Corrigé du contrôle de maths sup : suites récurrentes et points fixes

Exercice 1 : Points fixes et monotonie (3 points)

1. Comme \(u_0 \in I\) et \(f(I) \subset I\), une récurrence immédiate montre que \(u_n \in I\) pour tout \(n\). L’intervalle \(I\) est fermé : ses bornes finies sont atteintes, et le passage à la limite dans les inégalités larges qui les encadrent donne \(\ell \in I\).

   D’une part, \((u_{n+1})\) est extraite de \((u_n)\), donc elle converge vers \(\ell\). D’autre part, \(f\) est continue en \(\ell \in I\), donc \(f(u_n) \to f(\ell)\). Or \(u_{n+1} = f(u_n)\). Par unicité de la limite, \(f(\ell) = \ell\) : la limite est un point fixe de \(f\).

2. Cas croissant. Supposons \(u_0 \leq\, u_1\). Montrons par récurrence que \(u_n \leq\, u_{n+1}\). C’est vrai au rang \(0\). Si \(u_n \leq\, u_{n+1}\), alors, comme \(f\) est croissante, \(f(u_n) \leq\, f(u_{n+1})\), soit \(u_{n+1} \leq\, u_{n+2}\). La suite est donc croissante. Le cas \(u_0 \geq\, u_1\) donne de même une suite décroissante. Dans les deux cas, \((u_n)\) est monotone.

   Cas décroissant. La composée \(g = f \circ f\) de deux fonctions décroissantes est croissante, et \(I\) est stable par \(g\). Or \(u_{2n+2} = g(u_{2n})\) et \(u_{2n+3} = g(u_{2n+1})\). D’après le cas précédent appliqué à \(g\), les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour la stabilité et le passage à la limite, 0,5 point pour la continuité, 0,5 point pour l’unicité de la limite ; b) 1,5 point : 1 point pour la récurrence du cas croissant, 0,5 point pour le passage par f∘f.

Erreur fréquente : oublier la continuité de \(f\) en \(\ell\), sans laquelle la limite n’est pas forcément un point fixe.

Exercice 2 : Récurrences linéaires d’ordre 2 (5 points)

1. L’équation caractéristique est \(r^2 – 5r + 6 = 0\), soit \((r – 2)(r – 3) = 0\). Elle a deux racines réelles distinctes, donc il existe \(\lambda, \mu\) réels tels que \(u_n = \lambda 2^n + \mu 3^n\).

   Les conditions initiales donnent \(\lambda + \mu = 1\) et \(2\lambda + 3\mu = 4\). Ainsi \(\mu = 4 – 2 = 2\) et \(\lambda = -1\).

   Donc \(u_n = 2 \times 3^n – 2^n\). Vérification : \(u_2 = 5 \times 4 – 6 = 14\) et \(2 \times 9 – 4 = 14\).

2. L’équation caractéristique \(r^2 – 4r + 4 = (r – 2)^2 = 0\) a une racine double \(r = 2\). Donc \(v_n = (\lambda + \mu n) 2^n\).

   Ensuite \(v_0 = \lambda = 0\), puis \(v_1 = 2\mu = 1\), donc \(\mu = \dfrac{1}{2}\).

   Donc \(v_n = n \, 2^{n-1}\). Vérification : \(v_2 = 4\) et \(v_3 = 4 \times 4 – 4 \times 1 = 12 = 3 \times 2^2\).

3. L’équation caractéristique \(r^2 – 2r + 4 = 0\) a pour discriminant \(\Delta = 4 – 16 = -12 < 0\). Ses racines sont \(1 \pm i\sqrt{3} = 2e^{\pm i\pi/3}\). Les solutions réelles s’écrivent :

   \[w_n = 2^n ( A\cos\frac{n\pi}{3} + B\sin\frac{n\pi}{3} ).\]

   D’abord \(w_0 = A = 1\). Ensuite \(w_1 = 2(\dfrac{1}{2} + B\dfrac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + B\sqrt{3} = 1\), donc \(B = 0\).

   Donc \(w_n = 2^n \cos\dfrac{n\pi}{3}\). Vérification : \(w_2 = 2 – 4 = -2\) et \(4\cos\dfrac{2\pi}{3} = -2\).

   Enfin, \(w_{6k} = 2^{6k} = 64^k\) tend vers \(+\infty\). La suite \((w_n)\) n’est pas bornée.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour l’équation caractéristique, 0,5 point pour la forme générale, 0,5 point pour les constantes ; b) 1,5 point, même répartition ; c) 2 points : 0,5 point pour les racines complexes, 0,5 point pour la forme réelle, 0,5 point pour les constantes, 0,5 point pour la suite extraite non bornée.

Exercice 3 : Suite arithmético-géométrique (3 points)

1. Le point fixe vérifie \(\ell = \dfrac{2}{3}\ell + 1\), soit \(\dfrac{\ell}{3} = 1\) : \(\ell = 3\). Posons \(b_n = a_n – 3\). Alors :

   \[b_{n+1} = \frac{2}{3}a_n + 1 – 3 = \frac{2}{3}(a_n – 3) = \frac{2}{3} b_n.\]

   La suite \((b_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{3}\) et de premier terme \(b_0 = -3\). Donc \(a_n = 3 – 3(\dfrac{2}{3})^n\). Vérification : \(a_1 = 3 – 2 = 1\).

2. Comme \(0 < \dfrac{2}{3} < 1\), on a \((\dfrac{2}{3})^n \to 0\). Donc \((a_n)\) converge vers \(3\).

   Ensuite, \(|a_n – 3| = 3(\dfrac{2}{3})^n\). La condition \(|a_n – 3| \leq\, 10^{-3}\) équivaut à \((\dfrac{3}{2})^n \geq\, 3000\). Par croissance de \(\ln\), elle équivaut à \(n \ln\dfrac{3}{2} \geq\, \ln 3000\), soit :

   \[n \geq\, \frac{\ln 3000}{\ln(3/2)} \approx \frac{8{,}006}{0{,}405} \approx 19{,}8.\]

   Le plus petit entier convenable est \(n = 20\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour le point fixe, 0,5 point pour la suite géométrique auxiliaire, 0,5 point pour la formule ; b) 1,5 point : 0,5 point pour la limite, 0,5 point pour la mise en équation, 0,5 point pour le rang.

Exercice 4 : Problème – étude d’une suite récurrente et méthode de Newton (9 points)

Partie A : la suite de terme initial 0

1. La fonction \(f\) est croissante sur \([0, +\infty[\) comme composée de fonctions croissantes. Pour \(x \in [0, 2]\), on a donc \(\sqrt{2} = f(0) \leq\, f(x) \leq\, f(2) = 2\). Ainsi \(f([0, 2]) \subset [\sqrt{2}, 2] \subset [0, 2]\) : l’intervalle est stable.
2. Pour \(x \in [0, 2]\), multiplions par la quantité conjuguée, qui est strictement positive :

   \[f(x) – x = \frac{2 + x – x^2}{\sqrt{2 + x} + x} = \frac{(2 – x)(1 + x)}{\sqrt{2 + x} + x}.\]

   Le numérateur et le dénominateur sont positifs, donc \(f(x) \geq\, x\) sur \([0, 2]\). Or \(u_0 \in [0, 2]\), donc \(u_n \in [0, 2]\) pour tout \(n\) par stabilité. Par conséquent \(u_{n+1} = f(u_n) \geq\, u_n\). La suite \((u_n)\) est croissante.

3. La suite est croissante et majorée par \(2\). Par le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel \(\ell \in [0, 2]\). La fonction \(f\) est continue sur le fermé \([0, 2]\), donc, d’après l’exercice 1, \(f(\ell) = \ell\). Ainsi \(\sqrt{2 + \ell} = \ell\), d’où \(\ell^2 – \ell – 2 = 0\), soit \((\ell – 2)(\ell + 1) = 0\). Comme \(\ell \geq\, 0\), la suite converge vers \(2\).
4. On part de \(u_0 = 0\) sur l’axe des abscisses. On monte verticalement jusqu’à la courbe, au point d’ordonnée \(u_1 = \sqrt{2}\), puis on rejoint horizontalement la droite \(y = x\). On redescend alors sur l’axe au point d’abscisse \(u_1\), et ainsi de suite. On obtient un escalier qui monte vers le point \((2, 2)\).

   

   Valeurs approchées : \(u_1 \approx 1{,}414\), \(u_2 \approx 1{,}848\), \(u_3 \approx 1{,}962\).

5. Pour tout \(n\), la quantité conjuguée donne :

   \[|u_{n+1} – 2| = |\sqrt{2 + u_n} – 2| = \frac{|u_n – 2|}{\sqrt{2 + u_n} + 2} \leq\, \frac{1}{2}|u_n – 2|,\]

   car \(\sqrt{2 + u_n} + 2 \geq\, 2\). Par récurrence, \(|u_n – 2| \leq\, \dfrac{|u_0 – 2|}{2^n} = \dfrac{2}{2^n} = 2^{1-n}\).

   Il suffit donc que \(2^{n-1} \geq\, 10^6\). Or \(2^{20} = 1\,048\,576 \geq\, 10^6\). Pour tout \(n \geq\, 21\), \(u_n\) approche \(2\) à \(10^{-6}\) près.

Partie B : méthode de Newton

6. On a \(g^{\prime}(x) = 2x\), donc \(N(x) = x – \dfrac{x^2 – 3}{2x} = \dfrac{2x^2 – x^2 + 3}{2x}\). Ainsi \(N(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2x}\).
7. Pour \(x > 0\) :

   \[N(x) – \sqrt{3} = \frac{x^2 – 2\sqrt{3}\,x + 3}{2x} = \frac{(x – \sqrt{3})^2}{2x}.\]

   Montrons par récurrence que \(x_n \geq\, \sqrt{3}\). C’est vrai pour \(x_0 = 2\). Si \(x_n \geq\, \sqrt{3} > 0\), la formule donne \(x_{n+1} – \sqrt{3} \geq\, 0\). Donc \(x_n \geq\, \sqrt{3}\) pour tout \(n\), et la suite est bien définie.

8. Comme \(x_n \geq\, \sqrt{3}\), on a \(2x_n \geq\, 2\sqrt{3} \geq\, 3\), car \(12 \geq\, 9\). Donc \(e_{n+1} = \dfrac{e_n^2}{2x_n} \leq\, \dfrac{e_n^2}{3}\), ce qui s’écrit \(\dfrac{e_{n+1}}{3} \leq\, (\dfrac{e_n}{3})^2\).

   Par récurrence, \(\dfrac{e_n}{3} \leq\, (\dfrac{e_0}{3})^{2^n}\). Or \(\sqrt{3} \geq\, 1{,}7\), donc \(e_0 = 2 – \sqrt{3} \leq\, 0{,}3\) et \(\dfrac{e_0}{3} \leq\, 0{,}1\). Ainsi \(0 \leq\, e_n \leq\, 3 \times 10^{-2^n}\).

   Pour \(n = 3\), \(e_3 \leq\, 3 \times 10^{-8} < 10^{-7}\). Donc \(x_3\) approche \(\sqrt{3}\) à \(10^{-7}\) près. En effet, \(x_1 = 1{,}75\), \(x_2 \approx 1{,}732\,143\) et \(x_3 \approx 1{,}732\,051\).

   Commentaire : dans la partie A, l’erreur est divisée par \(2\) à chaque étape (convergence géométrique, il faut 21 termes). Avec Newton, le nombre de décimales exactes double à chaque étape : c’est une convergence quadratique.

Barème : 1) 1 point ; 2) 1 point : 0,5 point pour la factorisation, 0,5 point pour la monotonie ; 3) 1,5 point : 0,5 point pour la limite monotone, 0,5 point pour le point fixe, 0,5 point pour le choix de la racine ; 4) 1 point pour l’escalier correct ; 5) 1,5 point : 0,5 point par étape ; 6) 0,5 point ; 7) 1 point : 0,5 point pour l’identité, 0,5 point pour la récurrence ; 8) 1,5 point : 0,5 point pour l’inégalité, 0,5 point pour la récurrence, 0,5 point pour la conclusion et le commentaire.

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Après le corrigé du contrôle : suites récurrentes et points fixes

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