Corrigé du contrôle de maths L1 : polynômes, arithmétique et nombres complexes

Exercice 1 : Question de cours : racines n-ièmes de l’unité (3 points)

1. Soit \(z \in \mathbb{U}_n\). Alors \(|z|^n = |z^n| = 1\), et comme \(|z| \geq\, 0\), \(|z| = 1\). On écrit \(z = e^{i\theta}\) : \(z^n = e^{in\theta} = 1\) équivaut à \(n\theta \in 2\pi\mathbb{Z}\), soit \(\theta = \dfrac{2k\pi}{n}\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). En écrivant la division euclidienne \(k = nq + r\) avec \(0 \leq\, r \leq\, n – 1\), on a \(e^{2ik\pi/n} = e^{2iq\pi}\,e^{2ir\pi/n} = e^{2ir\pi/n}\).

   Réciproquement, \((e^{2ik\pi/n})^n = e^{2ik\pi} = 1\). Enfin, pour \(0 \leq\, k < l \leq\, n-1\), les arguments \(\dfrac{2k\pi}{n}\) et \(\dfrac{2l\pi}{n}\) diffèrent d’un nombre de \(]0, 2\pi[\), donc les deux nombres sont distincts. \(\mathbb{U}_n\) est formé des \(n\) nombres distincts \(e^{2ik\pi/n}\), \(0 \leq\, k \leq\, n-1\).

2. Posons \(\omega = e^{2i\pi/n}\). Pour \(n \geq\, 2\), \(\omega \neq 1\), et la somme des termes d’une suite géométrique donne
   \[\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \dfrac{1 – \omega^n}{1 – \omega} = \dfrac{1 – 1}{1 – \omega} = 0.\]

   La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle pour \(n \geq\, 2\).

Barème : a) 1,5 point (0,5 pour le module, 0,5 pour les arguments, 0,5 pour la réciproque et la distinction) ; b) 1,5 point (0,5 pour \(\omega \neq 1\), 1 pour le calcul).

Exercice 2 : Factorisation de X^6 − 1 (4 points)

1. Les racines de \(X^6 – 1\) sont les six éléments distincts de \(\mathbb{U}_6\) : \(1\), \(e^{i\pi/3}\), \(e^{2i\pi/3}\), \(-1\), \(e^{-2i\pi/3}\), \(e^{-i\pi/3}\). Le polynôme étant unitaire de degré 6 :
   \[X^6 – 1 = (X – 1)(X + 1)(X – e^{i\pi/3})(X – e^{-i\pi/3})(X – e^{2i\pi/3})(X – e^{-2i\pi/3}).\]
2. Pour \(\theta\) réel, \((X – e^{i\theta})(X – e^{-i\theta}) = X^2 – 2\cos(\theta)\,X + 1\). Avec \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) et \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\) :
   \[X^6 – 1 = (X – 1)(X + 1)(X^2 – X + 1)(X^2 + X + 1).\]

   Les deux trinômes ont pour discriminant \(-3 < 0\) : ils sont irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\), et c’est la factorisation cherchée.

   

3. On a \(X^6 – 1 = (X^2)^3 – 1 = (X^2 – 1)(X^4 + X^2 + 1)\) et \(X^2 – 1 = (X-1)(X+1)\). En comparant avec b) et en simplifiant par le polynôme non nul \(X^2 – 1\) (l’anneau \(\mathbb{R}[X]\) est intègre) :
   \[X^4 + X^2 + 1 = (X^2 – X + 1)(X^2 + X + 1).\]

   Vérification : \((X^2 + 1 – X)(X^2 + 1 + X) = (X^2 + 1)^2 – X^2 = X^4 + X^2 + 1\). La factorisation est établie.

Barème : a) 1 point ; b) 1,5 point (1 pour le regroupement, 0,5 pour l’irréductibilité) ; c) 1,5 point (1 pour la simplification justifiée, 0,5 pour la vérification).

Exercice 3 : Algorithme d’Euclide pour les polynômes et les entiers (5 points)

1. Première division : \((X – 2)\,B = X^4 + 2X^3 + 2X^2 + X – 2X^3 – 4X^2 – 4X – 2 = X^4 – 2X^2 – 3X – 2\), donc
   \[A = (X – 2)\,B + R_1, \qquad R_1 = 2X^2 + 3X + 1.\]

   Deuxième division, de \(B\) par \(R_1\) : \((\dfrac{X}{2} + \dfrac{1}{4}) R_1 = X^3 + \dfrac{3}{2}X^2 + \dfrac{1}{2}X + \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{4} = X^3 + 2X^2 + \dfrac{5}{4}X + \dfrac{1}{4}\), donc

   \[B = (\dfrac{X}{2} + \dfrac{1}{4}) R_1 + R_2, \qquad R_2 = \dfrac{3}{4}X + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}(X + 1).\]

   Troisième division : \(R_1 = (2X + 1)(X + 1) = \dfrac{4}{3}(2X + 1)\,R_2 + 0\).

   Le dernier reste non nul est \(R_2\), et le pgcd unitaire est obtenu en le normalisant. \(D = X + 1\). On le confirme par les factorisations \(A = (X-1)(X+1)(X^2+1)\) et \(B = (X+1)(X^2+X+1)\).

2. D’après a), \(A = (X+1)\,A_1\) et \(B = (X+1)\,B_1\) avec \(A_1 = (X-1)(X^2+1)\) et \(B_1 = X^2 + X + 1\), qui sont à coefficients entiers. Pour tout entier \(n\), \(A(n) = (n+1)\,A_1(n)\) et \(B(n) = (n+1)\,B_1(n)\) avec \(A_1(n), B_1(n) \in \mathbb{Z}\). Ainsi \(n + 1\) est un diviseur commun de \(A(n)\) et \(B(n)\), donc il divise leur pgcd.
3. \(9999 = 8 \times 1221 + 231\), \(1221 = 5 \times 231 + 66\), \(231 = 3 \times 66 + 33\), \(66 = 2 \times 33 + 0\). \(\operatorname{pgcd}(9999, 1221) = 33\).
4. On a \(D(10) = 11\) et \(\operatorname{pgcd}(9999, 1221) = 33 = 3 \times 11\). Conformément à b), 11 divise 33, mais l’égalité est fausse : le pgcd des valeurs peut être un multiple strict de la valeur du pgcd. Ici \(A_1(10) = 909 = 9 \times 101\) et \(B_1(10) = 111 = 3 \times 37\) ont le facteur commun 3, alors que \(A_1\) et \(B_1\) sont premiers entre eux dans \(\mathbb{R}[X]\).

Erreur fréquente : garder \(R_2 = \dfrac{3}{4}(X+1)\) comme pgcd ; le pgcd de deux polynômes est défini comme unitaire.

Barème : a) 2,5 points (0,75 par division, 0,25 pour la normalisation) ; b) 1 point ; c) 1 point ; d) 0,5 point.

Exercice 4 : Racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers (4 points)

1. De \(P(\dfrac{p}{q}) = 0\), on tire après multiplication par \(q^n\) :
   \[a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \cdots + a_1 p\,q^{n-1} + a_0 q^n = 0.\]

   Tous les termes sauf le dernier sont multiples de \(p\), donc \(p\) divise \(a_0 q^n\). Comme \(\operatorname{pgcd}(p, q) = 1\), on a aussi \(\operatorname{pgcd}(p, q^n) = 1\) (un diviseur premier commun à \(p\) et \(q^n\) diviserait \(q\)). D’après le lemme de Gauss, \(p\) divise \(a_0\).

   De même, tous les termes sauf le premier sont multiples de \(q\) : \(q\) divise \(a_n p^n\), et \(q\) est premier avec \(p^n\). Le lemme de Gauss donne \(q \mid a_n\).

2. Pour \(P_1 = 2X^3 – 3X^2 – 3X + 2\), une racine rationnelle \(\dfrac{p}{q}\) vérifie \(p \mid 2\) et \(q \mid 2\) : les candidats sont \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm \dfrac{1}{2}\). On calcule \(P_1(1) = -2\), \(P_1(-1) = -2 – 3 + 3 + 2 = 0\), \(P_1(2) = 16 – 12 – 6 + 2 = 0\), \(P_1(-2) = -16 – 12 + 6 + 2 = -20\), \(P_1(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{4} – \dfrac{3}{2} + 2 = 0\) et \(P_1(-\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}\).

   Les racines rationnelles sont \(-1\), \(2\) et \(\dfrac{1}{2}\), et comme il y en a trois pour un degré 3, on obtient \(P_1 = 2(X + 1)(X – 2)(X – \dfrac{1}{2}) = (X+1)(X-2)(2X-1)\). Contrôle : \((X^2 – X – 2)(2X – 1) = 2X^3 – 3X^2 – 3X + 2\).

3. Pour \(Q = X^3 – 3X – 1\), les seuls candidats sont \(\pm 1\). Or \(Q(1) = -3\) et \(Q(-1) = -1 + 3 – 1 = 1\). \(Q\) n’a aucune racine rationnelle.

Barème : a) 2 points (0,5 pour l’égalité multipliée par \(q^n\), 0,75 par divisibilité justifiée par Gauss) ; b) 1,5 point (0,5 pour les candidats, 0,5 pour les tests, 0,5 pour la factorisation) ; c) 0,5 point.

Exercice 5 : Problème : une équation du troisième degré et cos(π/9) (4 points)

1. Comme \(\dfrac{1}{z} = e^{-i\theta}\), on a \(x = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta\) (formule d’Euler). Par la formule du binôme,
   \[x^3 = z^3 + 3z + \dfrac{3}{z} + \dfrac{1}{z^3}, \qquad \text{donc} \qquad x^3 – 3x = z^3 + \dfrac{1}{z^3} = e^{3i\theta} + e^{-3i\theta} = 2\cos(3\theta).\]

   On a bien \(x^3 – 3x = 2\cos(3\theta)\).

2. D’après a), \(x = 2\cos\theta\) est racine de \(Q\) si et seulement si \(2\cos(3\theta) = 1\), c’est-à-dire \(\cos(3\theta) = \dfrac{1}{2}\). Or \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \cos\dfrac{5\pi}{3} = \cos\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{9}\), \(\dfrac{5\pi}{9}\) et \(\dfrac{7\pi}{9}\) conviennent.

   Ces trois angles appartiennent à \([0, \pi]\), où la fonction cosinus est strictement décroissante, donc les nombres \(2\cos\dfrac{\pi}{9}\), \(2\cos\dfrac{5\pi}{9}\), \(2\cos\dfrac{7\pi}{9}\) sont deux à deux distincts. Un polynôme de degré 3 a au plus trois racines : ce sont exactement les trois racines de \(Q\).

   

3. Si \(\cos\dfrac{\pi}{9}\) était rationnel, \(2\cos\dfrac{\pi}{9}\) serait une racine rationnelle de \(Q\), ce qui contredit l’exercice 4 c). Donc \(\cos\dfrac{\pi}{9}\) est irrationnel.
4. La somme des racines de \(Q\) est l’opposé du coefficient de \(X^2\), qui est nul. Donc \(2\cos\dfrac{\pi}{9} + 2\cos\dfrac{5\pi}{9} + 2\cos\dfrac{7\pi}{9} = 0\), et \(\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9} + \cos\dfrac{7\pi}{9} = 0\). (Contrôle approché : \(0{,}940 – 0{,}174 – 0{,}766 = 0\).)

Barème : a) 1 point ; b) 1,5 point (0,5 pour l’équation en \(\theta\), 0,5 pour les trois valeurs, 0,5 pour la distinction et le nombre de racines) ; c) 1 point ; d) 0,5 point.

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Après le corrigé du contrôle : polynômes, arithmétique et nombres complexes

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