Tous les cours de maths en 3ème pour les élèves de troisième.

Sections planes de solides : cours de maths en 3ème.

Un cours de maths en 3ème sur les volumes de solides et les sections de solides dans l’espace. Nous aborderons dans cette leçon différents rappels sur les aires de figures (rectangle, parallélogramme, trapèze) puis les formules de calculs du volume d’une pyramide, d’un cylindre de révolution ou encore, d’une boule. Puis, dans un second temps, … Lire la suite

Arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème.

Arithmétique et les nombres premiers dans un cours de maths en 3ème au cycle 4. Nous aborderons les notions de multiple et diviseur, les critères de divisibilités. Nous étudierons, également, les nombres premiers et le crible d’Erastostène puis la décomposition en facteurs premiers d’un nombre entier positif ainsi que les fractions irréductibles dans cette leçon en troisième.

I. La division euclidienne

1.Division euclidienne

Propriété :

On considère et b deux nombres entiers positifs avec b non nul.

Effectuer la division euclidienne de par , c’est trouver le couple unique d’entiers positifs q et r

vérifiant :

$a=b\times \,q+r$ avec r<b .

Exemple :

Prenons a=187 et b=13.

On pose la division euclidienne pour obtenir q et r.

donc $187=13\times \,14+5$ avec 5<13.

2. Multiples et diviseurs

Définition :

On considère a et b deux entiers positifs avec b non nul.
Si r=0 alors l’égalité précédente devient $a=b\times \,q$ .
On dit alors que

est un multiple de

et que

est un diviseur de

ou encore que

divise

Exemple:

Prenons a=135 et b=15.

On a $135=15\times \,9+0=15\times \,9$ .

Donc 135 est un multiple de 15 et 15 est un diviseur de 135.

De même 135 est un multiple de 9 et 9 est un diviseur de 135.

Remarques :

Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs mais un nombre infini de multiples;
Un nombre entier supérieur à 1 admet toujours au moins deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

3. Critères de divisibilité

Propriété :

Un nombre entier est divisible par 2 si le chiffre de ses unités est 0,2,4,6 ou 8.Dans ce cas, on dit qu’il est pair;
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3;
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre constitué de ses deux derniers chiffres (dizaine et unité) est divisible par 4;
Un nombre entier est divisible par 5 si le chiffre de ses unités est 0 ou 5;
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple :

915 n’est pas divisible par 2 car il ne se termine pas par 0,2,4,6 ou 8.
915 est divisible par 3 car 9+1+5=15 et 15 est un multiple de 3. 915 n’est pas divisible par 4 car 15 n’est pas divisible par 4.D’ailleurs comme il n’est pas divisible par 2, il ne peut pas être divisible par 4.
915 est divisible par 5 car il se termine par 5.
915 n’est pas divisible par 9 car 9+1+5=15 et 15 n’est pas un multiple de 9.

II. Les nombres premiers

1.Définition

Définition :

Un nombre est dit premier, s’il admet exactement 2 diviseurs distincts (lui-même et l’unité). 1 n’est donc pas premier.

2. Le crible d’Eratosthène

n désigne sous le nom de crible d’Eratosthène (vers 276 av.J.-C – vers 194 av.J.-C), une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu’un entier naturel n donné.
Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu’à n.

On élimine 1.
Puis on fait de même avec 3.
On choisit alors le plus petit nombre non souligné et non éliminé ici 5, et on élimine tous ses multiples.
On réitère le procédé jusqu’à la partie entière de la racine de n.

Les nombres non éliminés sont les nombres premiers jusqu’à n.

Exemple :

Les nombres premiers inférieurs à 100 sont donc 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

3. Décomposition en facteurs premiers

Propriété :

Tout nombre entier supérieur à 1 peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.Quand on écrit la décomposition sous la forme $n=p_1^{a1}\times \,p_2^{a_2}\times \,...\times \,p_k^{a_k}$

avec des nombres premiers.

Cette écriture est unique et est appelée décomposition en facteurs premiers de l’entier .

Exemple :

On veut décomposer l’entier 3 626 en produit de facteurs premiers.

2 est un diviseur de 3 626 donc 3 626 = 2×1 813.On essaie maintenant de décomposer 1 813.

7 est un diviseur de 1 813 donc 3 626=2x7x259.On essaie maintenant de décomposer 259.

7 est un diviseur de 259 donc 3 626=2x7x7x37.On essaie maintenant de décomposer 37.

37 est un nombre premier donc la décomposition en facteurs premiers de 3 626 est $3626=2\times \,7^2\times \,37$ .

4. Fractions irréductibles

Définition :

Une fraction est dite irréductible quand ce n’est plus possible de la simplifier donc lorsque le seul diviseur en commun du numérateur et du dénominateur est 1.

Exemple :

$\frac{14}{21}$ n’est pas une fraction irréductible car $\frac{14}{21}=\frac{14:7}{21:7}=\frac{2}{3}$ .Par contre $\frac{2}{3}$ est une fraction irréductible.

Remarque :

Pour écrire une fraction sous la forme irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers, et on simplifie.

Quand on ne peut plus simplifier, la fraction est irréductible.

Exemple :

$\frac{168}{3626}=\frac{2^3\times \,3\times \,7\,}{2\times \,7^2\times \,37}=\frac{2\times \,2\times \,2\times \,3\times \,7}{2\times \,7\times \,7\times \,37}=\frac{2\times \,2\times \,3}{7\times \,37}=\frac{12}{259}$

où $\frac{12}{259}$ est une fraction irréductible car le seul diviseur commun à 12 et 259 est 1.

Vous avez assimilé le cours sur l’arithmétique en 3ème ?

Effectuez ce QCM sur l’arithmétique et la décomposition en facteurs premiers d’un entier afin d’évaluer vos acquis sur cette leçon de troisième.

Arithmétique et facteurs premiers

Un autre QCm sur le PGCD de deux nombres entiers.

PGCD de deux entiers

Un QCM sur le PGCD de deux entiers en troisième.

Un autre QCM à effectuer sur l’artithmétique

Arithmétique et PGCD

Un QCM sur Arithmétique et PGCD en troisième.

Fonctions affines : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF.

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Fonctions linéaires : cours de maths en 3ème.

Les fonctions linéaires dans un cours de maths en 3ème où nous verrons la notion d’image, d’antécédent, calcul numérique et graphique, tracé de la courbe d’une fonction linéaire connaissant les coordonnées d’un point appartenant à sa courbe. Dans cette leçon en troisième, nous déterminerons l’expression algébrique d’une fonction linéaire et nous verrons la notion de … Lire la suite

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Homothéties : cours de maths en 3ème.

.Les homothéties dans un cours de maths en 3ème où nous aborderons la définition d’une homothétie de rapport k, de l’image d’un point ainsi que ses différentes propriétés (conservation de l’alignement, multiplication des longueurs et des aires).

Dans cette leçon en troisième, nous construirons à la règle est au compas l’image ou encore le centre d’une homothétie de rapport k non nul.

I. L’homothétie

1.Introduction

Définition

La figure est un agrandissement de rapport 3 de la figure .
On dit que la figure est l’image de la figure par l’homothétie de centre O et de rapport 3.
La figure est une réduction de la figure de rapport $\frac{1}{3}$ .
On dit que la figure est l’image de la figure par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac{1}{3}$ .

2. image d’un point

Définition

L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k positif est le point M’ tel que :

M’ appartient à la demi-droite [OM);
${\color{DarkRed}\,OM'=k\times \,OM}$

Exemples :

Construire l’image du point M par l’homothétie de rapport k = 2,5 puis k = 0,8.

Remarque :

Dans le cas où , les images sont confondues avec les points de départs.

Dans le cas où , par exemple , on construit l’image de M

par l’homothétie de centre O et de rapport 2 puis on construit le symétrique M’ de par rapport à O.

3. Image d’un segment

Propriété :

On considère A,B et O trois points du plan et k un nombre positif.

Si les points A’ et B’ sont les images respectives des points A et B

par l’homothétie de centre O et de rapport k

alors :

$\star\,\,A'B'=k\times \,AB$

$\star\,\,(AB)//(A'B')$

Démonstration :

Par définition de l’homothétie de centre O et de rapport k, nous avons :

$OA'=k\times \,OA$ et $OB'=k\times \,OB$ donc $\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=k$

Ainsi en utilisant la réciproque du théorème de Thalès, nous en déduisons

que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

Ensuite, nous pouvons appliquer la partie directe du théorème de Thalès.

On sait que : $A\in(OA'),\,B\in\,(OB'),(AB)//(A'B')\,.$

donc nous avons les égalités suivantes :

$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=k$ ainsi ${\color{DarkRed}\,A'B'=k\times \,AB\,}$ .

4. Les propriétés des homothéties

Propriété :

L’homothétie conserve l’alignement, les milieux et la mesure des angles.

Propriété :

Dans une homothétie de rapport k positif :

les longueurs sont multipliées par k;
les aires sont multipliées par k².

Propriété :

On considère la figure F_2 qui est l’image de la figure F_1 par une homothétie de centre O et de rapport k.

Si alors est un agrandissement de par cette homothétie;
Si alors est une réduction de par cette homothétie.

Exemple :

Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image du quadrilatère ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport .

Les points A,B,K sont alignés donc leurs images respectives A’,B’,K’ sont alignées;
Le point J est le milieu de [BC] donc son image J’ est le milieu du segment [B’C’];
L’angle $\widehat{A'D'C'}$ est l’image de l’angle $\widehat{ADC}$ , ils ont donc la même mesure;
Les longueurs sont multipliées par 2,1 ainsi $B'C'=2,1\times \,BC$ ;
Les aires sont multipliées par ainsi $Aire_{A'B'C'D'}=4,41\times \,Aire_{ABCD}$ .

Probabilités : cours de maths en 3ème.

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Notion de fonction : cours de maths en 3ème.

Les généralités et la notion de fonction numérique dans un cours de maths en 3ème où nous aborderons la notion de fonction avec la définition de l’image et de l’antécédent ainsi que le tableau de valeurs et la courbe représentative d’une fonction dans cette leçon en troisième.

I. Notion de fonction : première approche.

1.Activité d’introduction :

On considère le rectangle MNOP, la longueur x, exprimée en cm, désigne un nombre compris entre 4 et 10.

1. Calculer l’aire du rectangle pour x=4.
L’aire du rectangle est $A_{MNOP}=(4-4)(10-4)=0\times \,6=0\,cm^2$ .

On met en place un procédé mathématiques qui à tout nombre x associe l’aire du rectangle MNOP.

On considère l’aire du rectangle MNOP que l’on note f(x) .

2. Exprimer f(x) à l’aide de la variable x.

$f(x)=Aire_{MNOP}=Longueur\times \,largeur=(10-x)(x-4)$

${\color{DarkRed}f(x)=-x^2+14x-40\,}$

3. Calculer f(5) qui est l’image de 5 par la fonction f.

$f(5)=-5^2+14\times \,5-40=-25+70-40=5\,cm^2$

4. Calculer l’image de 4 par la fonction f, c’est-à-dire f(4).

$f(4)=-4^2+14\times \,4-40=-16+56-40=0\,cm^2$

5. Interpréter ce résultat.

Lorsque la longueur x vaut 4 cm, l’aire du rectangle MNOP vaut $0\,cm^2$ .

Remarque :

le rectangle MNOP est réduit au segment [MN].

6. compléter le tableau de valeurs suivant :

x	4	5	6	7,5	8,5	9
f(x)	0	5	8	8,75	6,75	5

7. Dans le tableau précédent, on lit f(6)=8.

6 étant un antécédent de 8 par la fonction f.

a. Donner un antécédent de 6,75.

Un antécédent de 6,75 par la fonction f est x = 8,5 cm.

b. Déterminer, d’après le tableau ci-dessus, deux antécédents du nombre 5.

Deux antécédents de 5 par la fonction f sont x = 5 cm et x = 9 cm.

c. Pour quelles valeurs de x l’aire du rectangle MNOP vaut-elle 5 ?

D’après la question 3.b., l’aire du rectangle MNOP vaut 5 cm² lorsque x vaut 5 cm ou x vaut 9 cm.

II .Vocabulaire et notations sur la notion de fonction :

1. Définition d’une fonction :

Définition :

Une fonction f est un processus mathématiques qui à tout nombre x associe un unique nombre, noté f(x).
Le nombre f(x) est appelé l’image du nombre x par la fonction f.
Le nombre x est appelé l’antécédent du nombre f(x) par la fonction f.

2. Notations d’une fonction numérique :

Définition :

Il existe deux façons de noter une fonction :

– Soit f la fonction définie par f(x)= 3x+7 .

– ou $f:x\,\mapsto \,3x+7$ se lit la fonction f qui à tout nombre x associe le nombre 3x+7.

Exemple :

Considérons le programme de calcul suivant :

– choisir un nombre x

– Multiplier le résultat par 2

– Ajouter 5

Soit la fonction f qui au nombre x choisi au départ associe le nombre f(x) obtenu à la fin du programme de calcul.

Nous obtenons la fonction f définie par f(x)= 2x+5 .

Calculons l’image de – 3 par cette fonction f :

– 3 est donc un antécédent donc une valeur de x.

Remplaçons x par – 3 dans l’expression de f pour calculer cette image.

$f(-3)=2\times \,(-3)+5=-6+5=-1$

donc l’image de – 3 par cette fonction f est – 1 et réciproquement, – 3 est un antécédent de – 1 par cette fonction f.

Calculons un antécédent de 7 par cette fonction f :

7 est donc une image, on cherche un antécédent de 7, c’est à dire que l’on cherche un nombre x tel que f(x)= 7.

Nous sommes amenés à résoudre l’équation suivante :

$f(x)=7\\2x+5=7\\2x+5-5=7-5\\2x=2\\\frac{2x}{2}=\frac{2}{2}\\x=1$

donc un antécédent de 7 par la fonction f est 1.

Nous pouvons le vérifier en calculant l’image de 1, on doit retrouver 7.

${\color{DarkRed}\,f(1)=2\times \,1+5=2+5=7}$

III. Courbe représentative d’une fonction :

1. Définition de la courbe d’une fonction :

Définition :

Soit f une fonction telle que $f:x\,\mapsto \,f(x)$ .

Soit a un nombre relatif et f(a) son image par la fonction f.

Dans un repère orthonormé, on considère les points M de coordonnées M (a;f(a)) .

L’ensemble C_f de ces points constitue la représentation graphique ( ou courbe représentative) de la fonction f dans ce repère.

Exemple :

Reprenons l’activité du début du cours et la fonction f qui a la longueur x associe l’aire du rectangle MNOP.

Nous avions obtenu l’expression de la fonction f qui est ${\color{DarkRed}f(x)=-x^2+14x-40\,}$ .

2. Tableau de valeurs :

A l’aide d’un tableur, complétons le tableau de valeurs suivant afin de tracer la courbe représentative de cette fonction f.

Voici ce que donne la courbe de la fonction f :

A l’aide du logiciel de géométrie dynamique GEOGEBRA, nous pouvons créer le rectangle MNOP et faire varier la valeur de x entre 4 et 10 et faire afficher dans une seconde fenêtre la courbe de la fonction f, voilà ce que cela donne :

3. Déterminer graphiquement une image ou un antécédent

a. Déterminer une image à l’aide de la courbe de la fonction f

Déterminer l’image de 6 par la fonction f.

L’image de 6 par la fonction f est 8 ce qui équivaut à écrire f(6)=8.

En pratique, cela signifie que lorsque x vaut 6 cm alors l’aire du rectangle MNOP est de 8 cm².

b. Déterminer un antécédent à l’aide de la courbe de la fonction f

Déterminer le(s) antécédent(s) de 5 par la fonction f.

Il existent deux antécédents de 5 par la fonction f qui sont 5 et 9 ce qui équivaut à écrire que f(5)=5 et que f(9)=5.

En pratique cela signifie que l’aire du rectangle vaut 5 cm² lorsque x vaut 5 cm ou lorsque x vaut 9 cm.

Les inéquations : cours de maths en 3ème en PDF.

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1.Activité d’introduction :

II .Vocabulaire et notations sur la notion de fonction :

1. Définition d’une fonction :

2. Notations d’une fonction numérique :

III. Courbe représentative d’une fonction :

1. Définition de la courbe d’une fonction :

2. Tableau de valeurs :

3. Déterminer graphiquement une image ou un antécédent

a. Déterminer une image à l’aide de la courbe de la fonction f

b. Déterminer un antécédent à l’aide de la courbe de la fonction f