Voici le corrigé du contrôle de maths de 4ème sur le thème : calculer avec des puissances.
Voici la correction rédigée de l’évaluation sur les puissances. Chaque résultat est justifié en revenant à la définition : une puissance est un produit de facteurs égaux, et c’est ce produit qu’on écrit avant de calculer ou de regrouper.
Tu y trouveras la règle du signe selon que l’exposant est pair ou impair, l’explication de la différence entre \((-3)^2\) et \(-3^2\), et le détail des priorités opératoires : les puissances se calculent avant les multiplications. Le problème du message est corrigé pas à pas, et le barème suit chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 4ème : calculer avec des puissances.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Écrire et calculer des puissances | 3 points |
| Exercice 2 : Puissances de nombres relatifs | 5 points |
| Exercice 3 : Une seule puissance | 4 points |
| Exercice 4 : Priorités opératoires | 4 points |
| Exercice 5 : Le message en chaîne | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Écrire et calculer des puissances (3 points)
- \(7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^4\) ; \((-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^3\) ; \(0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5^2\).
- \(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =\) \(32\)
\(5^3 = 5 \times 5 \times 5 =\) \(125\)
\(0{,}1^4 = 0{,}1 \times 0{,}1 \times 0{,}1 \times 0{,}1 =\) \(0{,}0001\)
Barème : a) 0,5 point par puissance (en b, les parenthèses autour de \(-2\) sont exigées) ; b) 0,5 point par puissance : 0,25 point pour le produit, 0,25 point pour le résultat.
Exercice 2 : Puissances de nombres relatifs (5 points)
- \((-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)\) : cinq facteurs négatifs, le produit est négatif. \((-2)^5 = -32\)
\((-3)^2 = (-3) \times (-3)\). \((-3)^2 = 9\)
\(-3^2 = -(3 \times 3)\) : l’exposant ne porte que sur 3. \(-3^2 = -9\)
\((-1)^{17}\) : 17 facteurs égaux à \(-1\), nombre impair de facteurs négatifs. \((-1)^{17} = -1\)
\((-1)^{20}\) : 20 facteurs égaux à \(-1\), nombre pair de facteurs négatifs. \((-1)^{20} = 1\)
\((-2)^4 = 16\), donc \(-(-2)^4 = -16\)
\((-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5)\). \((-5)^3 = -125\)
\((-10)^4 = (-10) \times (-10) \times (-10) \times (-10)\). \((-10)^4 = 10\,000\) - Un produit de facteurs négatifs est positif si le nombre de facteurs est pair, négatif s’il est impair.
11 est impair : \((-7)^{11}\) est négatif.
8 est pair : \((-4)^{8}\) est positif.
Barème : a) 0,5 point par calcul ; b) 1 point : 0,5 point par signe justifié.
Erreur fréquente : confondre \(-3^2\) et \((-3)^2\). Sans parenthèses, le carré s’applique seulement à 3, et le signe moins reste devant : \(-3^2 = -9\).
Exercice 3 : Une seule puissance (4 points)
- \(3^2 \times 3^4 = (3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3 \times 3)\) : il y a \(2 + 4 = 6\) facteurs égaux à 3. \(3^2 \times 3^4 = 3^6\)
- \(\dfrac{5^7}{5^3} = \dfrac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5 \times 5}\). On simplifie par les trois facteurs 5 du dénominateur : il reste \(7 – 3 = 4\) facteurs. \(\dfrac{5^7}{5^3} = 5^4\)
- \((2^3)^2 = 2^3 \times 2^3 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2)\) : il y a \(3 \times 2 = 6\) facteurs égaux à 2. \((2^3)^2 = 2^6\)
- \(2^4 \times 5^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5\). On regroupe les facteurs par paires : \((2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 10 \times 10 \times 10 \times 10\). \(2^4 \times 5^4 = 10^4\)
Barème : 1 point par expression : 0,5 point pour l’écriture en produit (ou le raisonnement sur le nombre de facteurs), 0,5 point pour la puissance obtenue.
Exercice 4 : Priorités opératoires (4 points)
- On calcule d’abord la puissance, puis la multiplication, enfin l’addition.
\(A = 3 + 2 \times 16\)
\(A = 3 + 32\)
\(A = 35\) - On calcule d’abord la parenthèse.
\(B = 5^2 – 2^3\)
\(B = 25 – 8\)
\(B = 17\) - \((-2)^3 = -8\) et \(3^2 = 9\).
\(C = 5 \times (-8) + 9\)
\(C = -40 + 9\)
\(C = -31\) - Numérateur : \(2^5 – 4^2 = 32 – 16 = 16\). Dénominateur : \((-2)^3 = -8\).
\(D = \dfrac{16}{-8}\)
\(D = -2\)
Barème : 1 point par calcul : 0,5 point pour les puissances et les étapes dans le bon ordre, 0,5 point pour le résultat.
Erreur fréquente : en a, calculer \(3 + 2 = 5\) avant la multiplication, ou \((2 \times 4)^2 = 64\) : la puissance porte seulement sur 4 et se calcule en premier.
Exercice 5 : Le message en chaîne (4 points)
- Le jour 1, 3 personnes reçoivent le message. Le jour 2, chacune l’envoie à 3 personnes : \(3 \times 3 = 9\). Le jour 3 : \(9 \times 3 = 27\).
Jour 2 : \(9 = 3^2\) personnes ; jour 3 : \(27 = 3^3\) personnes. - Chaque jour, le nombre est multiplié par 3 : le jour \(n\), \(3^n\) personnes reçoivent le message.
\(3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243\).
243 personnes reçoivent le message le jour 5. - \(3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 = 3 + 9 + 27 + 81 = 120\).
À la fin du jour 4, 120 personnes ont reçu le message. - Le jour 6, chacune des \(3^5\) personnes du jour 5 envoie le message à 3 personnes : il y a bien \(3^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \times 3^5\) personnes. Mais \(3 \times 3^5\) est un produit de \(1 + 5 = 6\) facteurs égaux à 3 : \(3 \times 3^5 = 3^6 = 729\), alors que \(3^{15}\) est bien plus grand.
Nour se trompe : \(3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^6\), et non \(3^{15}\).
Barème : a) 1 point : 0,5 point par jour ; b) 1 point : 0,5 point pour \(3^5\), 0,5 point pour 243 ; c) 1 point : 0,5 point pour la somme posée, 0,5 point pour 120 ; d) 1 point : 0,5 point pour \(3 \times 3^5 = 3^6\), 0,5 point pour la conclusion.
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Après le corrigé du contrôle : calculer avec des puissances
Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Puissance d’un nombre relatif » en 4ème et « Puissances de 10 » en 4ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés puissances.
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