Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : fonctions affines et signe de ax + b.
Cette correction rappelle à chaque étape les deux résultats clés du chapitre. Le coefficient directeur d’une fonction affine se calcule par \(a = \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}\), puis on obtient \(b\) en remplaçant par une image connue. Sur un graphique, \(b\) se lit sur l’axe des ordonnées et \(a\) se lit en avançant d’une unité vers la droite.
Pour le signe de ax + b, on cherche la valeur qui l’annule, \(-\frac{b}{a}\), puis on place le signe de \(a\) à droite de cette valeur. Les tableaux de signes sont écrits en entier, et le barème détaille la part de la méthode et du résultat.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : fonctions affines et signe de ax + b.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Reconnaître une fonction affine | 3 points |
| Exercice 2 : Une fonction affine définie par deux images | 4 points |
| Exercice 3 : Lecture graphique de droites | 4 points |
| Exercice 4 : Signe d’une expression | 4 points |
| Exercice 5 : Degrés Celsius et degrés Fahrenheit | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Reconnaître une fonction affine (3 points)
Une fonction est affine lorsqu’elle peut s’écrire \(f(x) = ax + b\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), avec \(a\) et \(b\) réels.
- \(f_1(x) = -2x + 3\) : \(f_1\) est affine, avec \(a = -2\) et \(b = 3\).
- \(f_2\) n’est pas affine : son expression contient \(x^2\), qu’on ne peut pas faire disparaître.
- On développe : \(f_3(x) = x^2 + 2x + 1 – x^2 = 2x + 1\). \(f_3\) est affine, avec \(a = 2\) et \(b = 1\).
- \(f_4\) n’est pas affine : \(x\) est au dénominateur (et \(f_4\) n’est même pas définie en 0).
- \(f_5(x) = \frac{1}{4}x\) : \(f_5\) est affine (et même linéaire), avec \(a = \frac{1}{4}\) et \(b = 0\).
- \(f_6(x) = 0 \times x – 7\) : \(f_6\) est affine (constante), avec \(a = 0\) et \(b = -7\).
Erreur fréquente : conclure trop vite que \(f_3\) n’est pas affine parce qu’on voit un carré, sans développer.
Barème : 0,5 point par fonction : 0,25 pour la réponse, 0,25 pour \(a\) et \(b\) ou la justification.
Exercice 2 : Une fonction affine définie par deux images (4 points)
- \(a = \dfrac{f(4) – f(-2)}{4 – (-2)} = \dfrac{-2 – 7}{6} = \dfrac{-9}{6} = -1{,}5\). Le coefficient directeur est \(a = -1{,}5\).
- Donc \(f(x) = -1{,}5x + b\). Comme \(f(4) = -2\) :
\(-1{,}5 \times 4 + b = -2\), soit \(-6 + b = -2\), d’où \(b = 4\).
Vérification : \(f(-2) = -1{,}5 \times (-2) + 4 = 3 + 4 = 7\).
\(f(x) = -1{,}5x + 4\).
- Le coefficient directeur \(a = -1{,}5\) est négatif, donc \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
- On résout \(f(x) = 10\) :
\(-1{,}5x + 4 = 10\)
\(-1{,}5x = 6\)
\(x = \dfrac{6}{-1{,}5} = -4\)
L’antécédent de 10 par \(f\) est \(-4\).
- \(f(10) = -1{,}5 \times 10 + 4 = -15 + 4 = -11\). Oui, le point \(A(10\,;-11)\) appartient à la droite représentant \(f\).
Barème : a) 1 point : 0,5 pour la formule, 0,5 pour le résultat ; b) 1 point : 0,5 pour le calcul de \(b\), 0,5 pour l’expression ; c) 0,5 point avec la justification par le signe de \(a\) ; d) 1 point : 0,5 pour l’équation, 0,5 pour la solution ; e) 0,5 point.
Exercice 3 : Lecture graphique de droites (4 points)
- Méthode pour \(d_1\) : l’ordonnée à l’origine se lit à l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées : \(b = 1\). En partant du point \((0\,;1)\) et en avançant de 1 vers la droite, on monte de 2 pour retrouver la droite (point \((1\,;3)\)) : \(a = 2\).
\(h_1(x) = 2x + 1\).
Pour \(d_2\) : elle coupe l’axe des ordonnées en 2, et passe par \((0\,;2)\) et \((3\,;1)\) : quand on avance de 3, on descend de 1, donc \(a = -\frac{1}{3}\).
\(h_2(x) = -\dfrac{1}{3}x + 2\).
Pour \(d_3\) : elle coupe l’axe des ordonnées en \(-3\), et passe par \((0\,;-3)\) et \((2\,;-2)\) : quand on avance de 2, on monte de 1, donc \(a = \frac{1}{2}\).
\(h_3(x) = \dfrac{1}{2}x – 3\).
- \(g(0) = 3\) et \(g(2) = -2 \times 2 + 3 = -1\). On trace la droite passant par les points \((0\,;3)\) et \((2\,;-1)\).
Erreur fréquente : pour \(d_2\), lire \(a = -3\) au lieu de \(-\frac{1}{3}\) en inversant le déplacement horizontal et le déplacement vertical.
Barème : a) 3 points : 1 point par expression (0,5 pour \(b\), 0,5 pour \(a\)), dont l’explication de la méthode ; b) 1 point : 0,5 pour deux points corrects, 0,5 pour le tracé.
Exercice 4 : Signe d’une expression (4 points)
- \(3x – 12 = 0\) pour \(x = 4\). Le coefficient \(a = 3\) est positif : l’expression est négative avant 4 et positive après.
\(x\) \(-\infty\) 4 \(+\infty\) \(3x – 12\) \(-\) 0 \(+\) - \(-2x + 5 = 0\) pour \(x = \frac{5}{2} = 2{,}5\). Le coefficient \(a = -2\) est négatif : l’expression est positive avant \(\frac{5}{2}\) et négative après.
\(x\) \(-\infty\) \(\frac{5}{2}\) \(+\infty\) \(-2x + 5\) \(+\) 0 \(-\) - On place les deux valeurs dans l’ordre croissant, \(\frac{5}{2} < 4\), et on applique la règle des signes d’un produit.
\(x\) \(-\infty\) \(\frac{5}{2}\) 4 \(+\infty\) \(3x – 12\) \(-\) \(-\) 0 \(+\) \(-2x + 5\) \(+\) 0 \(-\) \(-\) \(P(x)\) \(-\) 0 \(+\) 0 \(-\) \(P(x) \geq\, 0\) lorsque \(P(x)\) est positif ou nul, les bornes étant incluses car \(P\) s’y annule.
L’ensemble des solutions de \(P(x) \geq\, 0\) est \(S = [\frac{5}{2}\,;4]\).
Barème : a) et b) 1 point chacune : 0,5 pour la valeur qui annule, 0,5 pour les signes ; c) 2 points : 1 pour le tableau du produit, 0,5 pour l’intervalle, 0,5 pour les crochets fermés.
Exercice 5 : Degrés Celsius et degrés Fahrenheit (5 points)
- \(f\) est affine : \(f(C) = aC + b\). On sait que \(f(0) = 32\) et \(f(100) = 212\).
\(a = \dfrac{212 – 32}{100 – 0} = \dfrac{180}{100} = 1{,}8\) et \(b = f(0) = 32\).
\(f(C) = 1{,}8C + 32\).
- \(f(37) = 1{,}8 \times 37 + 32 = 66{,}6 + 32 = 98{,}6\). 37 °C correspondent à 98,6 °F.
- On résout \(1{,}8C + 32 = 77\) :
\(1{,}8C = 45\), donc \(C = \dfrac{45}{1{,}8} = 25\).
Il fait 25 °C à New York.
- On cherche \(C\) tel que \(f(C) = C\) :
\(1{,}8C + 32 = C\)
\(0{,}8C = -32\)
\(C = -40\)
Oui : \(-40\) °C correspondent à \(-40\) °F.
- On résout \(1{,}8C + 32 < 0\) :
\(1{,}8C < -32\), et comme \(1{,}8 > 0\), le sens de l’inégalité ne change pas : \(C < -\dfrac{32}{1{,}8} = -\dfrac{160}{9}\).
La température en °F est strictement négative lorsque \(C < -\frac{160}{9}\), soit environ en dessous de \(-17{,}8\) °C.
Barème : a) 1,5 point : 1 pour \(a\), 0,5 pour \(b\) ; b) 0,5 point ; c) 1 point : 0,5 pour l’équation, 0,5 pour la réponse ; d) 1 point : 0,5 pour l’équation \(f(C) = C\), 0,5 pour la solution ; e) 1 point : 0,5 pour l’inéquation résolue, 0,5 pour la valeur exacte et la valeur approchée.
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Après le corrigé du contrôle : fonctions affines et signe de ax + b
Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles » en 2de et « Fonctions polynômes du second degré » en 2de.
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