la vitesse en km/h.
a. Calcul de \(f(6)\) :
\[f(6)=\frac{60}{6}=10\]
On retrouve bien la vitesse de 10 km/h pour une allure de 6 min/km : courir 1 km en 6 minutes revient à courir 10 km en 60 minutes.
b. Calcul de \(f(5)\) et interprétation :
\[f(5)=\frac{60}{5}=12\]
Avec une allure de 5 min/km (celle de la dernière course de Léo), sa vitesse moyenne est de 12 km/h.
3.a. Déterminer un antécédent de 10 par \(f\).
On cherche \(x\) tel que \(\dfrac{60}{x}=10\), c’est-à-dire \(x=\dfrac{60}{10}=6\). Un antécédent de 10 par \(f\) est 6 (d’après la question 2.a).
3.b. Pour une allure de 14 min/km, quelle est la vitesse moyenne ?
\[f(14)=\frac{60}{14}=\frac{30}{7}\approx 4{,}29\]
La vitesse moyenne est d’environ 4,3 km/h (au dixième près), ce qui correspond plutôt à une allure de marche.
Exercice 5 :
Volume d’un cylindre et conversions (5,5 points)
Alexandre prépare un cocktail. La recette pour 6 personnes demande 6 dL de jus de mangue, 30 cL de jus de poire, 120 mL de jus de citron vert et 15 cL de sirop de cassis. Son récipient est un cylindre de diamètre 16 cm et de hauteur 20 cm. Est-il assez grand pour préparer le cocktail pour 20 personnes ?
Volume de cocktail nécessaire. On convertit tout en centilitres : 6 dL = 60 cL et 120 mL = 12 cL. Pour 6 personnes :
\[V_6=60+30+12+15=117\ \text{cL}\]
Pour 2 personnes, il faut trois fois moins : \(V_2=\dfrac{117}{3}=39\) cL. Pour 20 personnes, soit 10 fois 2 personnes :
\[V_{20}=10\times 39=390\ \text{cL}\]
Volume du récipient. Le rayon vaut \(r=16: 2=8\) cm, donc :
\[V_{\text{cylindre}}=\pi\times r^2\times h=\pi\times 8^2\times 20=1\,280\pi\approx 4\,021{,}2\ \text{cm}^3\]
Comme \(1\ \text{cm}^3=1\ \text{mL}\), le récipient contient environ 4 021,2 mL, soit environ 402,1 cL.
Conclusion. \(402{,}1\gt 390\) : le récipient d’Alexandre est assez grand pour préparer le cocktail pour 20 personnes (il reste un peu plus de 12 cL de marge).
Exercice 6 :
Rallye VTT : Pythagore, parallélisme, Thalès, vitesse (9 points)
Mathilde suit un parcours balisé de A à G, représenté en traits pleins : A → B → D → F → G. On connaît AB = 7 km, BC = 1,5 km, CD = 2 km, DE = 5 km et FG = 3,5 km ; les angles en C et en E sont droits, et les points C, D, E sont alignés ainsi que B, D, F.
1. Calculer la longueur BD.
Le triangle BCD est rectangle en C. D’après le théorème de Pythagore :
\[BD^2=BC^2+CD^2=1{,}5^2+2^2=2{,}25+4=6{,}25\]
\[BD=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\ \text{km}\]
La longueur BD vaut 2,5 km.
2. Montrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
On sait que \((BC)\perp(CE)\) (angle droit en C) et que \((EF)\perp(CE)\) (angle droit en E). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc \((BC)\,/\!/\,(EF)\).
3. Calculer la longueur DF.
Les points B, D, F sont alignés, les points C, D, E sont alignés et les droites (BC) et (EF) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{DB}{DF}=\frac{DC}{DE}=\frac{BC}{EF}\quad\text{soit}\quad \frac{2{,}5}{DF}=\frac{2}{5}\]
\[DF=\frac{5\times 2{,}5}{2}=\frac{12{,}5}{2}=6{,}25\ \text{km}\]
La longueur DF vaut 6,25 km.
4. Calculer la longueur totale du parcours.
\[L=AB+BD+DF+FG=7+2{,}5+6{,}25+3{,}5=19{,}25\ \text{km}\]
Le parcours mesure 19,25 km.
5. Sur la portion AB de 7 km, Mathilde roule à la vitesse moyenne de 16 km/h. Combien de temps met-elle ?
La durée est proportionnelle à la distance : 16 km sont parcourus en 60 min, donc 7 km le sont en
\[t=\frac{7\times 60}{16}=\frac{420}{16}=26{,}25\ \text{min}\]
Or \(0{,}25\) min \(=0{,}25\times 60=15\) s. Mathilde met 26 min 15 s pour parcourir ces 7 km.
Exercice 7 :
Algorithmique : un motif Scratch (3 points)
On veut dessiner six rectangles identiques de 30 pas de large sur 150 pas de haut, régulièrement espacés, le dessin complet mesurant 220 pas de largeur. Voici les deux scripts à compléter :
définir motif
stylo en position d'écriture
répéter 2 fois
avancer de 30 pas
tourner ↺ de A degrés
avancer de B pas
tourner ↺ de C degrés
quand le drapeau vert est cliqué
s'orienter à 90
effacer tout
répéter 6 fois
motif
relever le stylo
avancer de D pas
1. Compléter les valeurs A, B et C du bloc « motif ».
Le lutin part vers la droite et trace la base (30 pas). Pour tracer un rectangle, il doit tourner d’un angle droit à chaque coin, puis parcourir la hauteur de 150 pas. Deux passages dans la boucle tracent les quatre côtés et ramènent le lutin à son point de départ, orienté à nouveau vers la droite.
On complète avec A = 90°, B = 150 pas et C = 90°.
2. Déterminer la valeur de D.
Les six rectangles occupent \(6\times 30=180\) pas de largeur. Il reste \(220-180=40\) pas à répartir entre les 5 écarts séparant les six rectangles :
\[\text{écart}=\frac{220-6\times 30}{5}=\frac{40}{5}=8\ \text{pas}\]
Après chaque rectangle, le lutin revient à son coin inférieur gauche : pour atteindre le coin du rectangle suivant, il doit avancer de la largeur d’un rectangle plus un écart, soit \(30+8\). Donc D = 38 pas.
