Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. Les deux caractéristiques fournies par le laboratoire sont des probabilités conditionnelles : la première concerne les individus malades, la seconde les individus sains. Donc \(P_{M}(T)=0{,}999\) et \(P_{\overline{M}}(T)=0{,}005\).
2. Sur l’île, 270 000 personnes sur 750 000 ont été infectées. Comme l’individu est choisi au hasard, on est en situation d’équiprobabilité : \(P(M)=\dfrac{270\,000}{750\,000}=\dfrac{27}{75}=\dfrac{9}{25}\), soit \(P(M)=0{,}36\).
3. Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut 1. On en déduit \(P(\overline{M})=1-0{,}36=0{,}64\), \(P_M(\overline{T})=1-0{,}999=0{,}001\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{T})=1-0{,}005=0{,}995\). L’arbre complété est donc :
- branche vers \(M\) : \(0{,}36\), puis de \(M\) vers \(T\) : \(0{,}999\) et de \(M\) vers \(\overline{T}\) : \(0{,}001\) ;
- branche vers \(\overline{M}\) : \(0{,}64\), puis de \(\overline{M}\) vers \(T\) : \(0{,}005\) et de \(\overline{M}\) vers \(\overline{T}\) : \(0{,}995\).
4. On cherche \(P(M\cap T)\). On multiplie les probabilités le long du chemin \(M\) puis \(T\) :
\[P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T)=0{,}36\times 0{,}999=0{,}359\,64\]
La probabilité qu’un individu soit atteint et ait un test positif est \(P(M\cap T)\approx 0{,}360\).
5. Les évènements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T)=0{,}359\,64+0{,}64\times 0{,}005=0{,}359\,64+0{,}003\,2=0{,}362\,84\]
Donc \(P(T)\approx 0{,}363\).
6. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_T(M)\) :
\[P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}359\,64}{0{,}362\,84}\approx 0{,}991\]
La probabilité qu’un individu testé positif soit réellement atteint est environ 0,991.
7. Le test est fiable si \(P_T(M)\gt 0{,}95\). Ici \(P_T(M)\approx 0{,}991\gt 0{,}95\) : on peut estimer que ce test est fiable sur la population de La Réunion en 2005 (plus de 99 % des tests positifs correspondent à des personnes malades).
Partie B
1. Seule la probabilité d’être atteint change : elle vaut maintenant \(p\), donc celle de ne pas l’être vaut \(1-p\). Les probabilités conditionnelles liées au test sont inchangées :
- branche vers \(M\) : \(p\), puis \(T\) : \(0{,}999\) et \(\overline{T}\) : \(0{,}001\) ;
- branche vers \(\overline{M}\) : \(1-p\), puis \(T\) : \(0{,}005\) et \(\overline{T}\) : \(0{,}995\).
2. Toujours avec la formule des probabilités totales (partition \(M\), \(\overline{M}\)) :
\[P(T)=p\times 0{,}999+(1-p)\times 0{,}005=0{,}999p+0{,}005-0{,}005p\]
soit \(P(T)=0{,}994p+0{,}005\).
3. Par définition d’une probabilité conditionnelle, \(P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}999p}{0{,}994p+0{,}005}\). En multipliant numérateur et dénominateur par 1000 :
\[P_T(M)=\dfrac{999p}{994p+5}\]
ce qui est bien l’expression demandée.
4. On résout \(P_T(M)\gt 0{,}95\) pour \(p\in\,]0~;~1]\). Le dénominateur \(994p+5\) est strictement positif, on peut donc multiplier les deux membres par lui sans changer le sens de l’inégalité :
\[\dfrac{999p}{994p+5}\gt 0{,}95 \iff 999p\gt 944{,}3p+4{,}75 \iff 54{,}7p\gt 4{,}75 \iff p\gt \dfrac{4{,}75}{54{,}7}=\dfrac{95}{1094}\]
Or \(\dfrac{95}{1094}\approx 0{,}0868\). Le test est donc fiable lorsque la proportion de malades dans la population cible dépasse environ 8,7 %, c’est-à-dire pour \(p\in]\dfrac{95}{1094}~;~1]\). Pour une maladie rare, un test positif ne suffit donc pas à conclure.
Partie C
L’évènement « au moins un des \(n\) habitants est atteint » s’écrit \(X\geq\, 1\). Son contraire est \(X=0\) (aucun habitant atteint), et comme \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n~;~0{,}36)\) :
\[P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}36)^n=1-0{,}64^n\]
On cherche donc le plus petit entier \(n\) tel que \(1-0{,}64^n\gt 0{,}99\), c’est-à-dire \(0{,}64^n\lt 0{,}01\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\) :
\[0{,}64^n\lt 0{,}01 \iff n\ln(0{,}64)\lt \ln(0{,}01) \iff n\gt \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)}\]
car \(\ln(0{,}64)\lt 0\) (on change le sens de l’inégalité en divisant). Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)}\approx 10{,}32\). Vérification : \(1-0{,}64^{10}\approx 0{,}988\) et \(1-0{,}64^{11}\approx 0{,}993\). Il faut donc au moins 11 individus dans l’échantillon.
Exercice 2 :
Partie A
1. On applique la relation de récurrence : \(u_1=\dfrac{1}{2}\times 30+10=25\) puis \(u_2=\dfrac{1}{2}\times 25+10=12{,}5+10\). Donc \(u_1=25\) et \(u_2=22{,}5\).
2. Pour tout entier naturel \(n\), on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) :
\[v_{n+1}=u_{n+1}-20=\dfrac{1}{2}u_n+10-20=\dfrac{1}{2}u_n-10=\dfrac{1}{2}(u_n-20)=\dfrac{1}{2}v_n\]
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(\dfrac12\), de premier terme \(v_0=u_0-20=10\).
3. Le terme général d’une suite géométrique est \(v_n=v_0\times q^n\), d’où \(v_n=10(\dfrac{1}{2})^n\) pour tout entier naturel \(n\).
4. Comme \(v_n=u_n-20\), on a \(u_n=v_n+20\), donc \(u_n=20+10(\dfrac{1}{2})^n\) pour tout entier naturel \(n\).
5. Puisque \(-1\lt \dfrac{1}{2}\lt 1\), on a \(\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{1}{2})^n=0\). Par produit par 10 puis somme avec 20, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=20\) : la suite \((u_n)\) converge vers 20.
Partie B
1. On prend \(n=0\) dans la définition : \(w_1=\dfrac{1}{2}w_0+\dfrac{1}{2}u_0+7=\dfrac{45}{2}+\dfrac{30}{2}+7=22{,}5+15+7\), donc \(w_1=44{,}5\).
2. Déroulons suite(1) : la boucle ne tourne qu’une fois. La ligne 5 remplace d’abord U par \(u_1=25\), puis la ligne 6 calcule W avec cette nouvelle valeur : \(\dfrac{45}{2}+\dfrac{25}{2}+7=42\). Or \(w_1\) doit être calculé avec \(u_0=30\), pas avec \(u_1\). Le problème vient de l’ordre des instructions : il faut calculer W avant de mettre U à jour, c’est-à-dire échanger les lignes 5 et 6 :
def suite(n):
U=30
W=45
for i in range (1,n+1):
W=W/2+U/2+7
U=U/2+10
return W
Avec cette version, à chaque tour, W passe de \(w_{i-1}\) à \(w_i\) en utilisant \(u_{i-1}\), puis U passe de \(u_{i-1}\) à \(u_i\) : suite(1) renvoie bien 44,5.
3. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(w_{n}=10 n(\dfrac{1}{2})^{n}+11(\dfrac{1}{2})^{n}+ 34\) ».
Initialisation. Pour \(n=0\) : \(10\times 0\times 1+11\times 1+34=45=w_0\). La propriété \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. En utilisant cette hypothèse et l’expression de \(u_n\) obtenue en partie A :
\[w_{n+1}=\dfrac{1}{2}[10n(\dfrac{1}{2})^n+11(\dfrac{1}{2})^n+34]+\dfrac{1}{2}[20+10(\dfrac{1}{2})^n]+7\]
\[w_{n+1}=10n(\dfrac{1}{2})^{n+1}+11(\dfrac{1}{2})^{n+1}+17+10+10(\dfrac{1}{2})^{n+1}+7\]
On regroupe les termes en \(10(\dfrac{1}{2})^{n+1}\) :
\[w_{n+1}=10(n+1)(\dfrac{1}{2})^{n+1}+11(\dfrac{1}{2})^{n+1}+34\]
La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(w_{n}=10 n(\dfrac{1}{2})^{n}+11(\dfrac{1}{2})^{n}+ 34\).
b. Pour \(n\geq\, 4\), on a \(0 \leq\, 10 n(\dfrac{1}{2})^{n} \leq\, \dfrac{10}{n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{10}{n}=0\). D’après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n\to+\infty}10n(\dfrac{1}{2})^n=0\). Par ailleurs \(\lim\limits_{n\to+\infty}11(\dfrac{1}{2})^n=0\) car \(0\lt\dfrac12\lt 1\). Par somme, la suite \((w_n)\) converge et \(\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=34\).
Exercice 3 :
Affirmation 1 : vraie.
Un vecteur directeur de \((d)\) se lit sur les coefficients de \(t\) : \(\vec{u}(\dfrac13~;~\dfrac12~;~1)\). Un vecteur normal au plan \(P\) se lit sur son équation : \(\vec{n}(2~;~3~;~6)\). On remarque que \(\vec{n}=6\,\vec{u}\) : ces vecteurs sont colinéaires, donc \((d)\) est orthogonale à \(P\).
H appartient à \(P\) : \(2\times (-6)+3\times 2+6\times 2-6=-12+6+12-6=0\).
H appartient à \((d)\) : l’équation \(-4+t=2\) donne \(t=6\), et avec \(t=6\) on obtient \(x=-8+2=-6\) et \(y=-1+3=2\), qui sont bien les coordonnées de H.
La droite \((d)\) est donc orthogonale à \(P\) et le coupe en H (une droite orthogonale à un plan le coupe en un seul point, qui est ici H).
Affirmation 2 : fausse.
L’angle \(\widehat{\mathrm{DCH}}\) est l’angle au sommet C, entre les vecteurs \(\vec{\mathrm{CD}}(-3~;~2~;~0)\) et \(\vec{\mathrm{CH}}(-9~;~2~;~2)\). Leur produit scalaire vaut :
\[\vec{\mathrm{CD}}\cdot\vec{\mathrm{CH}}=(-3)\times (-9)+2\times 2+0\times 2=31\]
Les normes sont \(\mathrm{CD}=\sqrt{9+4+0}=\sqrt{13}\) et \(\mathrm{CH}=\sqrt{81+4+4}=\sqrt{89}\). Comme \(\vec{\mathrm{CD}}\cdot\vec{\mathrm{CH}}=\mathrm{CD}\times \mathrm{CH}\times \cos\widehat{\mathrm{DCH}}\) :
\[\cos\widehat{\mathrm{DCH}}=\dfrac{31}{\sqrt{13}\times \sqrt{89}}=\dfrac{31}{\sqrt{1157}}\approx 0{,}9114\]
À la calculatrice, \(\widehat{\mathrm{DCH}}\approx 24{,}3^{\circ}\), et non \(17{,}3^{\circ}\).
Affirmation 3 : vraie.
Les vecteurs normaux \(\vec{n}(2~;~3~;~6)\) de \(P\) et \(\vec{n^{\prime}}(1~;~-2~;~3)\) de \(P^{\prime}\) ne sont pas colinéaires (le rapport des premières coordonnées est 2, celui des deuxièmes est \(-\dfrac32\)). Les plans \(P\) et \(P^{\prime}\) ne sont donc pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.
Prenons un point quelconque \(\mathrm{M}(3-3t~;~0~;~t)\) de \(\Delta\) :
- dans \(P\) : \(2(3-3t)+3\times 0+6t-6=6-6t+6t-6=0\) ;
- dans \(P^{\prime}\) : \((3-3t)-2\times 0+3t-3=0\).
Tous les points de \(\Delta\) appartiennent aux deux plans, donc \(\Delta\) est contenue dans leur intersection, qui est une droite : les deux droites sont confondues. L’intersection de \(P\) et \(P^{\prime}\) est bien \(\Delta\).
Affirmation 4 : vraie.
Il faut vérifier deux choses : J est sur (CD), et \(\vec{\mathrm{HJ}}\) est orthogonal à \(\vec{\mathrm{CD}}\).
Une représentation paramétrique de (CD), passant par C et dirigée par \(\vec{\mathrm{CD}}(-3~;~2~;~0)\), est \(x=3-3s\), \(y=2s\), \(z=0\), \(s\in\mathbb{R}\). Pour \(s=\dfrac{31}{13}\) : \(y=\dfrac{62}{13}\), \(x=3-\dfrac{93}{13}=\dfrac{39-93}{13}=-\dfrac{54}{13}\) et \(z=0\). Ce sont les coordonnées de J, donc \(\text{J}\in(\mathrm{CD})\).
Ensuite \(\vec{\mathrm{HJ}}(-\dfrac{54}{13}+6~;~\dfrac{62}{13}-2~;~0-2)\), soit \(\vec{\mathrm{HJ}}(\dfrac{24}{13}~;~\dfrac{36}{13}~;~-2)\), et :
\[\vec{\mathrm{HJ}}\cdot\vec{\mathrm{CD}}=\dfrac{24}{13}\times (-3)+\dfrac{36}{13}\times 2+(-2)\times 0=\dfrac{-72+72}{13}=0\]
J est le point de (CD) tel que \((\mathrm{HJ})\perp(\mathrm{CD})\) : J est le projeté orthogonal de H sur (CD).
Exercice 4 :
Partie A
1. La courbe part de 40 °C à \(t=0\). Elle monte, puis redescend et recoupe la droite horizontale d’ordonnée 40 un peu avant l’abscisse 4. Par lecture graphique, la température revient à sa valeur initiale au bout d’environ 3,8 minutes.
2. \(f(0)=(a\times 0+b)\text{e}^{0}=b\). Comme \(f(0)=40\), on obtient \(b=40\).
3. \(f\) est le produit de \(t\mapsto at+40\) (dérivée \(a\)) et de \(t\mapsto \text{e}^{-0{,}5t}\) (dérivée \(-0{,}5\text{e}^{-0{,}5t}\)). Donc :
\[f^{\prime}(t)=a\,\text{e}^{-0{,}5t}-0{,}5(at+40)\text{e}^{-0{,}5t}\]
En ajoutant \(0{,}5f(t)=0{,}5(at+40)\text{e}^{-0{,}5t}\), les deux derniers termes s’annulent : \(f^{\prime}(t)+0{,}5f(t)=a\,\text{e}^{-0{,}5t}\).
Comme \(f\) vérifie (E), on a pour tout \(t\) de \([0~;~10]\) : \(a\,\text{e}^{-0{,}5t}=60\,\text{e}^{-0{,}5t}\), et puisque \(\text{e}^{-0{,}5t}\neq 0\), \(a=60\).
Partie B
1. Avec la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), où \(u(t)=60t+40\) et \(v(t)=\text{e}^{-0{,}5t}\) :
\[f^{\prime}(t)=60\,\text{e}^{-0{,}5t}+(60t+40)\times (-0{,}5\,\text{e}^{-0{,}5t})=(60-30t-20)\text{e}^{-0{,}5t}\]
donc \(f^{\prime}(t)=(40-30t)\text{e}^{-0{,}5t}\) pour tout \(t\) de \([0~;~10]\).
2. a. Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(f^{\prime}(t)\) a le signe de \(40-30t\). Or \(40-30t\geq\, 0\iff t\leq\,\dfrac{4}{3}\). Ainsi \(f^{\prime}\) est positive sur \([0~;~\dfrac43]\) (nulle seulement en \(\dfrac43\)) et négative sur \([\dfrac43~;~10]\) : \(f\) est croissante sur \([0~;~\dfrac43]\) et décroissante sur \([\dfrac43~;~10]\).
Valeurs utiles : \(f(0)=40\), \(f(\dfrac43)=(80+40)\text{e}^{-\frac{2}{3}}=120\,\text{e}^{-\frac23}\approx 61{,}6\) et \(f(10)=640\,\text{e}^{-5}\approx 4{,}31\).
| \(t\) | 0 | \(\dfrac43\) | 10 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(t)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | 40 | \(\nearrow\) | \(120\,\text{e}^{-\frac23}\) | \(\searrow\) | \(640\,\text{e}^{-5}\) |
b. Sur \(]0~;~\dfrac43]\) : \(f\) est strictement croissante et \(f(0)=40\), donc \(f(t)\gt 40\) pour tout \(t\) de cet intervalle ; l’équation \(f(t)=40\) n’y a aucune solution.
Sur \([\dfrac43~;~10]\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante, avec \(f(\dfrac43)\approx 61{,}6\gt 40\) et \(f(10)\approx 4{,}31\lt 40\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(t)=40\) admet une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.
En réunissant les deux intervalles, l’équation \(f(t)=40\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0~;~10]\).
c. À la calculatrice (tableau de valeurs avec un pas de 0,1) : \(f(3{,}8)\approx 40{,}08\gt 40\) et \(f(3{,}9)\approx 38{,}98\lt 40\), donc \(3{,}8\lt\alpha\lt 3{,}9\) ; plus finement \(\alpha\approx 3{,}808\), d’où \(\alpha\approx 3{,}8\). Interprétation : après avoir chauffé, la réaction revient à sa température initiale de 40 °C au bout d’environ 3,8 minutes, ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.
3. a. On pose \(u(t)=60t+40\) et \(v^{\prime}(t)=\text{e}^{-0{,}5t}\), donc \(u^{\prime}(t)=60\) et \(v(t)=-2\,\text{e}^{-0{,}5t}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0~;~4]\), et la formule d’intégration par parties donne :
\[\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t=\Big[-2(60t+40)\text{e}^{-0{,}5t}\Big]_0^4-\int_0^4 60\times (-2\,\text{e}^{-0{,}5t})\mathrm{d}t=\Big[-2(60t+40)\text{e}^{-0{,}5t}\Big]_0^4+120\int_0^4\text{e}^{-0{,}5t}\,\mathrm{d}t\]
Le crochet vaut \(-2\times 280\,\text{e}^{-2}-(-2\times 40)=-560\,\text{e}^{-2}+80\).
L’intégrale restante vaut \(\Big[-2\,\text{e}^{-0{,}5t}\Big]_0^4=-2\,\text{e}^{-2}+2\), donc \(120\) fois cette intégrale vaut \(-240\,\text{e}^{-2}+240\).
Au total :
\[\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t=-560\,\text{e}^{-2}+80-240\,\text{e}^{-2}+240=320-800\,\text{e}^{-2}=320-\dfrac{800}{\text{e}^{2}}\]
b. Avec \(t_1=0\) et \(t_2=4\), la température moyenne vaut :
\[\dfrac{1}{4-0}\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t=\dfrac{1}{4}(320-\dfrac{800}{\text{e}^{2}})=80-\dfrac{200}{\text{e}^{2}}\approx 52{,}9\]
La température moyenne de la réaction au cours des 4 premières minutes est d’environ 53 °C.
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