Corrigé du bac S de maths 2012 en Polynésie

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Fonction exponentielle, intégrale et aire – 5 points

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(B(100\,;100)\) et \(C(50\,;\dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}})\), la droite \((D)\) d’équation \(y=x\) et une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{ax+b}\), dont la courbe \(\Gamma\) passe par \(B\) et \(C\).

1. a. On montre que le couple \((a\,;b)\) vérifie un système de deux équations.

\(B\in\Gamma\) signifie \(f(100)=100\), soit \(100\,\mathrm{e}^{100a+b}=100\), donc \(\mathrm{e}^{100a+b}=1\), c’est-à-dire \(100a+b=0\).

\(C\in\Gamma\) signifie \(f(50)=\dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}}\), soit \(50\,\mathrm{e}^{50a+b}=50\,\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\), donc \(\mathrm{e}^{50a+b}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\) et, la fonction exponentielle étant injective, \(50a+b=-\dfrac{1}{2}\).

Le couple \((a\,;b)\) est donc solution du système

\[\begin{cases}100a+b=0\\ 50a+b=-\dfrac{1}{2}\end{cases}\]

b. En soustrayant la seconde équation à la première : \(50a=\dfrac{1}{2}\), donc \(a=\dfrac{1}{100}=0{,}01\). Puis \(b=-100a=-1\).

Pour tout réel \(x\), \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{0{,}01x-1}\).

2. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to+\infty}(0{,}01x-1)=+\infty\) et \(\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty\), donc par composition \(\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{0{,}01x-1}=+\infty\). Comme \(\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\), par produit :

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\]

3. a. On vérifie que \(f(x)=\dfrac{100}{\mathrm{e}}\times 0{,}01x\,\mathrm{e}^{0{,}01x}\).

En effet, \(\dfrac{100}{\mathrm{e}}\times 0{,}01x\,\mathrm{e}^{0{,}01x}=x\,\mathrm{e}^{0{,}01x}\,\mathrm{e}^{-1}=x\,\mathrm{e}^{0{,}01x-1}=f(x)\).

b. Limite de \(f\) en \(-\infty\). Posons \(X=0{,}01x\) : quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(X\) tend vers \(-\infty\). Or on sait que \(\lim\limits_{X\to-\infty}X\,\mathrm{e}^{X}=0\) (croissances comparées). Donc

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{100}{\mathrm{e}}\times 0=0.\]

La courbe \(\Gamma\) admet donc l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en \(-\infty\).

4. Étude des variations de \(f\).

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables. Avec la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{0{,}01x-1}+x\times 0{,}01\,\mathrm{e}^{0{,}01x-1}=(1+0{,}01x)\,\mathrm{e}^{0{,}01x-1}.\]

Une exponentielle étant strictement positive, \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1+0{,}01x\). Or \(1+0{,}01x\gt 0 \iff x\gt -100\).

La fonction \(f\) est donc décroissante sur \(]-\infty\,;-100]\) et croissante sur \([-100\,;+\infty[\). Son minimum vaut \(f(-100)=-100\,\mathrm{e}^{-2}\approx-13{,}5\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-100\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(f\)	\(0\)	décroissante	\(-100\,\mathrm{e}^{-2}\)	croissante	\(+\infty\)

5. Position de \(\Gamma\) par rapport à \((D)\).

Pour tout réel \(x\) : \(f(x)-x=x\,\mathrm{e}^{0{,}01x-1}-x=x(\mathrm{e}^{0{,}01x-1}-1)\).

Or \(\mathrm{e}^{0{,}01x-1}-1\geq\, 0\iff \mathrm{e}^{0{,}01x-1}\geq\, \mathrm{e}^{0}\iff 0{,}01x-1\geq\, 0\iff x\geq\, 100\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(100\)		\(+\infty\)
signe de \(x\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
signe de \(\mathrm{e}^{0{,}01x-1}-1\)		\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
signe de \(f(x)-x\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

Conclusion : \(\Gamma\) est au-dessous de \((D)\) sur \([0\,;100]\) et au-dessus de \((D)\) sur \(]-\infty\,;0]\) et sur \([100\,;+\infty[\) ; les deux courbes se coupent aux points d’abscisses \(0\) et \(100\) (l’origine et le point \(B\)).

6. a. Calcul de \(\displaystyle\int_0^{100}f(t)\,\mathrm{d}t\) par intégration par parties.

On pose \(u(t)=t\) et \(v^{\prime}(t)=\mathrm{e}^{0{,}01t-1}\), d’où \(u^{\prime}(t)=1\) et \(v(t)=100\,\mathrm{e}^{0{,}01t-1}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables et leurs dérivées sont continues sur \([0\,;100]\). Donc :

\[\int_0^{100}f(t)\,\mathrm{d}t=\Big[100\,t\,\mathrm{e}^{0{,}01t-1}\Big]_0^{100}-\int_0^{100}100\,\mathrm{e}^{0{,}01t-1}\,\mathrm{d}t.\]

Le crochet vaut \(100\times 100\,\mathrm{e}^{0}-0=10\,000\). Une primitive de \(100\,\mathrm{e}^{0{,}01t-1}\) est \(10\,000\,\mathrm{e}^{0{,}01t-1}\), donc la seconde intégrale vaut \(10\,000\,\mathrm{e}^{0}-10\,000\,\mathrm{e}^{-1}=10\,000-\dfrac{10\,000}{\mathrm{e}}\). Finalement :

\[\int_0^{100}f(t)\,\mathrm{d}t=10\,000-(10\,000-\frac{10\,000}{\mathrm{e}})=\frac{10\,000}{\mathrm{e}}.\]

b. Aire \(\mathcal{A}\), en unités d’aire, du domaine compris entre \(\Gamma\), \((D)\) et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=100\).

D’après la question 5, \(\Gamma\) est au-dessous de \((D)\) sur \([0\,;100]\), donc \(t-f(t)\geq\, 0\) sur cet intervalle et :

\[\mathcal{A}=\int_0^{100}\big(t-f(t)\big)\,\mathrm{d}t=[\frac{t^2}{2}]_0^{100}-\frac{10\,000}{\mathrm{e}}=5\,000-\frac{10\,000}{\mathrm{e}}.\]

\(\mathcal{A}=5\,000-\dfrac{10\,000}{\mathrm{e}}\approx 1\,321\) unités d’aire.

Exercice 2 :

Nombres complexes et géométrie – 5 points

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes \(a=-2+2\mathrm{i}\), \(b=-3-6\mathrm{i}\) et \(c=1\).

1. Nature du triangle \(ABC\). La figure suggère un triangle rectangle en \(C\). Calculons :

\[\frac{b-c}{a-c}=\frac{-4-6\mathrm{i}}{-3+2\mathrm{i}}=\frac{(-4-6\mathrm{i})(-3-2\mathrm{i})}{(-3)^2+2^2}=\frac{12+8\mathrm{i}+18\mathrm{i}-12}{13}=\frac{26\mathrm{i}}{13}=2\mathrm{i}.\]

Donc \((\vec{CA},\vec{CB})=\arg(2\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) (on remarque aussi que \(CB=2\,CA\)).

2. a. Écriture complexe de la rotation \(r\) de centre \(B\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\) : \(z^{\prime}-b=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}(z-b)\), soit \(z^{\prime}=\mathrm{i}z-\mathrm{i}b+b\). Or \(-\mathrm{i}b=-\mathrm{i}(-3-6\mathrm{i})=3\mathrm{i}-6\), donc

\[z^{\prime}=\mathrm{i}z-6+3\mathrm{i}-3-6\mathrm{i}=\mathrm{i}z-9-3\mathrm{i}.\]

b. Affixe de \(A^{\prime}=r(A)\) : \(a^{\prime}=\mathrm{i}(-2+2\mathrm{i})-9-3\mathrm{i}=-2\mathrm{i}-2-9-3\mathrm{i}=\mathbf{-11-5\mathrm{i}}\).

c. Affixe du milieu \(S\) de \([AA^{\prime}]\) :

\[s=\frac{a+a^{\prime}}{2}=\frac{-2+2\mathrm{i}-11-5\mathrm{i}}{2}=-\frac{13}{2}-\frac{3}{2}\mathrm{i}.\]

d. On montre que \(S\) appartient au cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

Le triangle \(ABC\) étant rectangle en \(C\), le centre de son cercle circonscrit est le milieu \(\Omega\) de l’hypoténuse \([AB]\), d’affixe \(\omega=\dfrac{a+b}{2}=-\dfrac{5}{2}-2\mathrm{i}\). Le rayon est

\[\Omega A=|a-\omega|=|\frac{1}{2}+4\mathrm{i}|=\sqrt{\frac{1}{4}+16}=\frac{\sqrt{65}}{2}.\]

Par ailleurs, \(\Omega S=|s-\omega|=|-4+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}|=\sqrt{16+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}\).

Comme \(\Omega S=\Omega A\), le point \(S\) est sur le cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

3. On construit de même \(C^{\prime}\), image de \(C\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(Q\) le milieu de \([CC^{\prime}]\) ; puis \(B^{\prime}\), image de \(B\) par la rotation de centre \(C\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(P\) le milieu de \([BB^{\prime}]\). On admet que \(q=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}\) et \(p=2-5\mathrm{i}\).

a. On calcule \(s-q=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{1}{2}+(-\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2})\mathrm{i}=-7-4\mathrm{i}\) et \(p-a=2+2+(-5-2)\mathrm{i}=4-7\mathrm{i}\). Or \(-\mathrm{i}(4-7\mathrm{i})=-4\mathrm{i}+7\mathrm{i}^2=-7-4\mathrm{i}\), donc

\[\frac{s-q}{p-a}=\frac{-7-4\mathrm{i}}{4-7\mathrm{i}}=-\mathrm{i}.\]

b. On en déduit :

• \((\vec{AP},\vec{QS})=\arg(-\mathrm{i})=-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : les droites \((AP)\) et \((QS)\) sont perpendiculaires ;
• \(\dfrac{QS}{AP}=|\dfrac{s-q}{p-a}|=|-\mathrm{i}|=1\) : les segments \([AP]\) et \([QS]\) ont la même longueur.

4. On montre que les droites \((AP)\), \((BQ)\) et \((CS)\) sont concourantes.

De même, \(p-s=2+\dfrac{13}{2}+(-5+\dfrac{3}{2})\mathrm{i}=\dfrac{17}{2}-\dfrac{7}{2}\mathrm{i}\) et \(q-b=\dfrac{1}{2}+3+(\dfrac{5}{2}+6)\mathrm{i}=\dfrac{7}{2}+\dfrac{17}{2}\mathrm{i}\). Comme \(-\mathrm{i}(\dfrac{7}{2}+\dfrac{17}{2}\mathrm{i})=\dfrac{17}{2}-\dfrac{7}{2}\mathrm{i}\), on a \(\dfrac{p-s}{q-b}=-\mathrm{i}\) : les droites \((BQ)\) et \((SP)\) sont perpendiculaires.

Enfin \(s-c=-\dfrac{15}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\) et \(q-p=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{2}\mathrm{i}=\mathrm{i}(\dfrac{15}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i})=-\mathrm{i}(s-c)\), donc \(\dfrac{q-p}{s-c}=-\mathrm{i}\) : les droites \((CS)\) et \((PQ)\) sont perpendiculaires.

Ainsi, dans le triangle \(PQS\) :

• \((AP)\) passe par \(P\) et est perpendiculaire à \((QS)\) : c’est la hauteur issue de \(P\) ;
• \((BQ)\) passe par \(Q\) et est perpendiculaire à \((SP)\) : c’est la hauteur issue de \(Q\) ;
• \((CS)\) passe par \(S\) et est perpendiculaire à \((PQ)\) : c’est la hauteur issue de \(S\).

Les trois hauteurs d’un triangle étant concourantes (en son orthocentre), les droites \((AP)\), \((BQ)\) et \((CS)\) sont concourantes. Par le calcul, on trouve que ce point commun a pour affixe \(-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\mathrm{i}\).

Exercice 3 :

Algorithme et suite récurrente – 5 points

Partie A

L’algorithme part de \(U=0\) et, pour \(k\) allant de \(0\) à \(N-1\), remplace \(U\) par \(3U-2k+3\), puis affiche \(U\). Pour \(N=3\), il effectue trois passages dans la boucle :

• pour \(k=0\) : \(U=3\times 0-0+3=3\) ;
• pour \(k=1\) : \(U=3\times 3-2+3=10\) ;
• pour \(k=2\) : \(U=3\times 10-4+3=29\).

L’algorithme affiche 29.

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\).

1. \(u_1=3u_0-0+3=\mathbf{3}\) et \(u_2=3u_1-2+3=\mathbf{10}\).

2. a. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq\, n\).

• Initialisation : \(u_0=0\geq\, 0\), la propriété est vraie au rang \(0\).
• Hérédité : supposons \(u_n\geq\, n\) pour un entier \(n\) fixé. Alors \(3u_n\geq\, 3n\), donc \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\geq\, 3n-2n+3=n+3\geq\, n+1\). La propriété est vraie au rang \(n+1\).
• Conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq\, n\).

b. Comme \(u_n\geq\, n\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty\), le théorème de comparaison donne \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

3. Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}-u_n=2u_n-2n+3=2(u_n-n)+3\). Or \(u_n-n\geq\, 0\), donc \(u_{n+1}-u_n\geq\, 3\gt 0\) : la suite \((u_n)\) est croissante (et même strictement).

4. Soit \((v_n)\) définie par \(v_n=u_n-n+1\).

a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1=3u_n-2n+3-n=3u_n-3n+3=3(u_n-n+1)=3v_n.\]

La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(3\), de premier terme \(v_0=u_0-0+1=1\).

b. On en déduit \(v_n=3^n\), puis \(u_n=v_n+n-1\), soit \(u_n=3^n+n-1\) pour tout entier naturel \(n\). (Vérification : \(u_1=3\), \(u_2=10\).)

5. Soit \(p\) un entier naturel non nul.

a. Puisque \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\), tout intervalle \([10^p\,;+\infty[\) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Il existe donc au moins un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geq\, n_0\), \(u_n\geq\, 10^p\).

b. On a \(u_{3p}=3^{3p}+3p-1=27^p+3p-1\). Comme \(p\geq\, 1\), \(3p-1\geq\, 0\), donc \(u_{3p}\geq\, 27^p\geq\, 10^p\). La suite étant croissante, \(u_n\geq\, 10^p\) pour tout \(n\geq\, 3p\). Le plus petit entier \(n_0\) vérifiant la propriété est donc au plus égal à \(3p\) : \(n_0\leq\, 3p\).

c. Pour \(p=3\), on cherche le premier terme supérieur ou égal à \(10^3=1\,000\) : \(u_6=3^6+5=734\lt 1\,000\) et \(u_7=3^7+6=2\,193\geq\, 1\,000\). La suite étant croissante, \(n_0=7\) (on a bien \(7\leq\, 9=3p\)).

d. Algorithme qui, pour \(p\) donné, affiche le plus petit entier \(n_0\) tel que \(u_n\geq\, 10^p\) pour tout \(n\geq\, n_0\) (la suite étant croissante, il suffit de trouver le premier terme qui dépasse \(10^p\)) :

Entrée
   Saisir l'entier naturel non nul p
Traitement
   Affecter à U la valeur 0
   Affecter à k la valeur 0
   Tant que U < 10^p
      Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
      Affecter à k la valeur k + 1
   Fin Tant que
Sortie
   Afficher k

À chaque passage, \(U\) prend la valeur \(u_{k+1}\) puis \(k\) est augmenté de 1 : en sortie de boucle, \(U=u_k\geq\, 10^p\) et \(k\) est le premier indice qui convient.

Exercice 4 :

Probabilités – 5 points

Une urne contient 100 cubes : 60 % sont bleus et 40 % rouges. Parmi les bleus, 40 % sont marqués d’un cercle, 20 % d’un losange et 40 % d’une étoile ; parmi les rouges, 20 % portent un cercle, \(x\) % un losange et les autres une étoile. On note \(B\) : « le cube est bleu », \(R\) : « le cube est rouge », \(C\) : « cercle », \(L\) : « losange », \(E\) : « étoile ».

Partie A : expérience 1 (on tire un cube au hasard)

1. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(L)=P(B\cap L)+P(R\cap L)=0{,}6\times 0{,}2+0{,}4\times \frac{x}{100}=0{,}12+0{,}004x.\]

2. De même, \(P(E)=0{,}6\times 0{,}4+0{,}4\times \dfrac{80-x}{100}=0{,}24+0{,}32-0{,}004x=0{,}56-0{,}004x\). Alors

\[P(L)=P(E)\iff 0{,}12+0{,}004x=0{,}56-0{,}004x\iff 0{,}008x=0{,}44\iff x=55.\]

Les deux probabilités sont égales pour \(x=55\).

3. Les événements \(B\) et \(L\) sont indépendants si et seulement si \(P(L)=P_B(L)\), soit \(0{,}12+0{,}004x=0{,}2\), c’est-à-dire \(0{,}004x=0{,}08\) : \(x=20\). (On a alors aussi \(P_R(L)=0{,}2\) : la proportion de losanges est la même chez les bleus et chez les rouges.)

4. Pour \(x=50\), \(P(L)=0{,}12+0{,}004\times 50=0{,}32\), donc

\[P_L(B)=\frac{P(B\cap L)}{P(L)}=\frac{0{,}12}{0{,}32}=0{,}375.\]

La probabilité qu’un cube marqué d’un losange soit bleu est 0,375.

Partie B : expérience 2 (on tire simultanément trois cubes ; les tirages sont équiprobables et il y a \(\dbinom{100}{3}=161\,700\) tirages possibles)

1. « Aucun cube rouge » signifie que les trois cubes sont choisis parmi les 60 bleus :

\[P(\text{aucun rouge})=\frac{\dbinom{60}{3}}{\dbinom{100}{3}}=\frac{60\times 59\times 58}{100\times 99\times 98}=\frac{1\,711}{8\,085}\approx0{,}212.\]

Par l’événement contraire, \(P(\text{au moins un rouge})=1-\dfrac{1\,711}{8\,085}=\dfrac{6\,374}{8\,085}\approx0{,}788\).

2. Trois cubes bleus : probabilité \(\dfrac{1\,711}{8\,085}\) (question précédente). Trois cubes rouges :

\[\frac{\dbinom{40}{3}}{\dbinom{100}{3}}=\frac{40\times 39\times 38}{100\times 99\times 98}=\frac{494}{8\,085}\approx0{,}061.\]

Ces deux événements étant incompatibles, la probabilité que les trois cubes soient de la même couleur est \(\dfrac{1\,711+494}{8\,085}=\dfrac{2\,205}{8\,085}=\dfrac{3}{11}\approx\mathbf{0{,}273}\).

3. Nombre de cubes marqués d’un cercle : \(60\times 0{,}4+40\times 0{,}2=24+8=32\) ; il y en a donc \(68\) qui n’en portent pas. Obtenir exactement un cercle, c’est choisir 1 cube parmi les 32 et 2 parmi les 68 :

\[P=\frac{\dbinom{32}{1}\dbinom{68}{2}}{\dbinom{100}{3}}=\frac{32\times 2\,278}{161\,700}=\frac{72\,896}{161\,700}=\frac{18\,224}{40\,425}\approx0{,}451.\]

La probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle est environ 0,451.

Exercice 5 :

Spécialité mathématiques – arithmétique et codage – 5 points

Partie A

On considère l’équation \((E)\) : \(25x-108y=1\), d’inconnues entières \(x\) et \(y\).

1. \(25\times 13-108\times 3=325-324=1\) : le couple \((13\,;3)\) est solution de \((E)\).

2. Soit \((x\,;y)\) une solution. En soustrayant membre à membre \(25\times 13-108\times 3=1\), on obtient \(25(x-13)=108(y-3)\).

Ainsi \(108\) divise \(25(x-13)\). Comme \(108=2^2\times 3^3\) et \(25=5^2\) sont premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que \(108\) divise \(x-13\) : il existe un entier relatif \(k\) tel que \(x-13=108k\). En reportant, \(25\times 108k=108(y-3)\), d’où \(y-3=25k\).

Réciproquement, pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), \(25(13+108k)-108(3+25k)=325-324=1\).

Les solutions de \((E)\) sont les couples \((13+108k\,;3+25k)\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).

Partie B

Ici \(a\) est un entier naturel et \(g\), \(c\) sont des entiers naturels tels que \(25g-108c=1\).

1. Soit \(x\) un entier naturel tel que \(x\equiv a\ [7]\) et \(x\equiv a\ [19]\). Alors \(x-a\) est divisible par \(7\) et par \(19\). Ces deux nombres premiers sont distincts, donc premiers entre eux, et \(x-a\) est divisible par leur produit \(7\times 19=133\). Donc \(x\equiv a\ [133]\).

2. a. On suppose que \(a\) n’est pas multiple de \(7\). Comme \(7\) est premier, le petit théorème de Fermat donne \(a^6\equiv1\ [7]\). Or \(108=6\times 18\), donc \(a^{108}=(a^6)^{18}\equiv1\ [7]\). Comme \(25g=1+108c\) :

\[(a^{25})^{g}=a^{25g}=a^{1+108c}=a\times (a^{108})^{c}\equiv a\times 1^{c}\equiv a\ [7].\]

b. Si \(a\) est multiple de \(7\), alors \(a\equiv0\ [7]\) et, puisque \(25g\geq\, 1\), \((a^{25})^{g}=a^{25g}\equiv0\equiv a\ [7]\).

c. Dans tous les cas, \((a^{25})^{g}\equiv a\ [7]\). En admettant que \((a^{25})^{g}\equiv a\ [19]\), la question 1 appliquée à \(x=(a^{25})^{g}\) donne \((a^{25})^{g}\equiv a\ [133]\).

Partie C

On code chaque entier \(a\) de \(\{1,2,\dots,26\}\) par le reste \(r\) de \(a^{25}\) dans la division par \(133\), et on décode \(r\) par le reste \(r_1\) de \(r^{13}\) dans la division par \(133\).

1. On a \(r_1\equiv r^{13}\equiv(a^{25})^{13}\ [133]\). D’après la partie A, \(25\times 13-108\times 3=1\) : le couple \((g\,;c)=(13\,;3)\) vérifie la relation de la partie B, donc \((a^{25})^{13}\equiv a\ [133]\). Ainsi \(r_1\equiv a\ [133]\) ; comme \(0\leq\, r_1\lt 133\) et \(1\leq\, a\leq\, 26\), on a \(r_1=a\) : le décodage restitue bien le message initial.

2. Décodage du message \(128\) ; \(59\).

• \(128\equiv-5\ [133]\), donc \(128^{13}\equiv-5^{13}\ [133]\). On calcule : \(5^3=125\equiv-8\), donc \(5^{12}=(5^3)^4\equiv(-8)^4=4\,096\equiv4\,096-30\times 133=106\equiv-27\ [133]\), puis \(5^{13}\equiv-135\equiv-2\ [133]\). Ainsi \(128^{13}\equiv2\ [133]\).
• \(59^2=3\,481=26\times 133+23\), donc \(59^2\equiv23\) et \(59^4\equiv23^2=529=3\times 133+130\equiv-3\ [133]\). Alors \(59^{12}=(59^4)^3\equiv(-3)^3=-27\) et \(59^{13}\equiv-27\times 59=-1\,593\equiv-1\,593+12\times 133=3\ [133]\).

Le message initial était donc \(2\) ; \(3\). (On vérifie que \(2^{25}\equiv128\) et \(3^{25}\equiv59\ [133]\).)