Corrigé du contrôle de maths 5ème : construire le symétrique par demi-tour

Exercice 1 : Définition et vocabulaire (3 points)

1. Le symétrique du point A par rapport au point O est le point A′ tel que O soit le milieu du segment [AA′].
2. Pour aller de A à O, on se déplace de 3 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le bas. Le symétrique de A s’obtient en refaisant le même déplacement à partir de O : 3 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas. On arrive sur N. Le symétrique de A par rapport à O est le point N.
   M ne convient pas : A, O et M ne sont pas alignés (M est à la même hauteur que A, c’est le symétrique de A par rapport à une droite verticale). P ne convient pas : A, O et P sont alignés, mais P est deux fois plus loin de O que A, donc O n’est pas le milieu de [AP].
3. Le symétrique de O par rapport à O est le point O lui-même. Si B′ est le symétrique de B, alors O est le milieu de [BB′], donc le symétrique de B′ par rapport à O est B.

Barème : a) 1 point (le mot « milieu » et le segment [AA′] sont exigés) ; b) 0,5 point pour N, 0,5 point pour l’élimination de M et P ; c) 0,5 point par réponse.

Exercice 2 : Constructions sur quadrillage (5 points)

Pour chaque point, on compte le déplacement pour aller du point à O, puis on refait le même déplacement à partir de O.

1. De A à O : 2 carreaux vers la droite et 3 vers le bas. On refait ce déplacement à partir de O. A′ est situé 2 carreaux à droite et 3 carreaux en dessous de O.
2. On construit les symétriques des deux extrémités. De B à O : 6 carreaux vers la droite et 1 vers le haut, donc B′ est 6 carreaux à droite et 1 carreau au-dessus de O. De C à O : 3 carreaux vers la droite et 4 vers le haut, donc C′ est 3 carreaux à droite et 4 carreaux au-dessus de O. On trace le segment [B′C′] : il est parallèle à [BC] et de même longueur.
3. On construit le symétrique de chacun des 6 sommets de F, puis on les relie dans le même ordre. F′ est la figure F « tête en bas », placée en haut à gauche du quadrillage : ses sommets sont à 4, 5 ou 6 carreaux à gauche de O et à 1, 2 ou 4 carreaux au-dessus de O.

Erreur fréquente : construire le symétrique par rapport à une droite (figure retournée comme dans un miroir) au lieu du symétrique par rapport au point O.

Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point par extrémité juste, 0,5 point pour le segment tracé ; c) 0,25 point par sommet juste (1,5 point), 1 point pour la figure F′ correctement tracée.

Exercice 3 : Demi-tour ou symétrie axiale ? (4 points)

1. Cas 1 : demi-tour (la lettre F est « tête en bas », sans effet miroir).
   Cas 2 : symétrie axiale (d’axe vertical : la lettre est retournée comme dans un miroir).
   Cas 3 : aucune des deux (la lettre a seulement glissé, elle n’est ni retournée ni tête en bas).
   Cas 4 : symétrie axiale (d’axe horizontal : la figure est retournée de haut en bas comme dans un miroir).
2. Le centre d’un demi-tour est le milieu du segment qui joint un point à son image. On relie deux sommets de la figure bleue à leurs images vertes : les segments se coupent en leur milieu, qui est le centre. Dans le cas 1, le centre est le nœud du quadrillage marqué O sur la figure : c’est le milieu du segment qui joint le coin inférieur gauche de la hampe bleue au coin supérieur droit de la hampe verte, à égale distance des deux figures.
3. Un demi-tour est une rotation d’un angle de \(180^\circ\) (un demi-tour complet de \(360^\circ\)).

Barème : a) 0,5 point par cas ; b) 0,5 point pour la méthode (milieu d’un segment joignant un point à son image), 0,5 point pour le centre bien placé ; c) 1 point.

Exercice 4 : Centres de symétrie (3,5 points)

1. Une lettre a un centre de symétrie si elle se superpose à elle-même après un demi-tour autour de ce point. Les lettres H, N, S, Z et X ont un centre de symétrie (le centre de la lettre). Les lettres A, E, M et T n’en ont pas : après un demi-tour, elles sont « à l’envers ».
2. Le carré, le rectangle et le losange ont un centre de symétrie : le point d’intersection de leurs diagonales. Le cercle a pour centre de symétrie son centre. Le triangle équilatéral et le trapèze isocèle n’ont pas de centre de symétrie (ils ont seulement des axes de symétrie).

Barème : a) 0,4 point par lettre juste parmi H, N, S, Z et X, 0,4 point retiré par lettre fausse ajoutée (note minimale 0) ; b) 0,25 point par figure bien classée (1,5 point), les positions des centres étant exigées.

Exercice 5 : Le programme de construction de Samir (4,5 points)

1. Un programme de construction possible :
   
   1. Trace un segment [AC] de longueur 6 cm.
   
   2. Trace un arc de cercle de centre A et de rayon 5 cm, puis un arc de cercle de centre C et de rayon 4 cm : B est un point d’intersection de ces deux arcs. Trace le triangle ABC.
   
   3. Place le point O, milieu du segment [AC], à 3 cm de A.
   
   4. Trace la demi-droite [BO). Avec le compas, reporte la longueur OB sur cette demi-droite, de l’autre côté de O : tu obtiens le point D tel que O soit le milieu de [BD]. D est le symétrique de B par rapport à O.
2. O est le milieu du segment [AC]. Par définition de la symétrie centrale, le symétrique de A par rapport à O est le point C.
3. Le symétrique de A est C et le symétrique de B est D. Le symétrique d’un segment est le segment qui joint les symétriques de ses extrémités, donc le symétrique de [AB] est le segment [CD]. La symétrie centrale conserve les longueurs, donc CD = AB = 5 cm.
4. A a pour symétrique C, B a pour symétrique D, et C a pour symétrique A. Le symétrique du triangle ABC est le triangle CDA.

Barème : a) 0,5 point par étape correcte et précise (longueurs, instruments) ; b) 0,5 point pour C, 0,5 point pour la justification par le milieu ; c) 0,5 point pour [CD], 0,5 point pour 5 cm ; d) 0,5 point.

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Après le corrigé du contrôle : construire le symétrique par demi-tour

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