Voici le corrigé du contrôle de maths de 5ème sur le thème : somme des angles et construction de triangles.
Cette correction détaille chaque calcul d’angle avec la phrase attendue : « la somme des angles d’un triangle est égale à 180° », puis l’opération et le résultat. Pour les triangles isocèles, elle rappelle que les deux angles à la base ont la même mesure, ce qui évite l’erreur la plus courante.
Tu trouveras aussi la démonstration complète de la propriété, les figures des deux constructions (réduites) et l’ordre des étapes au rapporteur. Le barème précise la part de la justification dans chaque question.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 5ème : somme des angles et construction de triangles.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Le troisième angle | 4 points |
| Exercice 2 : Existe-t-il ? | 3 points |
| Exercice 3 : Démontrer la propriété | 4 points |
| Exercice 4 : Construire des triangles | 5 points |
| Exercice 5 : Deux triangles accolés | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Le troisième angle (4 points)
- La somme des angles d’un triangle est égale à \(180^\circ\) :
\(\widehat{ACB} = 180^\circ – 48^\circ – 67^\circ = 65^\circ\)
\(\widehat{ACB} = 65^\circ\).
- Le triangle est rectangle en E, donc \(\widehat{DEF} = 90^\circ\). La somme des angles vaut \(180^\circ\) :
\(\widehat{DFE} = 180^\circ – 90^\circ – 29^\circ = 61^\circ\)
\(\widehat{DFE} = 61^\circ\). (Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : \(90 – 29 = 61\).)
- Le triangle GHI est isocèle en G, donc ses angles à la base \(\widehat{GHI}\) et \(\widehat{GIH}\) ont la même mesure. Leur somme vaut \(180^\circ – 40^\circ = 140^\circ\), donc chacun mesure \(140^\circ : 2 = 70^\circ\).
\(\widehat{GHI} = \widehat{GIH} = 70^\circ\). - Le triangle JKL est isocèle en J, donc \(\widehat{JLK} = \widehat{JKL} = 52^\circ\). Alors :
\(\widehat{KJL} = 180^\circ – 52^\circ – 52^\circ = 76^\circ\)
\(\widehat{KJL} = 76^\circ\).
Erreur fréquente : en d), oublier que les deux angles à la base sont égaux et soustraire \(52^\circ\) une seule fois.
Barème : pour chaque question, 0,5 point pour la propriété utilisée (somme des angles, angle droit ou angles à la base égaux) et 0,5 point pour le résultat.
Exercice 2 : Existe-t-il ? (3 points)
- Un angle obtus mesure plus de \(90^\circ\). Deux angles obtus auraient une somme supérieure à \(180^\circ\), alors que la somme des trois angles d’un triangle vaut exactement \(180^\circ\). Un triangle ne peut pas avoir deux angles obtus.
- \(35 + 65 + 90 = 190\). La somme est différente de \(180^\circ\). Ce triangle n’existe pas : Lucas ne pourra pas le construire.
- Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure. Leur somme vaut \(180^\circ\), donc chacun mesure \(180^\circ : 3 = 60^\circ\). Chaque angle mesure bien \(60^\circ\).
Barème : pour chaque question, 0,5 point pour l’argument (somme égale à 180°) et 0,5 point pour la conclusion.
Exercice 3 : Démontrer la propriété (4 points)
- Les droites \((d)\) et (BC) sont parallèles, et la droite (AB) les coupe. Les angles \(\widehat{DAB}\) et \(\widehat{ABC}\) sont alternes-internes.
Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure.
Donc \(\widehat{DAB} = \widehat{ABC}\). - Avec la sécante (AC), les angles \(\widehat{EAC}\) et \(\widehat{ACB}\) sont alternes-internes, formés par les droites parallèles \((d)\) et (BC). Donc \(\widehat{EAC} = \widehat{ACB}\).
- Les points D, A et E sont alignés, donc l’angle \(\widehat{DAE}\) est plat. Il est formé des trois angles adjacents \(\widehat{DAB}\), \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{CAE}\) :
\(\widehat{DAB} + \widehat{BAC} + \widehat{CAE} = 180^\circ\)
En remplaçant \(\widehat{DAB}\) par \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{CAE}\) par \(\widehat{ACB}\) (questions a et b) :
\(\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180^\circ\)
La somme des angles du triangle ABC est égale à \(180^\circ\). Comme ABC est quelconque, c’est vrai pour tout triangle.
Barème : a) 0,5 point pour la nature des angles, 0,5 point pour la propriété citée, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour la nature des angles, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour l’angle plat, 1 point pour les remplacements et la conclusion.
Exercice 4 : Construire des triangles (5 points)
- La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\) :
\(\widehat{RTS} = 180^\circ – 50^\circ – 70^\circ = 60^\circ\)
\(\widehat{RTS} = 60^\circ\).
- Construction : on trace le segment [RS] de 6 cm ; au rapporteur, on trace en R une demi-droite faisant un angle de \(50^\circ\) avec [RS), puis en S une demi-droite faisant un angle de \(70^\circ\) avec [SR), du même côté ; T est leur point d’intersection. On peut vérifier au rapporteur que \(\widehat{RTS}\) mesure bien \(60^\circ\). Voir la figure ci-dessous (réduite).
- Le triangle MNP est isocèle en M, donc ses angles à la base ont la même mesure : \(\widehat{MPN} = \widehat{MNP} = 35^\circ\). Puis :
\(\widehat{NMP} = 180^\circ – 35^\circ – 35^\circ = 110^\circ\)
\(\widehat{NMP} = 110^\circ\).
- Construction : on trace [NP] de 5 cm, puis en N et en P deux demi-droites faisant chacune un angle de \(35^\circ\) avec la base, du même côté ; elles se coupent en M. On vérifie que MN = MP (environ 3,1 cm). Voir la figure ci-dessous (réduite).
Barème : a) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour 60° ; b) 0,5 point pour la figure à main levée codée, 1 point pour la construction précise (tolérance 1 mm et 1°) ; c) 0,5 point pour les angles à la base égaux, 0,5 point pour 110° ; d) 1,5 point pour la construction précise.
Exercice 5 : Deux triangles accolés (4 points)
- Le triangle ABD est équilatéral, donc chacun de ses angles mesure \(60^\circ\). \(\widehat{ABD} = \widehat{ADB} = 60^\circ\).
- Les points B, D et C sont alignés, donc \(\widehat{ADB}\) et \(\widehat{ADC}\) sont supplémentaires :
\(\widehat{ADC} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\)
\(\widehat{ADC} = 120^\circ\).
- Le triangle ADC est isocèle en D, donc ses angles à la base \(\widehat{DAC}\) et \(\widehat{DCA}\) sont égaux. Leur somme vaut \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\), donc chacun mesure \(60^\circ : 2 = 30^\circ\).
\(\widehat{DAC} = \widehat{DCA} = 30^\circ\). - La demi-droite [AD) est à l’intérieur de l’angle \(\widehat{BAC}\), et \(\widehat{BAD} = 60^\circ\) (triangle équilatéral) :
\(\widehat{BAC} = \widehat{BAD} + \widehat{DAC} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\)
L’angle \(\widehat{BAC}\) est droit : le triangle ABC est rectangle en A.
Vérification : \(\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\), et \(90 + 90 = 180\).
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour l’alignement, 0,5 point pour 120° ; c) 0,5 point pour les angles à la base égaux, 1 point pour 30° ; d) 0,5 point pour la somme 60° + 30°, 0,5 point pour la conclusion.
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Après le corrigé du contrôle : somme des angles et construction de triangles
Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Les triangles et son cercle circonscrit et l’inégalité triangulaire » en 5ème et « Droites remarquables du triangle » en 5ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés triangle.
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