Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques 2010 en France métropolitaine, épreuve de juin 2010. Le premier exercice résout l’équation différentielle \(y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}\), puis étudie la famille de fonctions \(f_k(x)=(x+k)\mathrm{e}^{-x}\) : maximum, lieu des sommets sur la courbe de l’exponentielle, lecture graphique et intégration par parties pour calculer une aire. Le deuxième commence par une restitution organisée de connaissances sur les suites adjacentes, puis examine plusieurs couples de suites, dont un couple faisant intervenir le logarithme népérien. Le troisième est un QCM de probabilités : tirages simultanés, loi binomiale, probabilités conditionnelles et loi exponentielle. Le quatrième porte sur les nombres complexes : rotation, triangles équilatéraux et minimisation d’une distance pour l’obligatoire, réflexion, rotation et similitude directe pour la spécialité. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Équation différentielle, fonctions exponentielles et calcul d’aire
Partie A
On étudie l’équation différentielle \((E) : y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}\) et l’équation homogène associée \((E^{\prime}) : y^{\prime}+y=0\).
1) On vérifie que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x)=x\mathrm{e}^{-x}\) est solution de \((E)\).
\(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables et, pour tout réel \(x\) :
\[u^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+x\times (-\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}.\]
Donc \(u^{\prime}(x)+u(x)=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}+x\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}\) : \(u\) est bien solution de \((E)\).
2) On résout \((E^{\prime})\), qui s’écrit \(y^{\prime}=-y\). D’après le cours, ses solutions sont les fonctions
\[x\mapsto C\mathrm{e}^{-x},\quad C\in\mathbb{R}.\]
3) On montre qu’une fonction \(v\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(v-u\) est solution de \((E^{\prime})\).
Comme \(u^{\prime}(x)+u(x)=\mathrm{e}^{-x}\) pour tout réel \(x\), on a les équivalences :
- \(v\) solution de \((E)\) \(\iff\) pour tout \(x\), \(v^{\prime}(x)+v(x)=\mathrm{e}^{-x}\) ;
- \(\iff\) pour tout \(x\), \(v^{\prime}(x)+v(x)=u^{\prime}(x)+u(x)\) ;
- \(\iff\) pour tout \(x\), \((v-u)^{\prime}(x)+(v-u)(x)=0\) ;
- \(\iff\) \(v-u\) est solution de \((E^{\prime})\).
4) D’après les questions 2 et 3, \(v\) est solution de \((E)\) si et seulement s’il existe un réel \(C\) tel que \(v(x)-x\mathrm{e}^{-x}=C\mathrm{e}^{-x}\). Les solutions de \((E)\) sont donc les fonctions
\[\boxed{v(x)=(x+C)\mathrm{e}^{-x},\quad C\in\mathbb{R}.}\]
5) On cherche la solution \(g\) de \((E)\) telle que \(g(0)=2\). Il existe un réel \(C\) tel que \(g(x)=(x+C)\mathrm{e}^{-x}\) ; alors \(g(0)=C\), donc \(C=2\) :
\[\boxed{g(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}.}\]
Partie B
Pour tout réel \(k\), on note \(f_k\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_k(x)=(x+k)\mathrm{e}^{-x}\), \(\mathscr{C}_k\) sa courbe représentative et \(\Gamma\) la courbe d’équation \(y=\mathrm{e}^{-x}\).
1) On montre que \(f_k\) admet un maximum.
\(f_k\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\) :
\[f_k^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}-(x+k)\mathrm{e}^{-x}=(1-k-x)\,\mathrm{e}^{-x}.\]
Comme \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\), \(f_k^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-k-x\) : positif pour \(x\leq\, 1-k\), négatif pour \(x\geq\, 1-k\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1-k\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f_k^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f_k\) | croissante | \(\mathrm{e}^{k-1}\) | décroissante |
\(f_k\) admet donc un maximum en \(x=1-k\).
2) Soit \(M_k\) le point de \(\mathscr{C}_k\) d’abscisse \(1-k\). Son ordonnée vaut
\[f_k(1-k)=(1-k+k)\,\mathrm{e}^{-(1-k)}=\mathrm{e}^{-(1-k)}.\]
L’ordonnée de \(M_k\) est l’image de son abscisse par \(x\mapsto \mathrm{e}^{-x}\) : \(M_k\) appartient à \(\Gamma\). Tous les sommets des courbes \(\mathscr{C}_k\) sont donc sur la courbe de \(x\mapsto \mathrm{e}^{-x}\).
3) a) Sur le graphique de l’énoncé figurent \(\Gamma\) et une courbe \(\mathscr{C}_k\). La fonction \(x\mapsto \mathrm{e}^{-x}\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) (sa dérivée \(-\mathrm{e}^{-x}\) est négative), alors que \(f_k\) croît puis décroît. La courbe monotone décroissante est \(\Gamma\), celle qui présente un maximum est \(\mathscr{C}_k\).
b) On détermine \(k\) et les unités graphiques.
- \(\Gamma\) passe par le point \((0 ; 1)\) puisque \(\mathrm{e}^{0}=1\) : la lecture de ce point sur l’axe des ordonnées donne l’unité en ordonnée, 2 cm.
- \(\mathscr{C}_k\) coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée \(f_k(0)=k\) ; on y lit \(k=2\).
- \(f_2(x)=0\iff x+2=0\iff x=-2\) : \(\mathscr{C}_2\) coupe l’axe des abscisses au point \((-2 ; 0)\), ce qui donne l’unité en abscisse, 2 cm également.
Ainsi \(k=2\) et l’on remarque que \(f_2\) est exactement la fonction \(g\) de la partie A. Son maximum est atteint en \(x=1-2=-1\) et vaut \(\mathrm{e}\) : c’est le point \(M_2(-1 ; \mathrm{e})\), situé sur \(\Gamma\).
4) On calcule \(I=\displaystyle\int_0^2 f_2(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^2 (x+2)\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\) par une intégration par parties.
On pose \(p(x)=x+2\), \(q^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\), d’où \(p^{\prime}(x)=1\) et \(q(x)=-\mathrm{e}^{-x}\). Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0 ; 2]\), donc :
\[I=\Big[-(x+2)\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^2-\int_0^2(-\mathrm{e}^{-x})\mathrm{d}x=(-4\mathrm{e}^{-2}+2)+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^2.\]
\[I=-4\mathrm{e}^{-2}+2-\mathrm{e}^{-2}+1=\boxed{3-5\mathrm{e}^{-2}}\approx 2{,}32.\]
Interprétation : \(f_2\) est positive sur \([0 ; 2]\) (car \(x+2\gt 0\)), donc \(I\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par \(\mathscr{C}_2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=2\). Avec des unités de 2 cm sur chaque axe, une unité d’aire vaut \(4\ \text{cm}^2\), soit une aire d’environ \(9{,}29\ \text{cm}^2\).
Exercice 2 :
Suites adjacentes
1) Restitution organisée de connaissances. On admet que toute suite croissante majorée converge, et que si deux suites \((u_n)\) croissante et \((v_n)\) décroissante vérifient \(u_n\leq\, v_n\) pour tout \(n\), alors \((u_n)\) est majorée par \(v_0\) et \((v_n)\) minorée par \(u_0\). On doit démontrer que deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Soient \((u_n)\) croissante et \((v_n)\) décroissante, adjacentes : \(\lim\limits_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0\) et (propriété du cours) \(u_n\leq\, v_n\) pour tout \(n\).
- Pour tout \(n\) : \(u_n\leq\, v_n\leq\, v_0\), donc \((u_n)\) est croissante et majorée par \(v_0\) ; de même \(v_n\geq\, u_n\geq\, u_0\), donc \((v_n)\) est décroissante et minorée par \(u_0\).
- Une suite croissante majorée converge, une suite décroissante minorée aussi : \((u_n)\) converge vers un réel \(U\), \((v_n)\) vers un réel \(V\).
- Par différence, \(v_n-u_n\) tend vers \(V-U\) ; or cette différence tend vers \(0\), d’où \(U=V\).
Deux suites adjacentes convergent donc vers la même limite.
2) Pour chaque couple de suites proposé, on dit s’il s’agit de suites adjacentes.
a) \(u_n=1-10^{-n}\) et \(v_n=1+10^{-n}\).
- \(u_{n+1}-u_n=10^{-n}-10^{-n-1}=0{,}9\times 10^{-n}\gt 0\) : \((u_n)\) est croissante ;
- \(v_{n+1}-v_n=10^{-n-1}-10^{-n}=-0{,}9\times 10^{-n}\lt 0\) : \((v_n)\) est décroissante ;
- \(v_n-u_n=2\times 10^{-n}\), qui tend vers \(0\) car \(0\lt\frac{1}{10}\lt 1\).
Les suites sont adjacentes ; elles ont la même limite \(1\), puisque \(10^{-n}=(\frac{1}{10})^n\) tend vers \(0\).
b) Dans ce couple, les deux suites tendent vers \(+\infty\). Or deux suites adjacentes convergent vers une limite finie (question 1) : ces suites ne sont pas adjacentes.
c) Ici \(u_n=1-\frac{1}{n}\) et \(v_n=1+\frac{(-1)^n}{n}\) tendent toutes deux vers \(1\) (car \(\frac{1}{n}\) et \(\frac{(-1)^n}{n}\) tendent vers \(0\)), mais \((v_n)\) n’est pas monotone : par exemple \(v_1=0\), \(v_2=1{,}5\), \(v_3=\frac{2}{3}\). Avoir la même limite ne suffit pas : les suites ne sont pas adjacentes.
3) Soit \(a\) un réel positif, \(u_n=1-\frac{1}{n}\) et \(v_n=\ln(a+\frac{1}{n})\) pour \(n\geq\, 1\). On cherche s’il existe \(a\) rendant ces suites adjacentes.
- \(n\mapsto \frac{1}{n}\) est décroissante, donc \((u_n)\) est croissante ; comme \(\ln\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante.
- \(\lim u_n=1\). Si \(a=0\), \(v_n=\ln\frac{1}{n}=-\ln n\) tend vers \(-\infty\) ; si \(a\gt 0\), \(v_n\) tend vers \(\ln a\) par continuité de \(\ln\).
- Pour que \(v_n-u_n\) tende vers \(0\), il faut que \(a\gt 0\) et \(\ln a=1\), c’est-à-dire \(a=\mathrm{e}\).
Réciproquement, pour \(a=\mathrm{e}\), \((u_n)\) croît, \((v_n)\) décroît et \(v_n-u_n\) tend vers \(\ln\mathrm{e}-1=0\). Les suites sont adjacentes si et seulement si \(a=\mathrm{e}\).
Exercice 3 :
QCM de probabilités (une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires)
1) On tire simultanément 3 boules ; probabilité d’obtenir exactement 2 boules blanches (et donc 1 noire). Les tirages simultanés sont équiprobables, au nombre de \(\binom\,{10}{3}=120\) :
\[p=\frac{\binom\,{7}{2}\binom\,{3}{1}}{\binom\,{10}{3}}=\frac{21\times 3}{120}=\boxed{\frac{21}{40}}.\]
2) On effectue 5 tirages successifs avec remise ; probabilité d’obtenir exactement 3 boules noires. Avec remise, les tirages sont identiques et indépendants : le nombre de boules noires suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(5 ; \frac{3}{10})\). L’ordre d’apparition n’étant pas imposé, on compte \(\binom\,{5}{3}=\binom\,{5}{2}=10\) positions possibles :
\[p=\binom\,{5}{3}(\frac{3}{10})^3(\frac{7}{10})^2=10\times 0{,}027\times 0{,}49=\boxed{0{,}1323}.\]
3) On tire une boule : si elle est blanche on lance un dé cubique (faces 1 à 6), si elle est noire un dé tétraédrique (faces 1 à 4). On obtient 1 ; probabilité que la boule tirée soit blanche.
Notons \(B\) « la boule est blanche », \(N\) « la boule est noire », \(U\) « on obtient 1 ». On a \(P(B)=\frac{7}{10}\), \(P(N)=\frac{3}{10}\), \(P_B(U)=\frac{1}{6}\), \(P_N(U)=\frac{1}{4}\). D’après la formule des probabilités totales :
\[P(U)=\frac{7}{10}\times \frac{1}{6}+\frac{3}{10}\times \frac{1}{4}=\frac{7}{60}+\frac{3}{40}=\frac{14}{120}+\frac{9}{120}=\frac{23}{120}.\]
\[P_U(B)=\frac{P(U\cap B)}{P(U)}=\frac{\frac{14}{120}}{\frac{23}{120}}=\boxed{\frac{14}{23}}.\]
4) \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\gt 0\) ; on calcule \(P(1\leq\, X\leq\, 3)\) :
\[P(1\leq\, X\leq\, 3)=\int_1^3\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=\Big[-\mathrm{e}^{-\lambda t}\Big]_1^3=\boxed{\mathrm{e}^{-\lambda}-\mathrm{e}^{-3\lambda}}.\]
Exercice 4 :
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité : nombres complexes et triangles équilatéraux
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \((O ; \vec{u}, \vec{v})\). On pose \(\alpha=1+\mathrm{i}\sqrt{3}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\) ; les points \(A\), \(B\), \(C\) ont pour affixes \(2\), \(\alpha\) et \(\overline{\alpha}\).
1) a) On vérifie que \(\alpha^2-4\alpha=2\overline{\alpha}-8\).
\[\alpha^2-4\alpha=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^2-4(1+\mathrm{i}\sqrt{3})=1+2\mathrm{i}\sqrt{3}-3-4-4\mathrm{i}\sqrt{3}=-6-2\sqrt{3}\,\mathrm{i},\]
\[2\overline{\alpha}-8=2(1-\mathrm{i}\sqrt{3})-8=-6-2\sqrt{3}\,\mathrm{i}.\]
D’où \(\alpha^2-4\alpha=2\overline{\alpha}-8\), ce qui s’écrit aussi \(\alpha(\alpha-4)=2(\overline{\alpha}-4)\).
b) \(|\alpha|=|\overline{\alpha}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\) : on a \(OB=OC=2=OA\). Les points \(B\) et \(C\) sont sur le cercle de centre \(O\) et de rayon 2, qui passe par \(A\).
2) \(D\) est un point de ce cercle, d’affixe \(2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) avec \(\theta\in\,]-\pi ; \pi[\), et \(E\) est l’image de \(D\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
a) Construction : \(E\) est sur le même cercle et \(OD=OE\) avec \((\vec{OD}, \vec{OE})=\frac{\pi}{3}\) : le triangle \(ODE\) est équilatéral direct. On place \(E\) au compas en reportant le rayon 2 depuis \(D\) sur le cercle, dans le sens direct.
b) L’écriture complexe de la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\) est \(z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}z\). Donc
\[z_E=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\times 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\boxed{\alpha\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}.\]
3) \(F\) est le milieu de \([BD]\) et \(G\) le milieu de \([CE]\).
a) \(z_F=\dfrac{z_B+z_D}{2}=\dfrac{\alpha+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{2}=\dfrac{\alpha}{2}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\).
b) On montre que \(\dfrac{z_G-2}{z_F-2}=\dfrac{\alpha}{2}\). On a \(z_G=\dfrac{\overline{\alpha}+\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{2}\), donc
\[\frac{z_G-2}{z_F-2}=\frac{\overline{\alpha}+\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-4}{\alpha+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-4}.\]
D’après 1) a), \(\overline{\alpha}-4=\frac{\alpha(\alpha-4)}{2}\), donc le numérateur vaut \(\frac{\alpha(\alpha-4)}{2}+\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\frac{\alpha}{2}(\alpha-4+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\), et :
\[\frac{z_G-2}{z_F-2}=\frac{\frac{\alpha}{2}(\alpha-4+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})}{\alpha-4+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}=\boxed{\frac{\alpha}{2}}.\]
(Le dénominateur \(z_F-2\) n’est pas nul, sinon \(F=A\), ce qui imposerait \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=2-\frac{\alpha}{2}\), de module \(\sqrt{3}\neq 1\).)
Conséquence : nature du triangle \(AFG\). Comme \(\frac{\alpha}{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\) :
- \(\dfrac{AG}{AF}=|\dfrac{z_G-2}{z_F-2}|=1\), donc \(AF=AG\) ;
- \((\vec{AF}, \vec{AG})=\arg(\dfrac{z_G-2}{z_F-2})=\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]\).
Un triangle isocèle en \(A\) dont l’angle au sommet mesure \(\frac{\pi}{3}\) est équilatéral : le triangle \(AFG\) est équilatéral (direct), quelle que soit la position de \(D\).
4) On cherche la position de \(D\) pour laquelle \(AF\) est minimale. On a \(AF^2=f(\theta)\) avec \(f(x)=4-3\cos x+\sqrt{3}\sin x\) sur \([-\pi ; \pi]\). En effet \(z_F-2=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+w\) avec \(w=\frac{\alpha}{2}-2=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\), de module \(\sqrt{3}\), donc
\[AF^2=1+3+2\,\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,\overline{w})=4-3\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta.\]
Valeurs utiles : \(f(-\pi)=f(\pi)=4+3=7\), \(f(-\frac{\pi}{6})=4-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=4-2\sqrt{3}\), \(f(\frac{5\pi}{6})=4+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=4+2\sqrt{3}\).
Étude des variations : \(f^{\prime}(x)=3\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sqrt{3}\sin(x+\frac{\pi}{6})\), qui s’annule sur \([-\pi ; \pi]\) en \(-\frac{\pi}{6}\) et \(\frac{5\pi}{6}\).
| \(x\) | \(-\pi\) | \(-\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f\) | \(7\) | décroissante | \(4-2\sqrt{3}\) | croissante | \(4+2\sqrt{3}\) | décroissante | \(7\) |
Le minimum de \(f\) est \(4-2\sqrt{3}\approx0{,}54\), atteint en \(-\frac{\pi}{6}\). Comme \(AF=\sqrt{f(\theta)}\) et que la racine carrée est croissante, \(AF\) est minimale pour \(\theta=-\frac{\pi}{6}\), c’est-à-dire pour \(D\) d’affixe \(2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}=\sqrt{3}-\mathrm{i}\). La conjecture est validée, et la longueur minimale vaut \(AF=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1\) (car \((\sqrt{3}-1)^2=4-2\sqrt{3}\)).
Exercice 4 :
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité : réflexion, rotation et similitude
Dans le repère orthonormé direct \((O ; \vec{u}, \vec{v})\), \(A\) a pour affixe \(1\) et \(\Omega\) pour affixe \(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\). \(T\) est la transformation d’écriture complexe \(z^{\prime}=-\overline{z}+2\) et \((\mathscr{C})\) le cercle de centre \(O\) et de rayon 1.
1) a) Images de \(A\) et \(\Omega\) : \(-\overline{1}+2=1\) et \(-(1-\mathrm{i}\sqrt{3})+2=1+\mathrm{i}\sqrt{3}\). \(A\) et \(\Omega\) sont invariants par \(T\).
b) L’écriture \(z^{\prime}=a\overline{z}+b\) avec \(a=-1\), \(|a|=1\), est celle d’une similitude indirecte de rapport 1, c’est-à-dire un antidéplacement. Un antidéplacement qui fixe deux points distincts est la réflexion d’axe la droite qui les joint : \(T\) est la réflexion d’axe \((A\Omega)\), la droite d’équation \(x=1\). (Vérification : si \(z=x+\mathrm{i}y\), \(z^{\prime}=(2-x)+\mathrm{i}y\), symétrique par rapport à \(x=1\).)
c) L’image d’un cercle par une similitude de rapport 1 est un cercle de même rayon, centré sur l’image du centre. L’image de \(O\) a pour affixe \(-\overline{0}+2=2\) : notons \(O^{\prime}\) ce point. L’image \((\mathscr{C}^{\prime})\) de \((\mathscr{C})\) par \(T\) est le cercle de centre \(O^{\prime}(2)\) et de rayon 1.
2) À tout point \(M\) de \((\mathscr{C})\), d’affixe \(z\), on associe le point \(M^{\prime}\) de \((\mathscr{C}^{\prime})\), d’affixe \(z^{\prime}\), tel que \((\vec{OM}, \vec{O^{\prime}M^{\prime}})=\frac{\pi}{3}\ [2\pi]\).
a) Construction : on trace la demi-droite issue de \(O^{\prime}\) faisant un angle de \(\frac{\pi}{3}\) avec \(\vec{OM}\) ; elle coupe \((\mathscr{C}^{\prime})\) en \(M^{\prime}\).
b) Expression de \(z^{\prime}\). Les deux cercles ont pour rayon 1, donc
\[|\frac{z^{\prime}-2}{z}|=\frac{O^{\prime}M^{\prime}}{OM}=1\quad\text{et}\quad\arg(\frac{z^{\prime}-2}{z})=(\vec{OM}, \vec{O^{\prime}M^{\prime}})=\frac{\pi}{3}\ [2\pi].\]
Donc \(\dfrac{z^{\prime}-2}{z}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\), soit \(z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}z+2\).
c) La transformation \(r : z\mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}z+2\) est une similitude directe de rapport \(|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}|=1\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\) : c’est une rotation d’angle \(\frac{\pi}{3}\). Son centre a pour affixe \(\omega\) tel que \(\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\omega+2\), soit
\[\omega=\frac{2}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}}=\frac{2}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}}=\frac{2}{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=1+\mathrm{i}\sqrt{3}.\]
\(r\) est la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\) : \(M^{\prime}\) est l’image de \(M\) par cette rotation.
3) On note \(M_1\) le milieu de \([MM^{\prime}]\) et l’on cherche l’ensemble décrit par \(M_1\) lorsque \(M\) décrit \((\mathscr{C})\).
\[z_{M_1}=\frac{z+z^{\prime}}{2}=\frac{1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}}{2}\,z+1.\]
Donc \(z_{M_1}-1=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}}{2}\,z\). Or \(1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\), de module \(\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}\). Ainsi, pour \(M\) sur \((\mathscr{C})\) (\(|z|=1\)) :
\[AM_1=|z_{M_1}-1|=\frac{\sqrt{3}}{2}\,|z|=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]
\(M_1\) est l’image de \(M\) par la similitude directe \(z\mapsto \frac{1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}}{2}z+1\), de rapport \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), qui envoie \(O\) sur \(A\) ; comme l’image d’un cercle entier par une similitude est un cercle entier, lorsque \(M\) décrit \((\mathscr{C})\), \(M_1\) décrit le cercle de centre \(A\) et de rayon \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
