Topologie de R^n : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des normes et de la topologie de \(\mathbb{R}^n\) en L2 : normes usuelles, boules, suites, équivalence des normes, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, frontière et compacts. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Normes et topologie de R^n du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Topologie de R^n - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Pour \(x = (3, -4) \in \mathbb{R}^2\), que valent \(\|x\|_1\), \(\|x\|_2\) et \(\|x\|_{\infty}\) ?

A \(7\), \(25\) et \(4\)

B \(7\), \(5\) et \(4\)

C \(-1\), \(5\) et \(3\)

D \(7\), \(5\) et \(3\)

Question 2

Quelle est la plus petite constante \(C\) telle que \(\|x\|_1 \leqslant C\,\|x\|_2\) pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\) ?

A \(\frac{n}{2}\)

B \(1\)

C \(\sqrt{n}\)

D \(n\)

Question 3

Laquelle de ces applications n’est pas une norme sur \(\mathbb{R}^2\) ?

A \((x, y) \mapsto |x| + 2|y|\)

B \((x, y) \mapsto \max(|x|, |x + y|)\)

C \((x, y) \mapsto |x|\)

D \((x, y) \mapsto \sqrt{x^2 + 4y^2}\)

Question 4

Laquelle de ces parties de \(\mathbb{R}^2\) est fermée ?

A \(\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}\)

B \(\{(x, y) : xy = 1\}\)

C \(\{(x, y) : 0 < x \leqslant 1\}\)

D \(\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1\}\)

Question 5

Quels sont l’intérieur et l’adhérence de \(\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}^2\) ?

A Intérieur \(\emptyset\), adhérence \(\mathbb{R}^2\)

B Intérieur \(\mathbb{Q}^2\), adhérence \(\mathbb{Q}^2\)

C Intérieur \(\mathbb{Q}^2\), adhérence \(\mathbb{R}^2\)

D Intérieur \(\emptyset\), adhérence \(\mathbb{Q}^2\)

Question 6

Laquelle de ces parties de \(\mathbb{R}^2\) est compacte ?

A \(\{(x, y) : x^2 + y^2 \leqslant 1,\ y \geqslant 0\}\)

B \(\{(x, y) : x^2 + y^2 \leqslant 1,\ y > 0\}\)

C \(\{(x, y) : xy = 1\}\)

D \(\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1\}\)

Question 7

Quelle est la caractérisation séquentielle d’une partie fermée \(F\) de \(\mathbb{R}^n\) ?

A Toute suite convergente de \(\mathbb{R}^n\) a sa limite dans \(F\).

B Toute suite d’éléments de \(F\) admet une sous-suite convergente.

C Toute suite d’éléments de \(F\) converge dans \(F\).

D Toute suite d’éléments de \(F\) qui converge a sa limite dans \(F\).

Question 8

Quelle affirmation sur les normes est correcte ?

A Sur tout espace vectoriel normé, deux normes sont équivalentes.

B Sur \(\mathbb{R}^n\), deux normes quelconques sont équivalentes.

C Sur \(\mathbb{R}^n\), seules les normes \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\) et \(\|\cdot\|_{\infty}\) sont équivalentes entre elles.

D Sur \(\mathbb{R}^n\), deux normes quelconques sont proportionnelles.

Question 9

Dans \(\mathbb{R}^n\) muni d’une norme, quelle est la frontière de la boule ouverte \(B(a, r)\) avec \(r > 0\) ?

A La boule fermée \(B_f(a, r)\)

B Le singleton \(\{a\}\)

C La sphère \(S(a, r)\)

D La partie \(\emptyset\)

Question 10

Que vaut la réunion \(\bigcup_{n \geqslant 1} \left[\frac{1}{n}, 1\right]\) dans \(\mathbb{R}\), et qu’illustre-t-elle ?

A \([0, 1]\) : une réunion de fermés est toujours fermée.

B \(]0, 1[\) : une réunion infinie de fermés est ouverte.

C \(]0, 1]\) : une réunion infinie de fermés est toujours ouverte.

D \(]0, 1]\) : une réunion infinie de fermés n’est pas toujours fermée.

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de topologie de R^n en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les axiomes d’une norme et les normes \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\), \(\|\cdot\|_{\infty}\) ;
l’équivalence des normes en dimension finie et les constantes optimales ;
les ouverts et fermés, images réciproques par une fonction continue ;
l’intérieur, l’adhérence et la frontière d’une partie ;
la caractérisation séquentielle des fermés et les compacts de \(\mathbb{R}^n\).

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire qu’une partie qui n’est pas ouverte est fermée. \(]0, 1]\) n’est ni ouverte ni fermée dans \(\mathbb{R}\), tandis que \(\emptyset\) et \(\mathbb{R}^n\) sont à la fois ouverts et fermés.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour montrer qu’une partie définie par des inégalités est ouverte ou fermée, écrivez-la comme image réciproque d’un intervalle ouvert ou fermé par une fonction continue : inégalités strictes pour un ouvert, larges ou égalités pour un fermé. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Normes et topologie de R^n, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Arithmétique et Z/nZ, Groupes, Fonctions de plusieurs variables, Différentielle et extrema. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi l’équivalence des normes est-elle si utile ?

En dimension finie, elle rend les notions de suite convergente, de partie bornée, d’ouvert, de fermé et de compact indépendantes de la norme choisie ; on peut donc toujours travailler avec la plus commode.

Une partie fermée et bornée est-elle compacte dans tout espace vectoriel normé ?

Non : c’est vrai en dimension finie (Bolzano-Weierstrass), mais faux en dimension infinie, où la boule unité fermée n’est jamais compacte.