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Corrigé du sujet
Partie 1 — Automatismes :
Question 1. La multiplication est prioritaire : \(3\times 4=12\). Il reste \(2{,}5-5{,}5+12=-3+12\), donc \(A=9\).
Question 2. Comme \(100=10^2\), on a \(100^3=(10^2)^3=10^{6}\). Puis \(10^{6}\times 10^{-2}=10^{6-2}\), donc \(B=10^{4}\). Piège classique : confondre \(100^3\) avec \(10^3\).
Question 3. L’aire d’un carré de côté \(c\) vaut \(c^2\). On cherche le nombre positif dont le carré est 49 : \(c=\sqrt{49}=7\). Le côté mesure 7 cm.
Question 4. Un entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Il suffit donc d’écrire un nombre de 5 chiffres terminé par 7 dont les chiffres ont une somme égale à 9, 18, 27… Par exemple 10 107 : \(1+0+1+0+7=9\), et en effet \(10\,107=9\times 1123\). D’autres réponses conviennent, comme 11 007 ou 20 007.
Question 5. On écrit \(9x^2=(3x)^2\) et \(25=5^2\), puis on applique \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) : \(9x^2-25=(3x-5)(3x+5)\).
Question 6. On retire \(2x\) aux deux membres : \(x-2=5\), puis on ajoute 2 : \(x=7\). Vérification : \(3\times 7-2=19\) et \(2\times 7+5=19\).
Question 7. Dans le patron d’un cylindre, le rectangle s’enroule autour des disques de base : sa longueur est égale au périmètre d’un disque, sa largeur à la hauteur. Longueur : \(2\times \pi\times 3=6\pi\). La longueur du rectangle est \(6\pi\) cm, soit environ 18,8 cm. Ne pas répondre 5 cm : c’est la largeur du rectangle.
Question 8. Les trois pentagones de la rosace ont le point B en commun et se partagent le tour complet de ce point, soit trois angles de \(360^\circ: 3=120^\circ\). Première rotation : centre B, angle 120° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ; elle envoie A sur C, E sur F, D sur G et C sur H, donc ABCDE sur le pentagone BCFGH. Seconde rotation : centre B, angle 120° dans le sens des aiguilles d’une montre (ou 240° dans l’autre sens) ; elle envoie C sur A, D sur J, E sur I et A sur H, donc ABCDE sur le pentagone BAJIH.
Question 9. À chaque passage dans la boucle, le lutin avance de 30 pas en bas, monte de 10, avance de 30 pas en haut, puis redescend de 10 : il dessine un créneau complet. Sur la frise, on compte six créneaux hauts. Il faut donc remplacer les pointillés par 6. Contrôle : la frise mesure \(6\times 60=360\) pas, du point d’abscisse \(-200\) au point d’abscisse 160.
Exercice 1 :
1. Le sac contient \(10+6+4=20\) boules et chaque boule a la même probabilité d’être tirée : on est dans une situation d’équiprobabilité. \(P(\text{rouge})=\dfrac{10}{20}\), soit \(\dfrac{1}{2}\).
2. Réponse rédigée modèle.
« Méthode 1, par dénombrement. Les issues sont équiprobables, donc la probabilité d’un événement est égale au nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues. Les issues favorables à l’événement « la boule tirée est noire ou jaune » sont les 6 boules noires et les 4 boules jaunes, soit 10 boules sur 20. La probabilité cherchée est donc \(\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\). »
« Méthode 2, par l’événement contraire. Une boule qui n’est ni noire ni jaune est forcément rouge : l’événement contraire de « la boule est noire ou jaune » est donc « la boule est rouge ». La somme des probabilités d’un événement et de son contraire vaut 1. D’après la question 1, la probabilité cherchée est donc \(1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\). »
Dans les deux cas, la probabilité de tirer une boule noire ou jaune est \(\dfrac{1}{2}\). On pouvait aussi additionner \(\dfrac{6}{20}+\dfrac{4}{20}\), car une boule ne peut pas être à la fois noire et jaune (événements incompatibles). Éviter le mot « chance » à la place de « probabilité » et bien nommer l’événement contraire : c’est ce que le correcteur regarde ici.
3. Notons \(b\) le nombre de boules bleues ajoutées. Le sac contient alors \(20+b\) boules, dont \(b\) bleues, donc \(\dfrac{b}{20+b}=\dfrac{1}{5}\). Les produits en croix donnent \(5b=20+b\), puis \(4b=20\) et \(b=5\). Vérification : \(\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}\). On a ajouté 5 boules bleues. Autre raisonnement : si les bleues représentent \(\dfrac{1}{5}\) du sac, les 20 autres boules en représentent \(\dfrac{4}{5}\), donc un cinquième correspond à 5 boules.
Exercice 2 :
1. Les points A et B sont sur le cercle de centre O et de rayon 5 cm, donc \(OA=OB=5\) cm. Le triangle AOB est isocèle en O. Ses angles à la base mesurent \((180^\circ-70^\circ): 2=55^\circ\) : il n’est pas équilatéral.
2. Réponse rédigée modèle : « La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance de ses deux extrémités. Puisque \(OA=OB\), le point O est équidistant de A et de B : il appartient donc à la médiatrice du segment [AB]. Le triangle AOB est isocèle en O ; dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est un axe de symétrie du triangle, et elle est donc aussi la bissectrice de l’angle au sommet \(\widehat{AOB}\). Elle partage cet angle en deux angles de même mesure : \(\widehat{HOB}=70^\circ: 2\), soit \(\widehat{HOB}=35^\circ\). »
3. La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à [AB] en H : le triangle OHB est rectangle en H, d’hypoténuse [OB]. Dans ce triangle, \(\cos\widehat{HOB}=\dfrac{OH}{OB}\), donc \(OH=5\times \cos35^\circ\approx4{,}096\). Arrondie au dixième, OH = 4,1 cm.
4. a. Toujours dans le triangle OHB rectangle en H, \(\sin\widehat{HOB}=\dfrac{HB}{OB}\), donc \(HB=5\times \sin35^\circ\approx2{,}868\). Au millimètre près, HB ≈ 2,9 cm. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore, \(HB^2=OB^2-OH^2\), à condition de garder la valeur exacte de OH dans la calculatrice.
b. H appartient à la médiatrice de [AB] et à [AB] : c’est le milieu de [AB]. Donc \(AB=2\times HB=10\times \sin35^\circ\approx5{,}736\). Arrondie au dixième, AB ≈ 5,7 cm. Attention : doubler la valeur arrondie 2,9 donnerait 5,8 cm, ce qui est faux ; on double toujours la valeur non arrondie.
5. Dans le triangle OAB, [OH] est la hauteur relative à la base [AB]. \(\mathcal{A}=\dfrac{AB\times OH}{2}=\dfrac{10\sin35^\circ\times 5\cos35^\circ}{2}\approx11{,}746\). L’aire du triangle OAB est d’environ 11,7 cm². Avec les valeurs arrondies \(\dfrac{5{,}7\times 4{,}1}{2}\), on obtient 11,685, soit aussi environ 11,7 cm², mais le calcul avec les valeurs exactes est plus sûr.
Exercice 3 :
1. On applique le programme à 3 : \(3+4=7\), puis \(7\times 3=21\), puis \(21-5=16\). Le programme donne bien 16.
2. On traduit chaque étape : \(x\) devient \(x+4\), puis \((x+4)\times x\), puis \((x+4)x-5\). En développant : \((x+4)x-5=x^2+4x-5\).
3. a. On développe la forme proposée : \((x+5)(x-1)=x^2-x+5x-5=x^2+4x-5\). On retrouve l’expression de la question 2 : le résultat du programme s’écrit \((x+5)(x-1)\).
b. On résout \((x+5)(x-1)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : \(x+5=0\) ou \(x-1=0\). Il faut choisir \(-5\) ou 1.
c. Le produit \((x+5)(x-1)\) est négatif lorsque ses deux facteurs sont de signes contraires, ce qui arrive pour tout nombre strictement compris entre \(-5\) et 1. Par exemple, avec \(x=0\), le résultat est \(-5\), qui est bien négatif (avec \(x=-2\), on obtient \(3\times (-3)=-9\)).
4. a. Réponse rédigée modèle : « Un antécédent du nombre \(a\) par la fonction \(f\) est un nombre \(x\) dont l’image par \(f\) est égale à \(a\), c’est-à-dire un nombre \(x\) tel que \(f(x)=a\). » Ne pas confondre avec l’image : l’antécédent est le nombre de départ, l’image le nombre d’arrivée.
b. Graphiquement, on trace la droite horizontale d’ordonnée \(-5\) : elle coupe \(C_f\) en deux points, d’abscisses \(-4\) et 0. Par le calcul : \(x^2+4x-5=-5\) équivaut à \(x^2+4x=0\), soit \(x(x+4)=0\), d’où \(x=0\) ou \(x=-4\). Vérification : \(f(-4)=16-16-5=-5\). Les antécédents de \(-5\) par \(f\) sont \(-4\) et 0.
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