Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. On lit l’énoncé : \(P(F)=0{,}48\), \(P_F(C)=0{,}165\), et, en notant \(H=\overline{F}\) l’évènement « la personne choisie est un homme », \(P(H)=0{,}52\) et \(P_H(C)=0{,}215\). Sur chaque nœud, les probabilités des branches issues d’un même point ont pour somme 1, d’où \(P_F(\overline{C})=1-0{,}165=0{,}835\) et \(P_H(\overline{C})=1-0{,}215=0{,}785\). On obtient l’arbre suivant :
2. On cherche \(P(F\cap C)\). On multiplie les probabilités le long du chemin « \(F\) puis \(C\) » :
\[P(F\cap C)=P(F)\times P_F(C)=0{,}48\times 0{,}165=0{,}0792.\]
La probabilité que la personne choisie soit une femme cadre est \(0{,}0792\).
3. a. Les évènements \(F\) et \(H\) forment une partition de l’ensemble des salariés. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(C)=P(F\cap C)+P(H\cap C)=0{,}0792+0{,}52\times 0{,}215=0{,}0792+0{,}1118=0{,}191.\]
On a bien \(P(C)=0{,}191\).
b. \(F\) et \(C\) sont indépendants si et seulement si \(P(F\cap C)=P(F)\times P(C)\). Or \(P(F)\times P(C)=0{,}48\times 0{,}191=0{,}09168\), alors que \(P(F\cap C)=0{,}0792\). Ces deux nombres sont différents, donc les évènements \(F\) et \(C\) ne sont pas indépendants : être une femme modifie la probabilité d’être cadre dans cette entreprise.
4. Par définition d’une probabilité conditionnelle :
\[P_C(F)=\dfrac{P(F\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}0792}{0{,}191}\approx 0{,}4147.\]
Donc \(P_C(F)\approx 0{,}4147\) : parmi les cadres de l’entreprise, environ 41,5 % sont des femmes (alors que les femmes représentent 48 % de l’ensemble des salariés).
5. a. On répète 15 fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « le salarié choisi est cadre » a pour probabilité \(p=0{,}191\). La variable \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=15\) et \(p=0{,}191\).
b. « Au plus 1 cadre » correspond à \(X\leq\, 1\), c’est-à-dire \(X=0\) ou \(X=1\) :
\[P(X\leq\, 1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}809^{15}+\binom\,{15}{1}\times 0{,}191\times 0{,}809^{14}\approx 0{,}0413+0{,}1477.\]
Donc \(P(X\leq\, 1)\approx 0{,}1890\).
c. L’espérance d’une loi binomiale est \(E(X)=np\), donc \(E(X)=15\times 0{,}191=2{,}865\) : sur un grand nombre d’échantillons de 15 salariés, on trouve en moyenne un peu moins de 3 cadres.
6. Avec un échantillon de \(n\) salariés, le nombre \(Y\) de cadres suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}191\). L’évènement « au moins un cadre » est le contraire de « aucun cadre », donc :
\[P(Y\geq\, 1)=1-P(Y=0)=1-0{,}809^n.\]
On résout l’inéquation :
\[1-0{,}809^n\geq\, 0{,}99\iff 0{,}809^n\leq\, 0{,}01\iff n\ln(0{,}809)\leq\,\ln(0{,}01)\]
en appliquant la fonction \(\ln\), strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). Comme \(\ln(0{,}809)\lt 0\), diviser par ce nombre change le sens de l’inégalité :
\[n\geq\,\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}809)}\approx 21{,}73.\]
Comme \(n\) est entier, la valeur minimale est \(n=22\). Vérification : \(0{,}809^{21}\approx 0{,}0116\gt 0{,}01\) et \(0{,}809^{22}\approx 0{,}0094\leq\, 0{,}01\).
Exercice 2 :
Dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\), on a : A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1).
1. a. Les points A, D, H, E sont les sommets d’une face du cube, donc ADHE est un carré. Les droites (AH) et (ED) sont ses deux diagonales. Or les diagonales d’un carré se coupent à angle droit : les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.
b. La face EFGH est un carré, donc (GH) est perpendiculaire à (HE). La face DCGH est un carré, donc (GH) est perpendiculaire à (HD). Les droites (HE) et (HD) sont deux droites sécantes (en H) du plan (EDH). Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est orthogonale à ce plan : la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).
c. Comme (GH) est orthogonale au plan (EDH), elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à (ED). D’autre part, (ED) est perpendiculaire à (AH) d’après la question 1. a. Ainsi (ED) est orthogonale aux deux droites (AH) et (GH), qui sont sécantes en H et contenues dans le plan (AGH). Donc (ED) est orthogonale au plan (AGH).
2. \(\vec{\text{ED}}\) a pour coordonnées \((0-0\,;\,1-0\,;\,0-1)\), soit \(\vec{\text{ED}}(0\,;\,1\,;\,-1)\).
D’après la question 1. c., \(\vec{\text{ED}}\) est un vecteur normal au plan (AGH). Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme \(0x+1y-1z+d=0\), soit \(y-z+d=0\). Le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan, donc \(0-0+d=0\), d’où \(d=0\). Le plan (AGH) a donc pour équation \(y-z=0\). (Contrôle : G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1) vérifient bien \(1-1=0\).)
3. a. La droite (EL) passe par E(0 ; 0 ; 1) et est dirigée par \(\vec{\text{EL}}(\dfrac{2}{3}\,;\,1\,;\,-1)\). Un point M(x ; y ; z) appartient à (EL) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{EM}}=t\,\vec{\text{EL}}\), ce qui donne la représentation paramétrique :
\[\{\begin{array}{l} x=\dfrac{2}{3}t\\ y=t\\ z=1-t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]
b. On remplace \(y\) et \(z\) dans l’équation du plan : \(t-(1-t)=0\iff 2t-1=0\iff t=\dfrac{1}{2}\). Pour cette valeur, \(x=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\), \(y=\dfrac{1}{2}\) et \(z=\dfrac{1}{2}\). La droite (EL) coupe donc le plan (AGH) en un seul point, le point de coordonnées \((\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\).
c. Il faut vérifier deux choses : K appartient au plan (AGH), et \(\vec{\text{LK}}\) est normal à ce plan.
- K appartient au plan : \(y_K-z_K=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0\).
- \(\vec{\text{LK}}(\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}-1\,;\,\dfrac{1}{2}-0)=(0\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\), donc \(\vec{\text{LK}}=-\dfrac{1}{2}\vec{\text{ED}}\) : il est colinéaire au vecteur normal \(\vec{\text{ED}}\).
Le point K est le point du plan (AGH) tel que (LK) soit orthogonale au plan : K est le projeté orthogonal de L sur (AGH).
d. La distance de L au plan (AGH) est la distance LK :
\[\text{LK}=\sqrt{0^2+(-\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]
La distance de L au plan (AGH) vaut bien \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
e. On prend comme base le triangle AGH, contenu dans le plan (AGH) ; la hauteur associée issue de L est alors LK. Le triangle AGH est rectangle en H, car (GH) est orthogonale au plan (EDH) qui contient (AH). Ses côtés de l’angle droit mesurent HG = 1 (arête du cube) et \(\text{AH}=\sqrt{2}\) (diagonale d’un carré de côté 1). Son aire vaut :
\[\mathcal{A}_{\text{AGH}}=\dfrac{\text{AH}\times \text{HG}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\times 1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]
Le volume du tétraèdre est alors :
\[V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{6}.\]
Le volume du tétraèdre LAGH est \(\dfrac{1}{6}\) unité de volume.
Exercice 3 :
1. Réponse b. \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(g^{\prime}(x)=1000x^{999}+1\) et \(g^{\prime\prime}(x)=999\,000\,x^{998}\). L’exposant 998 étant pair, \(g^{\prime\prime}(x)\geq\, 0\) pour tout réel \(x\), et \(g^{\prime\prime}\) ne s’annule qu’en 0 sans changer de signe : \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) et n’a aucun point d’inflexion.
2. Réponse a. Le coefficient directeur de \(T\) est \(f^{\prime}(0)\), qu’on lit sur \(\Gamma\) : le point de \(\Gamma\) d’abscisse 0 a pour ordonnée 1, donc \(f^{\prime}(0)=1\). La tangente \(T\) a donc la même pente que la droite \(y=x\) : elles sont parallèles.
3. Réponse c. Pour tout \(n\), \(|u_n|=\dfrac{1}{n+1}\leq\, 1\), donc \(-1\leq\, u_n\leq\, 1\) : la suite est bornée (on a même \(-\dfrac{1}{2}\leq\, u_n\leq\, 1\)).
4. Réponse c. La condition \(v_n\times v_{n+1}\lt 0\) signifie que deux termes consécutifs sont de signes contraires : le signe change à chaque rang. Après un nombre pair de changements, on retrouve le signe de départ ; comme 10 est pair, \(v_{10}\) est du signe de \(v_0=k\).
5. Réponse b. On remonte la relation : \(w_{n}=\dfrac{w_{n+1}+4}{2}\). Donc \(w_1=\dfrac{8+4}{2}=6\) puis \(w_0=\dfrac{6+4}{2}=5\). Vérification : \(2\times 5-4=6\) et \(2\times 6-4=8\).
6. Réponse b. (Question absente du sujet de Madagascar.) Comme \(a_0=1\gt 0\) et que \(\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}\gt 0\), une récurrence immédiate montre que \(a_n\gt 0\) pour tout \(n\). De plus \(\text{e}^n\lt\text{e}^n+1\), donc \(0\lt\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}\lt 1\), et en multipliant par \(a_n\gt 0\) : \(a_{n+1}\lt a_n\). La suite est strictement décroissante.
7. Réponse c. Après \(k\) divisions successives, une cellule a donné \(2^k\) cellules. On cherche \(k\) tel que \(2^k\approx 4000\) : \(2^{11}=2048\) et \(2^{12}=4096\), donc il y a eu environ 12 générations en 4 heures, soit 240 minutes. Le temps de génération vaut environ \(\dfrac{240}{12}=20\) minutes.
Exercice 4 :
Partie A
1. La fonction \(x\mapsto \text{e}^{-x}\) est continue en 0, donc \(\lim\limits_{x\to 0}\text{e}^{-x}=\text{e}^{0}=1\). Par ailleurs \(\lim\limits_{x\to 0,\,x\gt 0}\ln(x)=-\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty\) : la droite d’équation \(x=0\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
2. La dérivée de \(x\mapsto \text{e}^{-x}\) est \(x\mapsto -\text{e}^{-x}\) (dérivée de \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=-x\)) et celle de \(\ln\) est \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\). Pour tout \(x\in\,]0\,;\,1]\) :
\[f^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-x\text{e}^{-x}}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1-x\text{e}^{-x}}{x}.\]
3. Soit \(x\in\,]0\,;\,1]\). Comme \(-x\lt 0\) et que la fonction exponentielle est strictement croissante, \(0\lt\text{e}^{-x}\lt\text{e}^0=1\). De plus \(0\lt x\leq\, 1\). En multipliant ces deux encadrements de nombres positifs, \(x\text{e}^{-x}\lt 1\times 1\), soit \(x\text{e}^{-x}\lt 1\).
Par conséquent \(1-x\text{e}^{-x}\gt 0\) ; comme \(x\gt 0\), le quotient \(f^{\prime}(x)\) est strictement positif sur \(]0\,;\,1]\). La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(]0\,;\,1]\). On calcule \(f(1)=\text{e}^{-1}+\ln(1)=\text{e}^{-1}\approx 0{,}368\).
| \(x\) | 0 (exclu) | 1 | |
|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | ||
| variations de \(f\) | \(-\infty\) | croissante ↗ | \(\text{e}^{-1}\) |
4. Sur \(]0\,;\,1]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. Elle prend donc toutes les valeurs de l’intervalle \(]-\infty\,;\,\text{e}^{-1}]\), chacune une seule fois. Comme \(\text{e}^{-1}\gt 0\), le réel 0 appartient à cet intervalle. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\ell\) dans \(]0\,;\,1]\). À la calculatrice, \(\ell\approx 0{,}567\).
Partie B
1. a. En appliquant les formules avec \(n=0\) :
\[a_1=\text{e}^{-b_0}=\text{e}^{-1}\approx 0{,}37\qquad\text{et}\qquad b_1=\text{e}^{-a_0}=\text{e}^{-0{,}1}\approx 0{,}90.\]
Donc \(a_1\approx 0{,}37\) et \(b_1\approx 0{,}90\).
b. La difficulté est que \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) se calculent tous les deux à partir des anciennes valeurs \(a_n\) et \(b_n\). Si l’on écrivait directement a = exp(-b), l’ancienne valeur de a serait perdue avant le calcul de b. On stocke donc le nouveau a dans la variable auxiliaire c, on calcule le nouveau b avec l’ancien a, puis on met à jour a. La fonction exponentielle s’importe depuis le module math :
from math import exp
def termes (n) :
a=1/10
b=1
for k in range(0,n) :
c= exp(-b)
b = exp(-a)
a = c
return(a,b)
2. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la proposition : « \(0\lt a_n\leq\, a_{n+1}\leq\, b_{n+1}\leq\, b_n\leq\, 1\) ».
Initialisation. On a \(a_0=0{,}1\), \(a_1=\text{e}^{-1}\approx 0{,}368\), \(b_1=\text{e}^{-0{,}1}\approx 0{,}905\) et \(b_0=1\). Plus rigoureusement : \(-1\lt -0{,}1\lt 0\) et l’exponentielle est croissante, donc \(\text{e}^{-1}\leq\,\text{e}^{-0{,}1}\leq\, 1\), et \(\text{e}^{-1}\gt\dfrac{1}{3}\gt 0{,}1\) car \(\text{e}\lt 3\). Ainsi \(0\lt a_0\leq\, a_1\leq\, b_1\leq\, b_0\leq\, 1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(0\lt a_n\leq\, a_{n+1}\leq\, b_{n+1}\leq\, b_n\leq\, 1\). On applique à ces cinq nombres la fonction \(x\mapsto \text{e}^{-x}\), qui est décroissante sur \(\mathbb{R}\) et renverse donc l’ordre :
\[\text{e}^{-0}\geq\,\text{e}^{-a_n}\geq\,\text{e}^{-a_{n+1}}\geq\,\text{e}^{-b_{n+1}}\geq\,\text{e}^{-b_n}\geq\,\text{e}^{-1}.\]
Or \(\text{e}^{-a_n}=b_{n+1}\), \(\text{e}^{-a_{n+1}}=b_{n+2}\), \(\text{e}^{-b_{n+1}}=a_{n+2}\) et \(\text{e}^{-b_n}=a_{n+1}\). On obtient :
\[1\geq\, b_{n+1}\geq\, b_{n+2}\geq\, a_{n+2}\geq\, a_{n+1}\geq\,\text{e}^{-1}\gt 0,\]
c’est-à-dire \(0\lt a_{n+1}\leq\, a_{n+2}\leq\, b_{n+2}\leq\, b_{n+1}\leq\, 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence pour tout entier naturel \(n\), \(0\lt a_n\leq\, a_{n+1}\leq\, b_{n+1}\leq\, b_n\leq\, 1\).
b. D’après la question précédente, pour tout \(n\) : \(a_n\leq\, a_{n+1}\), donc \((a_n)\) est croissante, et \(a_n\leq\, 1\), donc elle est majorée par 1. D’après le théorème de convergence monotone, \((a_n)\) converge. De même, \(b_{n+1}\leq\, b_n\) montre que \((b_n)\) est décroissante, et \(b_n\gt 0\) qu’elle est minorée par 0 : \((b_n)\) converge.
3. a. Comme \(A\gt 0\), on peut calculer \(\ln(A)\). De \(A=\text{e}^{-B}\) on tire \(\ln(A)=-B\), et comme \(B=\text{e}^{-A}\) :
\[f(A)=\text{e}^{-A}+\ln(A)=B+(-B)=0.\]
Donc \(f(A)=0\).
b. Le raisonnement est symétrique : \(B\gt 0\) et \(B=\text{e}^{-A}\) donnent \(\ln(B)=-A\), donc \(f(B)=\text{e}^{-B}+\ln(B)=A-A=0\). Ainsi \(A\) et \(B\) sont deux solutions de l’équation \(f(x)=0\) dans \(]0\,;\,1]\). D’après la partie A, question 4, cette équation n’a qu’une seule solution \(\ell\) sur cet intervalle, donc \(A=B=\ell\) et \(A-B=0\). Les deux suites ont la même limite \(\ell\approx 0{,}567\).
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