Ce QCM vérifie la maîtrise des intégrales multiples et curvilignes en L2 : théorème de Fubini, domaines élémentaires, changement de variables, coordonnées polaires et sphériques, longueur d’un arc, formes différentielles et formule de Green-Riemann. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Intégrales multiples et intégrales curvilignes du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Intégrales multiples - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Que vaut \(\iint_{[0,1]^2} xy\,dx\,dy\) ?
A\(1\)
B\(\frac{1}{4}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(\frac{1}{8}\)
Question 2
Soit \(T = \{(x, y) : 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 1\}\). Que vaut \(\iint_T x\,dx\,dy\) ?
A\(\frac{1}{3}\)
B\(\frac{1}{4}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(\frac{1}{6}\)
Question 3
Lors du passage en coordonnées polaires \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), par quoi remplace-t-on \(dx\,dy\) ?
A\(\frac{1}{r}\,dr\,d\theta\)
B\(r^2\,dr\,d\theta\)
C\(dr\,d\theta\)
D\(r\,dr\,d\theta\)
Question 4
Que vaut \(\iint_{D} (x^2 + y^2)\,dx\,dy\), où \(D\) est le disque unité fermé ?
A\(2\pi\)
B\(\pi\)
C\(\frac{2\pi}{3}\)
D\(\frac{\pi}{2}\)
Question 5
En coordonnées sphériques \((r, \theta, \varphi)\), avec \(\varphi \in [0, \pi]\) la colatitude, quel est l’élément de volume ?
A\(r^2\,dr\,d\theta\,d\varphi\)
B\(r^2\sin\varphi\,dr\,d\theta\,d\varphi\)
C\(r^2\cos\varphi\,dr\,d\theta\,d\varphi\)
D\(r\sin\varphi\,dr\,d\theta\,d\varphi\)
Question 6
Quelle est la longueur de l’arc d’hélice \(t \mapsto (\cos t, \sin t, t)\) pour \(t \in [0, 2\pi]\) ?
A\(4\pi\)
B\(2\pi\sqrt 2\)
C\(2\pi\)
D\(\pi\sqrt 2\)
Question 7
Que vaut \(\oint_{C} y\,dx - x\,dy\), où \(C\) est le cercle unité parcouru dans le sens direct ?
A\(-2\pi\)
B\(-\pi\)
C\(2\pi\)
D\(0\)
Question 8
Par la formule de Green-Riemann, que vaut \(\oint_{\partial D} x\,dy\) si \(\partial D\) est le bord, orienté dans le sens direct, d’un domaine \(D\) régulier du plan ?
ALe double de l’aire de \(D\)
B\(0\)
CL’aire de \(D\)
DL’opposé de l’aire de \(D\)
Question 9
On a \(\int_0^1 \left(\int_0^1 \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\,dy\right) dx = \frac{\pi}{4}\), alors que l’autre ordre d’intégration donne \(-\frac{\pi}{4}\). Qu’en conclure ?
AL’intégrale double vaut \(0\), moyenne des deux résultats.
BIl y a une erreur de calcul : Fubini assure l’égalité pour toute fonction continue sur \(]0, 1]^2\).
CFubini ne s’applique jamais sur un carré qui contient l’origine.
DLa fonction n’est pas intégrable sur \([0, 1]^2\) : Fubini ne s’applique pas.
Question 10
On pose \(u = x + y\) et \(v = x - y\). Par quoi remplace-t-on \(dx\,dy\) dans une intégrale double ?
A\(du\,dv\)
B\(2\,du\,dv\)
C\(\frac{1}{2}\,du\,dv\)
D\(-2\,du\,dv\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de intégrales multiples en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le théorème de Fubini sur un rectangle et sur un domaine élémentaire ;
le changement de variables et la valeur absolue du jacobien ;
les coordonnées polaires, cylindriques et sphériques ;
les aires et volumes par intégrales doubles et triples ;
la longueur d’un arc et l’intégrale curviligne d’une forme différentielle ;
la formule de Green-Riemann et le calcul d’aires par une intégrale curviligne.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : oublier le jacobien dans un changement de variables. En polaires, \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\) ; sans le facteur \(r\), l’aire du disque unité vaudrait \(2\pi\) au lieu de \(\pi\).
Comment réviser avant de refaire le test
Dessinez toujours le domaine et écrivez-le sous la forme \(\{a \leq\, x \leq\, b,\ \varphi_1(x) \leq\, y \leq\, \varphi_2(x)\}\) avant d’appliquer Fubini ; si les bornes deviennent compliquées, essayez l’autre ordre d’intégration ou un changement de variables adapté à la symétrie. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pour une fonction continue sur un domaine borné élémentaire, toujours. Pour des fonctions non bornées ou des domaines non bornés, il faut l’intégrabilité absolue ; sans elle, les deux ordres peuvent donner des résultats différents.
Comment orienter le bord dans la formule de Green-Riemann ?
Dans le sens direct (trigonométrique) : le domaine doit rester à gauche quand on parcourt le bord. Changer l’orientation change le signe de l’intégrale curviligne.
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