Hyperplans et sous-espaces affines : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM de maths sup porte sur les formes linéaires, les hyperplans et les sous-espaces affines, jusqu’à la lecture unifiée des équations linéaires \(u(x) = a\). Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Formes linéaires, hyperplans et sous-espaces affines du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Hyperplans et sous-espaces affines - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Laquelle des propriétés caractérise un hyperplan \(H\) d’un espace vectoriel \(E\) ?

A \(H\) est le noyau d’une forme linéaire quelconque

B \(H\) est un sous-espace distinct de \(E\)

C \(H\) est l’image d’une forme linéaire non nulle

D \(H\) admet une droite pour supplémentaire

Question 2

Deux formes linéaires non nulles \(\varphi\) et \(\psi\) sur \(E\) ont le même noyau si et seulement si :

A \(\psi = \varphi\)

B \(\psi = \varphi + c\) pour une constante \(c\)

C il existe \(x \neq 0\) tel que \(\varphi(x) = \psi(x)\)

D il existe \(\lambda \neq 0\) tel que \(\psi = \lambda \varphi\)

Question 3

Quelle est une équation du plan \(\mathrm{Vect}\left((1,0,1), (0,1,1)\right)\) de \(\mathbb{R}^3\) ?

A \(x + y - z = 0\)

B \(x + y - z = 1\)

C \(x - y + z = 0\)

D \(x + y + z = 0\)

Question 4

Dans \(\mathbb{R}^7\), que peut-on dire de la dimension d’une intersection de \(3\) hyperplans ?

A elle est exactement égale à \(3\)

B elle est exactement égale à \(4\)

C elle est au moins égale à \(4\)

D elle est au plus égale à \(4\)

Question 5

Soit \(u \in \mathcal{L}(E, F)\) et \(a \in F\). Que peut-on dire de l’ensemble des solutions de \(u(x) = a\) ?

A c’est toujours un sous-espace affine de direction \(\ker u\)

B il est vide ou c’est un sous-espace affine de direction \(\operatorname{Im} u\)

C c’est toujours un sous-espace vectoriel de \(E\)

D il est vide ou c’est un sous-espace affine de direction \(\ker u\)

Question 6

Quel est l’ensemble des solutions réelles sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \(y' + y = 1\) ?

A \(\{x \mapsto \lambda e^{-x},\ \lambda \in \mathbb{R}\}\)

B \(\{x \mapsto \lambda + e^{-x},\ \lambda \in \mathbb{R}\}\)

C \(\{x \mapsto 1 + \lambda e^{-x},\ \lambda \in \mathbb{R}\}\)

D \(\{x \mapsto 1 + \lambda e^{x},\ \lambda \in \mathbb{R}\}\)

Question 7

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère deux droites affines de directions distinctes. Laquelle des affirmations est vraie ?

A elles sont toujours contenues dans un même plan

B elles peuvent n’avoir aucun point commun

C elles se coupent toujours en un unique point

D leur intersection est toujours un sous-espace vectoriel

Question 8

Quelle est l’intersection des plans d’équations \(x + y + z = 1\) et \(x - y = 0\) dans \(\mathbb{R}^3\) ?

A \((0,0,1) + \mathbb{R}(1,-1,0)\)

B \(\mathbb{R}(1,1,-2)\)

C \((0,0,1) + \mathbb{R}(1,1,-2)\)

D \((1,1,-1) + \mathbb{R}(1,1,2)\)

Question 9

Dans la base \(e_1 = (1,1)\), \(e_2 = (1,-1)\) de \(\mathbb{R}^2\), quelle est la première forme coordonnée \(e_1^*\) ?

A \((x,y) \mapsto \frac{x-y}{2}\)

B \((x,y) \mapsto \frac{x+y}{2}\)

C \((x,y) \mapsto x + y\)

D \((x,y) \mapsto x\)

Question 10

Un sous-espace affine \(\mathcal{F} = A + F\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel si et seulement si :

A \(0 \in \mathcal{F}\)

B \(A \notin F\)

C \(A = 0\)

D \(F = E\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de hyperplans et sous-espaces affines en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les formes coordonnées associées à une base ;
l’hyperplan comme noyau d’une forme linéaire non nulle, ou comme supplémentaire d’une droite ;
l’unicité de l’équation d’un hyperplan à un facteur non nul près ;
la dimension d’une intersection d’hyperplans ;
la structure de l’ensemble des solutions de \(u(x) = a\) : vide ou sous-espace affine dirigé par \(\ker u\).

L’erreur la plus fréquente

L’ensemble des solutions de \(u(x) = a\) peut être vide : il ne s’écrit \(x_0 + \ker u\) qu’après avoir trouvé une solution particulière \(x_0\), ce qui suppose \(a \in \operatorname{Im} u\).

Comment réviser avant de refaire le test

Face à une équation différentielle linéaire, une récurrence ou un système, identifiez d’abord l’application linéaire \(u\) : le principe de superposition découle alors de la structure affine. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Dimension finie, Applications linéaires, Matrices et applications linéaires, Groupe symétrique et déterminants. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Un hyperplan est-il toujours de dimension \(n – 1\) ?

En dimension finie \(n\), oui. Mais la définition par le noyau d’une forme linéaire non nulle vaut aussi en dimension infinie, où la dimension n’a plus de sens.

Un sous-espace affine peut-il être vide ?

Non, par définition \(A + F\) contient \(A\). En revanche une intersection de sous-espaces affines peut être vide, comme deux droites parallèles distinctes.

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