Corrigé du bac S de maths 2012 à Pondichéry

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Dénombrement, loi binomiale, probabilités conditionnelles – 6 points, commun à tous les candidats

Une course cycliste compte 50 coureurs, numérotés de 1 à 50. À chaque étape, on tire au sort un groupe de 5 coureurs qui subiront un contrôle antidopage. Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

1. On demande le nombre de groupes différents de 5 coureurs que l’on peut former parmi les 50.

Un groupe est une partie à 5 éléments d’un ensemble à 50 éléments (l’ordre ne compte pas, pas de répétition). Leur nombre est :

\[\binom\,{50}{5}=\frac{50!}{5!\times 45!}=\frac{50\times 49\times 48\times 47\times 46}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=2\,118\,760.\]

Il y a 2 118 760 groupes différents de 5 coureurs.

2. a. L’algorithme tire au hasard 5 numéros distincts entre 1 et 50. On demande lesquelles des listes \(L_1=\{2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15\}\), \(L_2=\{8 ; 17 ; 41 ; 34 ; 6\}\), \(L_3=\{12 ; 17 ; 23 ; 17 ; 50\}\) et \(L_4=\{45 ; 19 ; 43 ; 21 ; 18\}\) ont pu être produites.

L’algorithme n’ajoute un numéro que s’il n’a pas déjà été tiré : une liste obtenue ne contient donc jamais deux fois le même numéro. \(L_1\) contient deux fois 2 et \(L_3\) deux fois 17 : \(L_1\) et \(L_3\) ne peuvent pas avoir été obtenues. En revanche \(L_2\) et \(L_4\) peuvent l’être (cinq numéros distincts compris entre 1 et 50).

2. b. On demande à quoi sert cet algorithme.

Il désigne au hasard, à une étape donnée, un groupe de 5 coureurs distincts qui seront contrôlés.

3. On demande la probabilité qu’un coureur donné soit contrôlé lors d’une étape.

Les \(\binom\,{50}{5}\) groupes sont équiprobables. Les groupes contenant ce coureur s’obtiennent en lui adjoignant 4 coureurs choisis parmi les 49 autres : il y en a \(\binom\,{49}{4}\). La probabilité cherchée est donc :

\[\frac{\binom\,{49}{4}}{\binom\,{50}{5}}=\frac{49!}{4!\times 45!}\times \frac{5!\times 45!}{50!}=\frac{5!}{4!}\times \frac{49!}{50!}=\frac{5}{50}=0{,}1.\]

Chaque coureur a une probabilité \(0{,}1\) d’être contrôlé à une étape donnée.

4. La course compte 10 étapes et les tirages d’une étape à l’autre sont indépendants. On note \(X\) le nombre de contrôles subis par un coureur donné sur l’ensemble de la course.

4. a. On demande la loi de \(X\).

Chaque étape est une épreuve de Bernoulli dont le succès « le coureur est contrôlé » a pour probabilité \(0{,}1\). On répète 10 fois cette épreuve de façon indépendante, et \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}1\).

4. b. On demande la probabilité que le coureur soit contrôlé exactement 5 fois, jamais, puis au moins une fois.

• \(P(X=5)=\binom\,{10}{5}\times 0{,}1^5\times 0{,}9^5=252\times 0{,}1^5\times 0{,}9^5\approx 0{,}0015\). Soit \(P(X=5)\approx 0{,}0015\).
• \(P(X=0)=0{,}9^{10}\approx 0{,}3487\). Soit \(P(X=0)\approx 0{,}349\).
• \(P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-0{,}9^{10}\approx 0{,}6513\). Soit \(P(X\geq\, 1)\approx 0{,}651\).

Partie B

Le test antidopage n’est pas parfait : il est positif pour 97 % des coureurs dopés et pour 1 % des coureurs non dopés. On note \(D\) l’événement « le coureur est dopé » et \(T\) « le test est positif ».

1. Sachant que 5 % des tests sont positifs, on demande la probabilité \(p=P(D)\) qu’un coureur soit dopé.

Les événements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[P(T)=P(D)\times P_D(T)+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T)=0{,}97p+0{,}01(1-p)=0{,}96p+0{,}01.\]

Comme \(P(T)=0{,}05\) : \(0{,}96p+0{,}01=0{,}05\iff 0{,}96p=0{,}04\iff p=\frac{4}{96}=\frac{1}{24}\).

La probabilité qu’un coureur soit dopé est \(p=\frac{1}{24}\approx 0{,}042\).

2. On demande la probabilité qu’un coureur dont le test est positif ne soit pas dopé.

\[P_T(\overline{D})=\frac{P(T\cap\overline{D})}{P(T)}=\frac{0{,}01\times (1-\frac{1}{24})}{0{,}05}=\frac{1}{5}\times \frac{23}{24}=\frac{23}{120}\approx 0{,}19.\]

Environ 19 % des coureurs contrôlés positifs ne sont pas dopés (\(P_T(\overline{D})=\frac{23}{120}\)) : un test positif seul ne suffit pas à conclure.

Exercice 2 :

Géométrie dans l’espace, vrai ou faux – 4 points, commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\). On considère la droite \(\mathcal{D}\) de représentation paramétrique \(x=-3-2t\), \(y=2t\), \(z=1+2t\) (\(t\in\mathbb{R}\)), la droite \(\Delta\) de représentation paramétrique \(x=1-t^{\prime}\), \(y=-1-2t^{\prime}\), \(z=t^{\prime}\) (\(t^{\prime}\in\mathbb{R}\)), le plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(x-y-z-2=0\) et le plan \(\mathcal{P}^{\prime}\) d’équation \(x+y+3z=0\). Pour chaque proposition, on dit si elle est vraie ou fausse en justifiant.

Proposition 1 : « La droite \(\mathcal{D}\) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\). »

Un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\) est \(\vec{d}\,(-2 ; 2 ; 2)\) et un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n}\,(1 ; -1 ; -1)\). On a \(\vec{d}=-2\,\vec{n}\) : ces vecteurs sont colinéaires, donc \(\mathcal{D}\) est dirigée par un vecteur normal à \(\mathcal{P}\). Proposition 1 : VRAIE.

Proposition 2 : « La sphère \(\mathcal{S}\) de centre \(O\) et de rayon 2 est tangente au plan \(\mathcal{P}\). »

La sphère est tangente au plan si et seulement si la distance de son centre au plan est égale au rayon. Or :

\[d(O,\mathcal{P})=\frac{|0-0-0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}15.\]

Comme \(\frac{2}{\sqrt{3}}\neq 2\), la sphère n’est pas tangente à \(\mathcal{P}\) ; plus précisément \(\frac{2}{\sqrt{3}}\lt 2\), donc le plan coupe la sphère selon un cercle. Proposition 2 : FAUSSE.

Proposition 3 : « L’intersection des plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}^{\prime}\) est la droite \(\Delta\). »

Les vecteurs normaux \((1 ; -1 ; -1)\) et \((1 ; 1 ; 3)\) ne sont pas colinéaires, donc les plans sont sécants selon une droite. Vérifions que tout point de \(\Delta\) appartient aux deux plans. Pour \(M(1-t^{\prime} ; -1-2t^{\prime} ; t^{\prime})\) :

• \((1-t^{\prime})-(-1-2t^{\prime})-t^{\prime}-2=1-t^{\prime}+1+2t^{\prime}-t^{\prime}-2=0\), donc \(M\in\mathcal{P}\) ;
• \((1-t^{\prime})+(-1-2t^{\prime})+3t^{\prime}=0\), donc \(M\in\mathcal{P}^{\prime}\).

La droite \(\Delta\) est donc contenue dans la droite \(\mathcal{P}\cap\mathcal{P}^{\prime}\) : ces deux droites sont égales. On peut aussi résoudre le système : en additionnant les deux équations, \(2x+2z-2=0\), soit \(x=1-z\), puis \(y=x-z-2=-1-2z\) ; en posant \(z=t^{\prime}\) on retrouve la représentation de \(\Delta\). Proposition 3 : VRAIE.

Proposition 4 : « Les droites \(\mathcal{D}\) et \(\Delta\) sont coplanaires. »

Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{v}\,(-1 ; -2 ; 1)\). Les vecteurs \(\vec{d}\,(-2 ; 2 ; 2)\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires (\(\frac{-2}{-1}=2\) mais \(\frac{2}{-2}=-1\)) : les droites ne sont pas parallèles. Cherchons un point commun :

\[\lbrace\begin{array}{l}-3-2t=1-t^{\prime}\\ 2t=-1-2t^{\prime}\\ 1+2t=t^{\prime}\end{array}.\]

La troisième équation donne \(t^{\prime}=1+2t\) ; en reportant dans la première : \(-3-2t=1-(1+2t)=-2t\), soit \(-3=0\), ce qui est impossible. Le système n’a pas de solution : les droites ne sont pas sécantes. N’étant ni parallèles ni sécantes, \(\mathcal{D}\) et \(\Delta\) ne sont pas coplanaires. Proposition 4 : FAUSSE.

Exercice 3 :

Suite d’intégrales – 5 points, commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\), on définit sur \([0 ; 1]\) la fonction \(f_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}\) et on pose \(I_n=\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x\) et \(J_n=\int_0^1\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x\).

1. a. On demande d’interpréter \(I_n\) graphiquement et de conjecturer le sens de variation de \((I_n)\) à partir des courbes fournies.

Les fonctions \(f_n\) sont continues et positives sur \([0 ; 1]\) : \(I_n\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe de \(f_n\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\). Sur le graphique, les courbes s’abaissent quand \(n\) augmente : on conjecture que la suite \((I_n)\) est décroissante.

1. b. On demande de démontrer cette conjecture.

Pour \(x\in[0 ; 1]\) :

\[f_{n+1}(x)-f_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{e}^{-x}}{1+x}-\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}=\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}(\mathrm{e}^{-x}-1).\]

On a \(\mathrm{e}^{-nx}\gt 0\) et \(1+x\geq\, 1\gt 0\). De plus \(x\geq\, 0\), donc \(-x\leq\, 0\) et, la fonction exponentielle étant croissante, \(\mathrm{e}^{-x}\leq\, \mathrm{e}^{0}=1\), soit \(\mathrm{e}^{-x}-1\leq\, 0\). Ainsi \(f_{n+1}(x)\leq\, f_n(x)\) pour tout \(x\in[0 ; 1]\).

Par positivité de l’intégrale (bornes \(0\leq\, 1\)), on en déduit \(I_{n+1}\leq\, I_n\) : la suite \((I_n)\) est décroissante.

2. a. On demande de montrer que pour tout \(x\in[0 ; 1]\) : \(0\leq\,\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{(1+x)^2}\leq\,\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}\leq\,\mathrm{e}^{-nx}\).

Pour \(x\in[0 ; 1]\), on a \(1+x\geq\, 1\). En multipliant par \(1+x\gt 0\) : \((1+x)^2\geq\, 1+x\geq\, 1\). La fonction inverse étant décroissante sur \(]0 ; +\infty[\) :

\[0\lt\frac{1}{(1+x)^2}\leq\,\frac{1}{1+x}\leq\, 1.\]

En multipliant par \(\mathrm{e}^{-nx}\gt 0\), on obtient bien \(0\leq\,\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{(1+x)^2}\leq\,\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}\leq\,\mathrm{e}^{-nx}\).

2. b. On demande d’en déduire les limites des suites \((I_n)\) et \((J_n)\).

En intégrant cet encadrement sur \([0 ; 1]\) (croissance de l’intégrale) :

\[0\leq\, J_n\leq\, I_n\leq\,\int_0^1\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x=[-\frac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}]_0^1=\frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{n}.\]

Comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-n}=0\), on a \(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{n}=0\). D’après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0\), puis, comme \(0\leq\, J_n\leq\, I_n\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}J_n=0\).

3. a. On demande de montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que \(I_n=\frac{1}{n}(1-\frac{\mathrm{e}^{-n}}{2}-J_n)\).

On pose \(u(x)=\frac{1}{1+x}\) et \(v^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-nx}\), d’où \(u^{\prime}(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}\) et \(v(x)=-\frac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0 ; 1]\), donc :

\[I_n=[-\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{n(1+x)}]_0^1-\int_0^1(-\frac{1}{(1+x)^2})(-\frac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx})\mathrm{d}x=(-\frac{\mathrm{e}^{-n}}{2n}+\frac{1}{n})-\frac{1}{n}J_n.\]

Soit \(I_n=\frac{1}{n}(1-\frac{\mathrm{e}^{-n}}{2}-J_n)\).

3. b. On demande la limite de \(nI_n\).

D’après 3. a., \(nI_n=1-\frac{\mathrm{e}^{-n}}{2}-J_n\). Or \(\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-n}=0\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}J_n=0\) (question 2. b.), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}nI_n=1\).

Autrement dit, pour \(n\) grand, \(I_n\approx\frac{1}{n}\) : par exemple, la calculatrice donne \(I_{10}\approx 0{,}0916\), proche de \(\frac{1}{10}\).

Exercice 4 :

Nombres complexes – 5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O ; \vec{u}, \vec{v})\).

Partie A : restitution organisée de connaissances

On admet que pour tout nombre complexe \(z\), \(|z|^2=z\,\overline{z}\), et que le conjugué d’un produit est le produit des conjugués. On demande de démontrer que pour tous nombres complexes \(z_1\) et \(z_2\), \(|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|\).

D’après les prérequis :

\[|z_1z_2|^2=(z_1z_2)\,\overline{z_1z_2}=z_1z_2\,\overline{z_1}\,\overline{z_2}=(z_1\overline{z_1})(z_2\overline{z_2})=|z_1|^2\,|z_2|^2=(|z_1|\,|z_2|)^2.\]

Les nombres \(|z_1z_2|\) et \(|z_1|\,|z_2|\) sont des réels positifs ayant le même carré, ils sont donc égaux : \(|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|\).

On en déduit aussi, pour \(z_2\neq 0\), que \(|z_1|=|\frac{z_1}{z_2}\times z_2|=|\frac{z_1}{z_2}|\,|z_2|\), d’où \(|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\) : ce résultat servira dans la partie B.

Partie B : étude d’une transformation particulière

On considère les points \(A\) d’affixe 1, \(B\) d’affixe \(-1\), et l’application \(f\) qui, à tout point \(M\) d’affixe \(z\neq 1\), associe le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}=\frac{1-z}{\overline{z}-1}\). On note \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(O\) et de rayon 1.

1. a. On demande l’affixe du point \(C^{\prime}\), image du point \(C\) d’affixe \(-2+\mathrm{i}\).

On a \(\overline{z_C}=-2-\mathrm{i}\), donc :

\[z_{C^{\prime}}=\frac{1-(-2+\mathrm{i})}{-2-\mathrm{i}-1}=\frac{3-\mathrm{i}}{-3-\mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(-3+\mathrm{i})}{(-3-\mathrm{i})(-3+\mathrm{i})}=\frac{-9+3\mathrm{i}+3\mathrm{i}+1}{10}=\frac{-8+6\mathrm{i}}{10}.\]

Donc \(z_{C^{\prime}}=-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}\).

1. b. On demande de montrer que \(C^{\prime}\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\).

\(OC^{\prime 2}=|z_{C^{\prime}}|^2=(\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1\). Donc \(OC^{\prime}=1\) : \(C^{\prime}\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\).

1. c. On demande de montrer que les points \(A\), \(C\) et \(C^{\prime}\) sont alignés.

\[\frac{z_C-z_A}{z_{C^{\prime}}-z_A}=\frac{-3+\mathrm{i}}{-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}-1}=\frac{-3+\mathrm{i}}{\frac{-9+3\mathrm{i}}{5}}=\frac{5(-3+\mathrm{i})}{3(-3+\mathrm{i})}=\frac{5}{3}.\]

Ce quotient est un réel, donc \(\vec{AC}=\frac{5}{3}\,\vec{AC^{\prime}}\) : les vecteurs sont colinéaires et \(A\), \(C\) et \(C^{\prime}\) sont alignés (et même \(C^{\prime}\) est sur le segment \([AC]\)).

2. On demande l’ensemble des points \(M\) qui ont pour image le point \(A\).

On écrit \(z=x+\mathrm{i}y\) avec \(z\neq 1\). Alors :

\[z^{\prime}=1\iff 1-z=\overline{z}-1\iff 1-x-\mathrm{i}y=x-\mathrm{i}y-1\iff 2x=2\iff x=1.\]

Les antécédents de \(A\) sont les points d’affixe \(1+\mathrm{i}y\) avec \(y\neq 0\) (car \(z\neq 1\)) : c’est la droite \(\Delta\) d’équation \(x=1\), privée du point \(A\).

3. On demande de montrer que pour tout point \(M\) distinct de \(A\), le point \(M^{\prime}\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\).

D’après la partie A, le module d’un quotient est le quotient des modules, et \(|\overline{w}|=|w|\) pour tout complexe \(w\) (ils ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées). Comme \(\overline{z}-1=\overline{z-1}\) :

\[|z^{\prime}|=\frac{|1-z|}{|\overline{z}-1|}=\frac{|z-1|}{|\overline{z-1}|}=\frac{|z-1|}{|z-1|}=1.\]

Donc \(OM^{\prime}=1\) : tout point image \(M^{\prime}\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\).

4. On demande de montrer que \(\frac{z^{\prime}-1}{z-1}\) est réel et d’en déduire que \(A\), \(M\) et \(M^{\prime}\) sont alignés.

Pour \(z\neq 1\) :

\[\frac{z^{\prime}-1}{z-1}=\frac{\frac{1-z}{\overline{z}-1}-1}{z-1}=\frac{1-z-\overline{z}+1}{(z-1)(\overline{z}-1)}=\frac{2-(z+\overline{z})}{(z-1)\,\overline{(z-1)}}=\frac{2-2x}{|z-1|^2}.\]

Le numérateur \(2-2x\) est réel et le dénominateur \(|z-1|^2\) est un réel strictement positif : \(\frac{z^{\prime}-1}{z-1}\) est un réel \(k\). Alors \(z^{\prime}-1=k(z-1)\), c’est-à-dire \(\vec{AM^{\prime}}=k\,\vec{AM}\) : les points \(A\), \(M\) et \(M^{\prime}\) sont alignés.

5. On demande de construire, sur la figure, l’image \(D^{\prime}\) d’un point \(D\) donné.

D’après les questions 3 et 4, \(D^{\prime}\) appartient à la fois au cercle \(\mathcal{C}\) et à la droite \((AD)\). Or cette droite coupe le cercle en \(A\) et en un second point. De plus, pour \(D\) d’abscisse \(x\lt 1\), le réel \(k=\frac{2-2x}{|z-1|^2}\) est strictement positif, donc \(D^{\prime}\neq A\) et \(D^{\prime}\) est du même côté de \(A\) que \(D\). On trace la droite \((AD)\) : \(D^{\prime}\) est son second point d’intersection avec le cercle \(\mathcal{C}\).

Exercice 4 :

Arithmétique et chiffrement de Hill – 5 points, candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : restitution organisée de connaissances

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. On demande de démontrer que si \(a\equiv b \pmod n\) et \(c\equiv d \pmod n\), alors \(ac\equiv bd \pmod n\).

Par hypothèse, \(n\) divise \(a-b\) et \(c-d\) : il existe des entiers \(k\) et \(k^{\prime}\) tels que \(a=b+kn\) et \(c=d+k^{\prime}n\). Alors :

\[ac=(b+kn)(d+k^{\prime}n)=bd+n(bk^{\prime}+dk+kk^{\prime}n).\]

Le nombre \(bk^{\prime}+dk+kk^{\prime}n\) est un entier, donc \(n\) divise \(ac-bd\) : \(ac\equiv bd \pmod n\).

Partie B : inverse de 23 modulo 26

On considère l’équation \((E)\) : \(23x-26y=1\), d’inconnues entières \(x\) et \(y\).

1. On demande de vérifier que le couple \((-9 ; -8)\) est solution de \((E)\).

\(23\times (-9)-26\times (-8)=-207+208=1\) : \((-9 ; -8)\) est bien solution de \((E)\).

2. On demande de résoudre \((E)\).

Si \((x ; y)\) est solution, par différence avec \(23\times (-9)-26\times (-8)=1\) on obtient \(23(x+9)-26(y+8)=0\), soit \(23(x+9)=26(y+8)\).

Ainsi 26 divise \(23(x+9)\). Comme \(\mathrm{PGCD}(23 ; 26)=1\) (23 est premier et ne divise pas 26), le théorème de Gauss montre que 26 divise \(x+9\) : il existe un entier \(k\) tel que \(x=-9+26k\). En reportant : \(23\times 26k=26(y+8)\), d’où \(y+8=23k\), soit \(y=-8+23k\).

Réciproquement, pour tout entier \(k\) : \(23(-9+26k)-26(-8+23k)=-207+208+598k-598k=1\).

Les solutions de \((E)\) sont les couples \((-9+26k ; -8+23k)\), \(k\in\mathbb{Z}\).

3. On demande un entier \(a\) tel que \(0\leq\, a\leq\, 25\) et \(23a\equiv 1 \pmod{26}\).

\(23a\equiv 1 \pmod{26}\) équivaut à l’existence d’un entier \(b\) avec \(23a-26b=1\), c’est-à-dire \((a ; b)\) solution de \((E)\). Il faut donc \(a=-9+26k\) avec \(0\leq\, -9+26k\leq\, 25\), soit \(9\leq\, 26k\leq\, 34\), d’où \(k=1\) et \(a=17\). Vérification : \(23\times 17=391=15\times 26+1\). L’inverse de 23 modulo 26 est 17.

Partie C : chiffrement de Hill

On associe à chaque lettre un nombre : A → 0, B → 1, …, Z → 25. Pour coder un mot de deux lettres, on remplace les lettres par leurs nombres \(x_1\) et \(x_2\) (étape 1), on calcule les restes \(y_1\) et \(y_2\) de la division par 26 de \(11x_1+3x_2\) et de \(7x_1+4x_2\) (étape 2), puis on remplace \(y_1\) et \(y_2\) par les lettres correspondantes (étape 3).

1. On demande de coder le mot ST.

S → 18 et T → 19. Puis \(11\times 18+3\times 19=255=9\times 26+21\), donc \(y_1=21\), et \(7\times 18+4\times 19=202=7\times 26+20\), donc \(y_2=20\). Or 21 → V et 20 → U : ST est codé en VU.

2. a. On demande de montrer que si \((x_1 ; x_2)\) vérifie le système \((S_1)\) : \(y_1\equiv 11x_1+3x_2\), \(y_2\equiv 7x_1+4x_2 \pmod{26}\), alors il vérifie \((S_2)\) : \(23x_1\equiv 4y_1+23y_2\), \(23x_2\equiv 19y_1+11y_2 \pmod{26}\).

D’après la partie A, on peut multiplier et additionner des congruences de même module.

• En multipliant la première équation par \(-4\) et la seconde par 3, puis en additionnant : \(-4y_1+3y_2\equiv -44x_1-12x_2+21x_1+12x_2=-23x_1 \pmod{26}\). Donc \(23x_1\equiv 4y_1-3y_2 \pmod{26}\), et comme \(-3\equiv 23 \pmod{26}\) : \(23x_1\equiv 4y_1+23y_2 \pmod{26}\).
• En multipliant la première équation par \(-7\) et la seconde par 11, puis en additionnant : \(-7y_1+11y_2\equiv -77x_1-21x_2+77x_1+44x_2=23x_2 \pmod{26}\). Comme \(-7\equiv 19 \pmod{26}\) : \(23x_2\equiv 19y_1+11y_2 \pmod{26}\).

Tout couple solution de \((S_1)\) est solution de \((S_2)\).

2. b. On demande de montrer que tout couple solution de \((S_2)\) vérifie \((S_3)\) : \(x_1\equiv 16y_1+y_2\), \(x_2\equiv 11y_1+5y_2 \pmod{26}\).

On multiplie chaque équation de \((S_2)\) par 17, inverse de 23 modulo 26 (partie B) : \(17\times 23x_1\equiv x_1\) et \(17\times 23x_2\equiv x_2 \pmod{26}\). On obtient :

\[x_1\equiv 68y_1+391y_2 \pmod{26}\quad\text{et}\quad x_2\equiv 323y_1+187y_2 \pmod{26}.\]

Or \(68=2\times 26+16\), \(391=15\times 26+1\), \(323=12\times 26+11\) et \(187=7\times 26+5\). Donc \(x_1\equiv 16y_1+y_2\) et \(x_2\equiv 11y_1+5y_2 \pmod{26}\) : le couple vérifie \((S_3)\).

2. c. On demande de montrer que tout couple solution de \((S_3)\) vérifie \((S_1)\), et d’en conclure.

Si \(x_1\equiv 16y_1+y_2\) et \(x_2\equiv 11y_1+5y_2 \pmod{26}\), alors :

• \(11x_1+3x_2\equiv 176y_1+11y_2+33y_1+15y_2=209y_1+26y_2 \pmod{26}\). Or \(209=8\times 26+1\equiv 1\) et \(26\equiv 0\), donc \(11x_1+3x_2\equiv y_1 \pmod{26}\).
• \(7x_1+4x_2\equiv 112y_1+7y_2+44y_1+20y_2=156y_1+27y_2 \pmod{26}\). Or \(156=6\times 26\equiv 0\) et \(27\equiv 1\), donc \(7x_1+4x_2\equiv y_2 \pmod{26}\).

Le couple vérifie donc \((S_1)\). Avec 2. a. et 2. b., on conclut que les systèmes \((S_1)\) et \((S_3)\) sont équivalents : \((S_3)\) permet de décoder.

2. d. On demande de décoder le mot YJ.

Y → 24 et J → 9, donc \((y_1 ; y_2)=(24 ; 9)\). D’après \((S_3)\) :

• \(x_1\equiv 16\times 24+9=393 \pmod{26}\), et \(393=15\times 26+3\), donc \(x_1=3\) ;
• \(x_2\equiv 11\times 24+5\times 9=309 \pmod{26}\), et \(309=11\times 26+23\), donc \(x_2=23\).

Or 3 → D et 23 → X : YJ se décode en DX. Vérification : \(11\times 3+3\times 23=102\equiv 24\) (Y) et \(7\times 3+4\times 23=113\equiv 9\) (J).