Brevet de maths 2020 en Polynésie (septembre) : sujet et corrigé

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2020
Polynésie — 7 septembre 2020
Mathématiques — Durée : 2 heures

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées même non abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1 (22 points)

Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes

1. Quel nombre obtient-on avec le programme de calcul ci-contre, si l’on choisit comme nombre de départ \(-7\) ?

2. Développer et réduire l’expression \((2x-3)(4x+1)\).

3. Sur la figure ci-contre, qui n’est pas à l’échelle, les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
Les points A, C et D sont alignés.
Les points B, C et E sont alignés.
Calculer la longueur CB.

4. Un article coûte 22 €. Son prix baisse de 15 %. Quel est son nouveau prix ?

5. Les salaires mensuels des employés d’une entreprise sont présentés dans le tableau suivant.

Déterminer le salaire médian et l’étendue des salaires dans cette entreprise.

6. Quel est le plus grand nombre premier qui divise 41 895 ?

Exercice 2 (15 points)

On souhaite réaliser une frise composée de rectangles.
Pour cela, on a écrit le programme ci-dessous :

On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 » consiste à s’orienter horizontalement vers la droite.

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée

1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé ?

2. Combien de rectangles sont dessinés par le script principal ?

3. Dessiner à main levée la figure obtenue avec le script principal.

4. a. Sans modifier le script principal, on a obtenu la figure ci-dessous composée de rectangles de longueur \(40\) pixels et de largeur \(20\) pixels. Proposer une modification du bloc « rectangle » permettant d’obtenir cette figure.

b. Où peut-on alors ajouter l’instruction « ajouter 1 à la taille du stylo » dans le script principal pour obtenir la figure ci-dessous ?

Exercice 3 (26 points)

On considère le motif initial ci-contre.
Il est composé d’un carré ABCE de côté \(5\) cm et d’un triangle EDC, rectangle et isocèle en D.

Partie 1

1. Donner, sans justification, les mesures des angles \(\widehat{\text{DEC}}\) et \(\widehat{\text{DCE}}\).

2. Montrer que le côté [DE] mesure environ \(3{,}5\) cm au dixième de centimètre près.

3. Calculer l’aire du motif initial. Donner une valeur approchée au centimètre carré près.

Partie 2

On réalise un pavage du plan en partant du motif initial et en utilisant différentes transformations du plan.
Dans chacun des quatre cas suivants, donner sans justifier une transformation du plan qui permet de passer :

1. Du motif 1 au motif 2

2. Du motif 1 au motif 3

3. Du motif 1 au motif 4

4. Du motif 2 au motif 3

Partie 3

Suite à un agrandissement de rapport \(\dfrac{3}{2}\) de la taille du motif initial, on obtient un motif agrandi.

1. Construire en vraie grandeur le motif agrandi.

2. Par quel coefficient doit-on multiplier l’aire du motif initial pour obtenir l’aire du motif agrandi ?

Exercice 4 (16 points)

Jean possède 365 albums de bandes dessinées. Afin de trier les albums de sa collection, il les range par série et classe les séries en trois catégories : franco-belges, comics et mangas comme ci-dessous.

Il choisit au hasard un album parmi tous ceux de sa collection.

1. a. Quelle est la probabilité que l’album choisi soit un album « Lucky-Luke » ?

b. Quelle est la probabilité que l’album choisi soit un comics ?

c. Quelle est la probabilité que l’album choisi ne soit pas un manga ?

2. Tous les albums de chaque série sont numérotés dans l’ordre de sortie en librairie et chacune des séries est complète du numéro 1 au dernier numéro.

a. Quelle est la probabilité que l’album choisi porte le numéro 1 ?

b. Quelle est la probabilité que l’album choisi porte le numéro 40 ?

Exercice 5 (21 points)

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) suivantes :

\[f : t \longmapsto 4t+3 \quad \text{et} \quad g : t \longmapsto 6t.\]

Leurs représentations graphiques \((d_1)\) et \((d_2)\) sont tracées ci-dessous.

1. Associer chaque droite à la fonction qu’elle représente.

2. Résoudre par la méthode de votre choix l’équation \(f(t)=g(t)\).

Camille et Claude décident de faire exactement la même randonnée mais Camille part 45 min avant Claude. On sait que Camille marche à la vitesse constante de 4 km/h et Claude marche à la vitesse constante de 6 km/h.

3. Au moment du départ de Claude, quelle est la distance déjà parcourue par Camille ?

On note \(t\) le temps écoulé, exprimé en heure, depuis le départ de Claude. Ainsi \(t=0\) correspond au moment du départ de Claude.

4. Expliquer pourquoi la distance en kilomètre parcourue par Camille en fonction de \(t\) peut s’écrire \(4t+3\).

5. Déterminer le temps que mettra Claude pour rattraper Camille.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. On suit le programme étape par étape en partant de \(-7\). On ajoute 2 : \(-7+2=-5\). On élève ce résultat au carré : \((-5)^2=(-5)\times (-5)=25\) (le produit de deux nombres négatifs est positif). Le programme donne 25.

2. On utilise la double distributivité : chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.

\[(2x-3)(4x+1)=2x\times 4x+2x\times 1-3\times 4x-3\times 1=8x^2+2x-12x-3\]

En regroupant les termes en \(x\) : \((2x-3)(4x+1)=8x^2-10x-3\).

3. Les points A, C, D d’une part et B, C, E d’autre part sont alignés, et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. On est dans une configuration de Thalès « en papillon » : les triangles CAB et CDE sont en situation de Thalès. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}}=\dfrac{\text{CB}}{\text{CE}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{DE}}\]

Avec CA = 3,5 cm, CD = 1 cm et CE = 1,5 cm, on obtient \(\dfrac{3{,}5}{1}=\dfrac{\text{CB}}{1{,}5}\), d’où \(\text{CB}=3{,}5\times 1{,}5=5{,}25\).

La longueur CB mesure 5,25 cm.

4. Baisser un prix de 15 %, c’est garder \(100\,\%-15\,\%=85\,\%\) du prix, c’est-à-dire multiplier par le coefficient \(1-\dfrac{15}{100}=0{,}85\).

\[22\times 0{,}85=18{,}7\]

On peut aussi calculer la réduction : \(22\times 0{,}15=3{,}30\) €, puis \(22-3{,}30=18{,}70\) €. Le nouveau prix est de 18,70 €.

5. Effectif total : \(11+6+5+3+3+1+1=30\) employés. L’effectif est pair, donc la médiane est la moyenne de la 15^e et de la 16^e valeur de la série rangée dans l’ordre croissant (le tableau est déjà rangé).

Effectifs cumulés : les 11 premiers salaires valent 1 300 €, puis on atteint \(11+6=17\) avec les salaires de 1 400 €. Les 15^e et 16^e salaires sont donc tous les deux égaux à 1 400 €. Le salaire médian est de 1 400 € : au moins la moitié des employés gagnent 1 400 € ou moins, et au moins la moitié gagnent 1 400 € ou plus.

L’étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit salaire : \(3\,500-1\,300=2\,200\). L’étendue des salaires est de 2 200 €.

6. On décompose 41 895 en produit de facteurs premiers en testant les diviseurs premiers dans l’ordre croissant.

La somme des chiffres est \(4+1+8+9+5=27\), multiple de 3 (et même de 9) : \(41\,895=3\times 13\,965\), puis \(13\,965=3\times 4\,655\). Le nombre 4 655 se termine par 5, il est divisible par 5 : \(4\,655=5\times 931\). Ensuite \(931=7\times 133\) et \(133=7\times 19\). Enfin 19 est premier (il n’est divisible ni par 2, ni par 3).

\[41\,895=3^2\times 5\times 7^2\times 19\]

Les nombres premiers qui divisent 41 895 sont 3, 5, 7 et 19. Le plus grand est 19.

Exercice 2 :

1. L’instruction « aller à x: 0 y: 0 » place le lutin à l’origine avant la boucle, et c’est là que le premier rectangle commence. Le point de départ du tracé a pour coordonnées \((0\,;\,0)\).

2. Le bloc « Rectangle » est appelé une fois à chaque passage dans la boucle « répéter 5 fois ». Le script dessine donc 5 rectangles.

3. Le bloc « Rectangle » part vers la droite (orientation 90), avance de 40, tourne d’un quart de tour à droite (il part alors vers le bas), avance de 20, et ainsi de suite : il trace un rectangle « couché » de 40 pixels de long sur 20 pixels de haut, situé à droite et en dessous de son point de départ. Après chaque rectangle, le lutin (stylo relevé) se déplace de 40 vers la droite et de 20 vers le bas : il arrive exactement au coin inférieur droit du rectangle qu’il vient de tracer.

La figure attendue est donc un escalier de 5 rectangles horizontaux identiques (40 sur 20), qui descend vers la droite, chaque rectangle touchant le précédent par un seul sommet : le coin en bas à droite de l’un est le coin en haut à gauche du suivant. Les coins supérieurs gauches sont aux points \((0\,;\,0)\), \((40\,;\,-20)\), \((80\,;\,-40)\), \((120\,;\,-60)\) et \((160\,;\,-80)\).

4. a. Sur la nouvelle figure, les rectangles sont « debout » : 20 pixels de large et 40 pixels de haut. Il suffit d’échanger les deux longueurs dans le bloc « Rectangle » : « avancer de 20 » d’abord, puis « avancer de 40 ». Chaque rectangle mesure alors 20 vers la droite et 40 vers le bas ; comme le script principal décale toujours de 40 vers la droite, les rectangles ne se touchent plus, ce qui correspond bien à la figure.

définir Rectangle
stylo en position d'écriture
s'orienter à 90 degrés
répéter 2 fois
    avancer de 20
    tourner ↻ de 90 degrés
    avancer de 40
    tourner ↻ de 90 degrés
relever le stylo

(Une autre modification convient : remplacer « s’orienter à 90 » par « s’orienter à 0 », vers le haut, en gardant « avancer de 40 » puis « avancer de 20 ».)

b. Sur la figure, le premier rectangle est tracé avec le trait le plus fin (taille 1), puis chaque rectangle est un peu plus épais que le précédent. Il faut donc augmenter la taille du stylo une fois par rectangle, à l’intérieur de la boucle « répéter 5 fois », après le bloc « Rectangle » (par exemple juste après « ajouter -20 à y », à la fin de la boucle). Placée avant « Rectangle », l’instruction ferait tracer le premier rectangle déjà en taille 2.

quand le drapeau est cliqué
cacher
mettre la taille du stylo à 1
effacer tout
aller à x: 0 y: 0
répéter 5 fois
    Rectangle
    ajouter 40 à x
    ajouter -20 à y
    ajouter 1 à la taille du stylo

Exercice 3 :

Partie 1

1. Le triangle EDC est rectangle et isocèle en D : ses deux angles aigus sont égaux et leur somme vaut \(180^\circ-90^\circ=90^\circ\). Donc \(\widehat{\text{DEC}}=\widehat{\text{DCE}}=45^\circ\).

2. Le segment [EC] est un côté du carré ABCE, donc EC = 5 cm ; c’est l’hypoténuse du triangle EDC rectangle en D. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{DE}^2+\text{DC}^2=\text{EC}^2\]

Le triangle est isocèle en D, donc DE = DC, et l’égalité devient \(2\,\text{DE}^2=5^2=25\), d’où \(\text{DE}^2=12{,}5\) et \(\text{DE}=\sqrt{12{,}5}\approx 3{,}536\).

Au dixième de centimètre près, DE mesure environ 3,5 cm.

3. Le motif est formé du carré et du triangle.

Aire du carré ABCE : \(5\times 5=25\ \text{cm}^2\).

Aire du triangle EDC : il est rectangle en D, on peut prendre [DE] comme base et [DC] comme hauteur : \(\dfrac{\text{DE}\times \text{DC}}{2}=\dfrac{\text{DE}^2}{2}=\dfrac{12{,}5}{2}=6{,}25\ \text{cm}^2\). On utilise la valeur exacte \(\text{DE}^2=12{,}5\) et non l’arrondi 3,5, pour ne pas fausser le calcul.

Aire du motif : \(25+6{,}25=31{,}25\ \text{cm}^2\), soit environ 31 cm² au centimètre carré près.

Partie 2

1. Du motif 1 au motif 2 : la rotation de centre B, d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre (elle envoie A sur C, E sur F, D sur H et C sur G).

2. Du motif 1 au motif 3 : les deux motifs ont la même orientation (pointe vers le haut), on passe de l’un à l’autre par un glissement : la translation qui transforme A en K (de vecteur \(\vec{\text{AK}}\)) ; elle envoie aussi B sur J et D sur H.

3. Du motif 1 au motif 4 : le motif 4 est le motif 1 « retourné tête en bas » autour du point B : c’est la symétrie centrale de centre B (rotation de centre B et d’angle 180°), qui envoie A sur G, D sur L, E sur K et C sur M.

4. Du motif 2 au motif 3 : la symétrie axiale d’axe (GH), qui envoie C sur J, B sur K et F sur I (G et H restent en place). La rotation de centre H et d’angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre convient aussi.

Partie 3

1. Dans un agrandissement, toutes les longueurs sont multipliées par \(\dfrac{3}{2}=1{,}5\) et les angles sont conservés.

Côté du carré agrandi : \(5\times 1{,}5=7{,}5\) cm. Côtés égaux du triangle agrandi : \(\sqrt{12{,}5}\times 1{,}5\approx 5{,}3\) cm.

Construction : on trace un carré de 7,5 cm de côté ; sur l’un de ses côtés, on construit à l’extérieur un triangle rectangle isocèle en utilisant les angles de 45° aux deux extrémités de ce côté (les deux côtés du triangle mesurent alors environ 5,3 cm et se rejoignent à angle droit).

2. Quand les longueurs sont multipliées par un coefficient \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). Ici :

\[(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}=2{,}25\]

L’aire du motif initial doit être multipliée par \(\dfrac{9}{4}\), soit 2,25 (l’aire du motif agrandi vaut \(31{,}25\times 2{,}25\approx 70{,}3\ \text{cm}^2\)).

Exercice 4 :

L’album est choisi au hasard : les 365 albums ont la même chance d’être tirés. Chaque probabilité se calcule donc par \(\dfrac{\text{nombre d^{\prime}albums favorables}}{365}\). On vérifie d’abord le total : \(23+22+45+35+90+85+65=365\).

1. a. Il y a 45 albums « Lucky-Luke » : \(p=\dfrac{45}{365}=\dfrac{9\times 5}{73\times 5}\), soit \(\dfrac{9}{73}\).

b. Il y a \(35+90=125\) comics : \(p=\dfrac{125}{365}\), soit \(\dfrac{25}{73}\) après simplification par 5.

c. Il y a \(85+65=150\) mangas, donc \(365-150=215\) albums qui ne sont pas des mangas : \(p=\dfrac{215}{365}\), soit \(\dfrac{43}{73}\). (On peut aussi passer par l’événement contraire : \(1-\dfrac{150}{365}=1-\dfrac{30}{73}=\dfrac{43}{73}\).)

2. a. Chaque série étant complète à partir du numéro 1, chacune des 7 séries contient exactement un album numéro 1. Il y a donc 7 albums favorables : \(p=\dfrac{7}{365}\).

b. Une série possède un album numéro 40 seulement si elle compte au moins 40 albums. C’est le cas de « Lucky-Luke » (45), « Spider-Man » (90), « One-Pièce » (85) et « Naruto » (65) ; « Astérix » (23), « Tintin » (22) et « Batman » (35) s’arrêtent avant. Il y a 4 albums numéro 40 : \(p=\dfrac{4}{365}\).

Exercice 5 :

1. La fonction \(g : t \longmapsto 6t\) est linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine du repère. C’est la droite rouge \((d_1)\) (on vérifie : \(g(1)=6\) et le point \((1\,;\,6)\) est bien sur \((d_1)\)).

La fonction \(f : t \longmapsto 4t+3\) est affine d’ordonnée à l’origine 3 : sa droite coupe l’axe des ordonnées au point \((0\,;\,3)\). C’est la droite bleue \((d_2)\) (on vérifie : \(f(3)=15\) et \((3\,;\,15)\) est sur \((d_2)\)).

Conclusion : \((d_1)\) représente \(g\) et \((d_2)\) représente \(f\).

2. Par le calcul :

\[4t+3=6t \iff 3=6t-4t \iff 3=2t \iff t=\dfrac{3}{2}=1{,}5\]

Graphiquement, cela se confirme : les deux droites se coupent au point de coordonnées \((1{,}5\,;\,9)\), et on a bien \(f(1{,}5)=4\times 1{,}5+3=9=6\times 1{,}5=g(1{,}5)\). L’équation a une seule solution : \(t=1{,}5\).

3. Quand Claude part, Camille marche depuis 45 min, c’est-à-dire \(\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\) h. À 4 km/h, elle a parcouru :

\[d=v\times t=4\times 0{,}75=3\ \text{km}\]

Au départ de Claude, Camille a déjà parcouru 3 km.

4. Au temps \(t=0\), Camille a déjà 3 km d’avance (question 3). Pendant les \(t\) heures suivantes, elle marche à 4 km/h, donc elle parcourt encore \(4\times t=4t\) km. La distance totale parcourue par Camille depuis son propre départ est donc \(3+4t\), c’est-à-dire \(4t+3=f(t)\).

5. Claude marche à 6 km/h depuis \(t=0\) : il a parcouru \(6t=g(t)\) km. Il rattrape Camille lorsque les deux ont parcouru la même distance depuis le point de départ de la randonnée, c’est-à-dire lorsque \(g(t)=f(t)\). D’après la question 2, cela se produit pour \(t=1{,}5\) h.

Or \(1{,}5\ \text{h}=1\ \text{h}+0{,}5\times 60\ \text{min}=1\ \text{h}\ 30\ \text{min}\). Claude mettra donc 1 h 30 min pour rattraper Camille, à 9 km du départ (\(g(1{,}5)=9\)).

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