Contrôle de maths L1 : déterminants, Cramer et Vandermonde

Exercice 1 : Question de cours : déterminant et inversibilité (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(n \geq\, 1\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), avec \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). On admet que le déterminant est une forme \(n\)-linéaire alternée des colonnes et que \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).

1. Énoncez la caractérisation des matrices inversibles à l’aide du déterminant. (0,5 point)
2. Démontrez que, si \(A\) est inversible, alors \(\det A \neq 0\), et exprimez \(\det(A^{-1})\) en fonction de \(\det A\). (1 point)
3. Démontrez que, si \(A\) n’est pas inversible, alors \(\det A = 0\). (1,5 point)

Exercice 2 : Signature d’une permutation (3 points)

On considère la permutation \(\sigma\) de \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) définie par \[\sigma = \begin{pmatrix} 1 2 3 4 5 6 \\ 4 6 1 3 2 5 \end{pmatrix}.\]

1. Décomposez \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints. (1 point)
2. Écrivez \(\sigma\) comme un produit de transpositions, en justifiant l’écriture de chaque cycle. (1 point)
3. Déduisez-en la signature \(\varepsilon(\sigma)\), puis contrôlez-la en comptant le nombre d’inversions de \(\sigma\). (1 point)

Exercice 3 : Calculs de déterminants (4 points)

1. Calculez \(D_1 = \begin{vmatrix} 2 1 3 \\ 1 -1 2 \\ 3 2 1 \end{vmatrix}\). (1 point)
2. Pour \(m \in \mathbb{R}\), on pose \(M(m) = \begin{pmatrix} m 1 1 \\ 1 m 1 \\ 1 1 m \end{pmatrix}\). Montrez, par des opérations élémentaires, que \(\det M(m) = (m + 2)(m – 1)^2\). Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice \(M(m)\) est-elle inversible ? (1,5 point)
3. Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(\det A = 3\). Calculez \(\det(2A)\), \(\det(A^{-1})\) et \(\det(A^{\top} A^2)\). (1,5 point)

Exercice 4 : Système de Cramer et comatrice (4 points)

On considère le système \[(S) : \begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ y + z = 5 \\ x + 2z = 7 \end{cases}\] et on note \(A = \begin{pmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 1 \\ 1 0 2 \end{pmatrix}\) sa matrice.

1. Calculez \(\det A\) et justifiez que \((S)\) est un système de Cramer. (0,5 point)
2. Résolvez \((S)\) à l’aide des formules de Cramer. (1,5 point)
3. Calculez la comatrice de \(A\), puis \(A^{-1}\). (1,5 point)
4. Retrouvez la solution de \((S)\) en calculant \(A^{-1} B\), avec \(B = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}\). (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : déterminant tridiagonal et Vandermonde (6 points)

Partie A. Pour \(n \geq\, 1\), on note \(\Delta_n\) le déterminant de taille \(n\) \[\Delta_n = \begin{vmatrix} 5 2 0 \cdots 0 \\ 2 5 2 \ddots \vdots \\ 0 2 5 \ddots 0 \\ \vdots \ddots \ddots \ddots 2 \\ 0 \cdots 0 2 5 \end{vmatrix},\] dont les coefficients diagonaux valent \(5\), ceux situés juste au-dessus et juste au-dessous de la diagonale valent \(2\), et tous les autres sont nuls.

1. En développant selon la première ligne, montrez que \(\Delta_n = 5\,\Delta_{n-1} – 4\,\Delta_{n-2}\) pour tout \(n \geq\, 3\). (1,5 point)
2. Calculez \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\), puis déterminez \(\Delta_n\) en fonction de \(n\). (1,5 point)

Partie B. Pour des réels \(a\), \(b\), \(c\), on pose \(V(a, b, c) = \begin{vmatrix} 1 a a^2 \\ 1 b b^2 \\ 1 c c^2 \end{vmatrix}\).

3. Montrez que \(V(a, b, c) = (b – a)(c – a)(c – b)\). (1,5 point)
4. On cherche un polynôme \(P = u + vX + wX^2\) tel que \(P(1) = 2\), \(P(2) = 3\) et \(P(3) = 6\). Montrez, à l’aide de c), que le problème admet une unique solution, puis déterminez \(P\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : déterminants, Cramer et Vandermonde

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Déterminants » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés déterminants.

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