Corrigé des exercices de maths

Produit scalaire : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.


Le corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF sur le produit scalaire dans le plan. Utiliser les propriétés de bilinéarité du produit scalaire et démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux ou colinéaires. Appliquer la relation de Chasles sur les vecteurs en première.

Exercice 1 :

a. AB=3 , AC=5 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{6}+2k\pi .
 \vec{AB}.\vec{AC}=AB\times   AC \times   cos(-\frac{\pi}{6})=15\times   \frac{\sqrt{3}}{2}.

b. AB=1 , AC=4 et (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{8\pi}{3}+2k\pi .
 \vec{AB}.\vec{AC}=AB\times   AC \times   cos(\frac{8\pi}{6})=4\times   \frac{-1}{2}=-2.

c. AB=4 , AC=7 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{4}+2k\pi .
 \vec{AB}.\vec{AC}=AB\times   AC \times   cos(\frac{-\pi}{4})=28\times   \frac{\sqrt{2}}{2}=14\sqrt{2}.

d. AB=2 , AC=2 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{5\pi}{3}+2k\pi .
 \vec{AB}.\vec{AC}=AB\times   AC \times   cos(\frac{5\pi}{3})=4\times   \frac{-1}{2}=-2.

Exercice 2 :

Calculer \vec{AC}.\vec{AB}\,;\,\vec{CA}.\vec{BA}\,;\,\vec{BA}.\vec{AC}\,\,; sachant que :

a. \vec{AB}.\vec{AC}=-3
\vec{AC}.\vec{AB}=\vec{AB}.\vec{AC}=-3\,;\,\vec{CA}.\vec{BA}=\vec{AB}.\vec{AC}=-3\,;\\\,\vec{BA}.\vec{AC}=-\vec{AB}.\vec{AC}=3\,\,;

Exercice 3 :

a. On a les vecteurs suivants :

\vec{MO} = \vec{MN} + \vec{NO} \\\vec{PQ} = \vec{MN} + \vec{NQ} \\ \vec{PM} = \vec{PN} + \vec{NM}

On peut alors calculer les produits scalaires demandés :

\vec{MO}.\vec{MN} \\= (\vec{MN} + \vec{NO}).\vec{MN}\\ = \vec{MN}.\vec{MN} + \vec{NO}.\vec{MN} \\= MN^2 \\= (\frac{1}{2}PQ)^2 \\= 16

\vec{PQ}.\vec{NQ} = (\vec{MN} + \vec{NQ}).\vec{NQ} \\= \vec{MN}.\vec{NQ} + \vec{NQ}.\vec{NQ} \\= NQ^2 \\= 6^2 \\= 36

\vec{PM}.\vec{NP} \\= (\vec{PN} + \vec{NM}).\vec{NP} \\= \vec{PN}.\vec{NP} + \vec{NM}.\vec{NP} \\= NP^2 \\= (\frac{1}{2}MQ)^2 \\= 25

b. On peut calculer les produits scalaires demandés en utilisant les expressions vectorielles suivantes :

\vec{MQ} = \vec{MN} + \vec{NQ} \vec{OM} = -\vec{MO} \\ \vec{NM} = -\vec{MN} \\\vec{MN} = \vec{MP} - \vec{PN} \\ \vec{PQ} = -\vec{QP} \\= -(\vec{MQ} - \vec{MP})\\ = -\vec{MQ} + \vec{MP} \vec{NP} \\= -\vec{PN}

Ainsi, on a :

\vec{MQ}.\vec{NP} \\= (\vec{MN} + \vec{NQ}).\vec{NP} \\= \vec{MN}.\vec{NP} + \vec{NQ}.\vec{NP} \\= -NP^2\\ = -(\frac{1}{2}MQ)^2 = -25

\vec{MN}.\vec{PQ} \\= (\vec{MP} - \vec{PN}).(-\vec{MQ} + \vec{MP}) \\= -\vec{MP}.\vec{MQ} + \vec{MP}.\vec{MP} - \vec{PN}.\vec{MQ} + \vec{PN}.\vec{MP} \\= -MP^2 + PQ^2 \\= -4 \\\\\vec{OM}.\vec{NM}\\ = -\vec{MO}.\vec{MN} \\= -\vec{MO}.\vec{MP} + \vec{MO}.\vec{PN} \\= -MP^2 + AO^2 \\= -64 + 25\\ = -39

où l’on a utilisé les relations trigonométriques dans le triangle rectangle MPO (où PO est l’hypoténuse) pour exprimer MO et MP en fonction de AO et PQ.

Exercice 4 :

Soit ABCD un carré et I un point de [AB].
On note H le projeté orthogonal de A sur [ID].

 \vec{IA}.\vec{ID}=\vec{IA}.(\vec{IA}+\vec{AD})=\vec{IA}.\vec{IA}+\vec{IA}.\vec{AD}\\=AI^2
 \vec{IA}.\vec{AD}=0 car (IA) perpendiculaire à (AD).

Exercice 5 :

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1.
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).

 \vec{BA}.\vec{AC}=1\times  1\times   \frac{\sqrt{3}}{2}
et  \vec{AB}.\vec{AH}=1\times   \frac{\sqrt{3}}{2}\times   \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.

Exercice 6 :

Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

1. Justifier que : \vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(\vec{AR}-\vec{AP}) .

\vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(\vec{PA}+\vec{AR}) ( d’après la relation de Chasles)

\vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(-\vec{AP}+\vec{AR})

\vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(\vec{AR}-\vec{AP})

2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

Indication :

Montrer que  \vec{CQ}.\vec{PR}=0

Exercice 7 :

On a   \| \vec{u}  \|=2 et  \| \vec{v}  \|=3  et  \vec{u} . \vec{v} = -1

1) Calculez (\vec{u}+\vec{v})^2  et  \| (\vec{u} -\vec{v})^2 \|

(\vec{u}+\vec{v})^2= \| \vec{u}  \|^2+ \| \vec{v}  \|^2+2\vec{u}.\vec{v}=4+9-2=11

2) Calculer (\vec{u} + \vec{v}) . (2\vec{u}-3\vec{v})

(\vec{u}+\vec{v}).(2\vec{u}-3\vec{v})=2\vec{u}.\vec{u}-3\vec{u}.\vec{v}+2\vec{v}.\vec{u}-3\vec{v}.\vec{v}

\\=2\times   4-3\times   (-1)+2\times   (-1)-3\times   3^2

\\=8+3-2-27

\\=-18

Exercice 8 :

Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}=2\vec{MI}.\vec{BA}

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).(\vec{MA}-\vec{MB})

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).(\vec{MA}+\vec{BM})

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).(\vec{BM}+\vec{MA})

{\color{DarkRed} MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}}

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}

MA^2-MB^2=(\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{MI}+\vec{IB}).\vec{BA}

MA^2-MB^2=(2\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IB}).\vec{BA}

or I est le milieu de [AB] donc \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}

MA^2-MB^2=(2\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IB}).\vec{BA}

MA^2-MB^2=(2\vec{MI}+\vec{0}).\vec{BA}

MA^2-MB^2=(2\vec{MI}).\vec{BA}

{\color{DarkBlue} MA^2-MB^2=2\vec{MI}.\vec{BA}}

Exercice 9 :

Commençons par noter que \vec{AF}= \frac{2}{3}\vec{AB} implique que \vec{FB}= \frac{1}{3}\vec{AB}.

Puisque  E est le milieu de [AD] , alors \vec{GC}=2\vec{GK} implique que \vec{GK}=\vec{GC}-\vec{GE}=\vec{GC}-\frac{1}{2}\vec{GA}.

Et puisque A, F, K \in (EK) (car ils sont également sur (AB)), alors

\vec{GK}=\frac{1}{2}\vec{EK}-\frac{1}{2}\vec{GA}=\frac{1}{2}(\vec{EK}-\vec{GA})=\frac{1}{2}\vec{EA}.

Soit L le point d’intersection de  (MK)  et  (AC) .

Puisque les diagonales de  ABCD  se coupent en leur milieu, alors  L  est également le milieu de  [AC] .

Donc \vec{MA}+\vec{LG}=\vec{MC} (la somme des deux vecteurs étant égale à \vec{MC} car  M  est le milieu de  [BE] ).

On peut développer \vec{MA} comme suit : \vec{MA}=\vec{MB}+\vec{BA}.

Or \vec{BA}=\vec{BF}+\vec{FA}= \vec{AB}-\vec{AF}= \frac{1}{3}\vec{AB}, et donc \vec{MA}=\vec{MB}+\frac{1}{3}\vec{AB}.

On peut donc écrire : \vec{MB}+\frac{1}{3}\vec{AB}+\vec{LG}=\vec{MC}.

Puisque \vec{GB}=2\vec{GF}, alors \vec{GF}=\frac{1}{2}\vec{GB}= \frac{1}{2}(\vec{GA}+\vec{AB}), donc \vec{GA}=2\vec{GF}-\vec{AB}= \vec{FB}, donc \vec{GA}= \frac{1}{3}\vec{AB}.

Essayons maintenant de développer \vec{LG}.

On peut exprimer \vec{LC} comme suit :

\vec{LC}=\vec{LA}+\vec{AC}=\vec{LA}+\vec{AG}+\vec{GC}=\vec{LA}+\frac{1}{3}\vec{AB}+2\vec{GK} (en utilisant les relations données).

Et donc \vec{LG}=\vec{LC}-\vec{GC}-\vec{GL}, où \vec{GL}=\vec{GB}+\vec{BL}.

Or \vec{GB}=2\vec{GF}, et

\vec{BL}=\vec{BC}-\vec{CL}=\vec{AB}+\vec{AC}-2\vec{AL}=2\vec{AG}+2\vec{GA}-2\vec{AL}=\frac{4}{3}\vec{GA}-2\vec{AL}.

Donc \vec{GL}=2\vec{GF}+\frac{4}{3}\vec{GA}-2\vec{AL}.

On peut maintenant réécrire l’équation \vec{MB}+\frac{1}{3}\vec{AB}+\vec{LG}=\vec{MC} en remplaçant \vec{LG}.

Après quelques simplifications, on obtient :

\vec{MB}-\vec{AL}+\frac{1}{3}\vec{AB}+2\vec{GF}+\frac{4}{3}\vec{GA}=\vec{MC}

Or \vec{MA}=\vec{MB}+\frac{1}{3}\vec{AB}, donc \vec{MB}=\vec{MA}-\frac{1}{3}\vec{AB}.

Et \vec{AL}=\vec{AC}-\vec{CL}=\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{LC}= \vec{AC}-\frac{1}{2}(\vec{LA}+\frac{1}{3}\vec{AB}+2\vec{GK})

(en utilisant le fait que L est le milieu de [AC] ).

Donc \vec{MB}-\vec{AL}=\vec{MA}-\frac{1}{3}\vec{AB}-\vec{AC}+\frac{1}{2}(\vec{LA}+ \frac{1}{3}\vec{AB}+2\vec{GK}).

On peut réécrire \vec{MA}-\vec{AC} en utilisant les vecteurs suivants :

\vec{MA}=\vec{EA}+\vec{EM} et \vec{AC}=\vec{EC}-\vec{EA}.

En substituant cette expression dans l’équation précédente, on obtient :

\vec{EM}-\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{1}{2}(\vec{LA}+ \frac{1}{3}\vec{AB}+2\vec{GK})=\vec{MC}-2\vec{GF}-\frac{4}{3}\vec{GA}

Or \vec{GK}=\frac{1}{2}\vec{EA}, donc \vec{LA}+\frac{1}{3}\vec{AB}+2\vec{GK}=\frac{1}{2}(2\vec{LA}+ \frac{2}{3}\vec{AB}+\vec{EA})=\frac{1}{2}(\vec{LB}+\vec{AM}), et donc \frac{1}{2}(\vec{LA}+\frac{1}{3}\vec{AB}+2\vec{GK})=\vec{LG}.

Donc l’équation ci-dessus peut être réécrite :

\vec{EM}-\frac{1}{3}\vec{AB}+\vec{LG}=\vec{MC}-2\vec{GF}-\frac{4}{3}\vec{GA}

Rappelons que \vec{FB}=\frac{1}{3}\vec{AB}, donc en utilisant les relations données on a \vec{GF} = \frac{1}{2}\vec{FB}, donc \vec{GF} = \frac{1}{6}\vec{AB}.

De plus, \vec{GA}=\frac{1}{3}\vec{AB}, donc\vec{LG}=\frac{1}{2}\vec{EA}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{EF})=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AB})=\frac{5}{6}\vec{AB} .

On peut maintenant réécrire l’équation précédente en remplaçant \vec{EM} , \vec{LG}, \vec{GF} et \vec{GA} par leurs expressions respectives.

On obtient finalement :

\vec{EB}+\vec{BM}-\frac{1}{2}\vec{AB}-\frac{1}{3}\vec{AB}-\frac{5}{6}\vec{AB}=\vec{MC}-\frac{1}{3}\vec{AB}

Or \vec{EB}+\vec{BM}=\vec{EM}, donc on peut réécrire l’équation comme suit :

\vec{EM}-\frac{11}{6}\vec{AB}=\vec{MC}-\frac{1}{3}\vec{AB}

En d’autres termes,

\vec{EC}+\vec{CM}-\vec{EM}+\frac{1}{2}\vec{AB}-\frac{5}{6}\vec{AB}=0

Mais \vec{EC}+\vec{CM}=\vec{EM} (car M est le milieu de  [BE] ), donc on a :

\vec{EM}-\vec{EM}+\frac{1}{2}\vec{AB}-\frac{5}{6}\vec{AB}=0

Soit, finalement,

\vec{EM}=\frac{1}{3}\vec{AB}=\vec{GM}

Et donc \vec{GK}=\frac{1}{2}\vec{EA}=2\vec{GM}, comme demandé.

Exercice 10 :

On sait que (IH) \perp (BC ), puisque  H  est le projeté orthogonal de  A  sur  BC .

Soit K le point d’intersection de  (HI)  et  (AJ) .

Nous allons montrer que  K  est le milieu de [HI], ce qui implique que (HI)  est bien perpendiculaire à  (AJ) (car les médianes d’un triangle sont concourantes et se coupent en leur point commun).

Puisque I est le milieu de [AB], alors \vec{IA}=\frac{1}{2}\vec{AB}, et donc \vec{AH}=\vec{IA}-\vec{IH}=\vec{IA}-\vec{IB} .

De même, puisque J est le milieu de [AC] , alors \vec{AJ}=\frac{1}{2}\vec{AC} , et donc \vec{AJ}=\vec{IA}+\vec{IJ} .

On peut donc écrire :

\vec{IH}=\vec{IA}-\vec{AH}=\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{IB}-\frac{1}{2}\vec{AB}
et
\vec{IJ}=\vec{AJ}-\vec{IA}=\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}=\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB}).

D’après le théorème de la médiane, on a \vec{AC}+\vec{AB}=2\vec{AJ} , donc

\vec{AC}-\vec{AB}=2(\vec{AJ}-\vec{AB})=2\vec{IJ}.

En substituant ces expressions pour \vec{IH} et \vec{IJ} , on a :

\vec{IH}+\vec{IJ}=\vec{IB}-\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})=\vec{IB}+\frac{1}{2}\vec{AC}

Sachant que \vec{IK}=\frac{1}{2}\vec{IJ}, on obtient :

\vec{HK}=\vec{HI}-\vec{IK}=\vec{IH}+\vec{IJ}-\frac{1}{2}\vec{IJ}=\vec{IB}+\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{IJ}

\vec{HK}=\vec{IB}+\frac{1}{4}(\vec{AC}-\vec{AB})=\vec{IB}+\frac{1}{4}\vec{BC}

Or, comme I est le milieu de [AB] , alors \vec{IB}=\vec{IA}+\vec{AB}=\vec{AH}+\vec{AB} . Donc :

\vec{HK}=\vec{AH}+\vec{AB}+\frac{1}{4}\vec{BC}=\vec{HA}+\vec{AJ}+\frac{1}{4}\vec{BC}

En remarquant que \vec{HA} est colinéaire à \vec{BC} (car AH est le projeté orthogonal de A sur BC ), on peut écrire :

\vec{HK}=\vec{BC}+\vec{AJ}+\frac{1}{4}\vec{BC}=\vec{AJ}+\frac{5}{4}\vec{BC}

Finalement, puisque J est le milieu de [AC] , alors \vec{AJ}=\frac{1}{2}\vec{AC} , et donc

\vec{HK}=\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{5}{4}\vec{BC}.

Or \vec{AC} et \vec{BC} forment un triangle rectangle en A , donc \vec{AC}=\sqrt{2}\vec{AH} et \vec{BC}=\sqrt{2}\vec{HB} .

Donc :

\vec{HK}=\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{AH}+\frac{5\sqrt{2}}{4}\vec{HB}

Mais on sait que \vec{AH} (respectivement \vec{HB} ) est colinéaire à \vec{BC} (respectivement \vec{AC}).

Ainsi, \vec{AH} et \vec{HB} sont orthogonaux, et donc \vec{HK} est également orthogonal à \vec{BC} , ce qui signifie que (HK) est perpendiculaire à (BC) .

Nous avons donc montré que (HI) et (AJ) se croisent en un point K qui est le milieu de (HI) . Par conséquent, (HI) est bien perpendiculaire à (HJ) , comme demandé.

Exercice 11 :

Indication : créer un repère dans le parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.

1.Calculer\vec{AB}.\vec{AD} .

2. En déduire BD.

Exercice 12 :

MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1.    \vec{MN}.\vec{QP}=MN\times   QP\times   cos(\vec{MN},\vec{QP})\\=6\times   6\times   cos(0)=36

2.    \vec{MN}.\vec{PN}=MN\times   PN\times   cos(\vec{MN},\vec{PN})=6\times   6\times   cos(90)=0

3.  \vec{IN}.\vec{IP}=IN\times   IP\times   cos(\vec{IN},\vec{IP})=3\sqrt{2}\times  3\sqrt{2} \times   cos(90)=0

4.  \vec{QI}.\vec{NI}=QI\times   NI\times   cos(\vec{QI},\vec{NI})=3\sqrt{2}\times   3\sqrt{2}\times   cos(180)=-18

Exercice 13 :
ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3.

De plus \vec{AB}.\vec{AC}=4

Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.

\vec{AB}.\vec{AC}=AB\times   AC\times   cos(\vec{AB},\vec{AC})

cos(\vec{AB},\vec{AC})=\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{AB\times   AC}=\frac{4}{2\times   3}

cos(\vec{AB},\vec{AC})=\frac{2}{3}

Conclusion : le triangle n’est pas rectangle car le cosinus est différent de zéro.

Exercice 14 :

ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC].
Calculer les produits scalaires suivants :

1. \vec{BA}.\vec{BC} .

\vec{BA}.\vec{BC}\\=BA\times   BC\times   cos(\vec{BA},\vec{BC}) \\=25\times   cos60^{\circ}=\frac{25}{2}

2. \vec{CA}.\vec{CI}.

\vec{CA}.\vec{CI}.
\vec{CA}.\vec{CI}=CA\times   CI\times   cos(\vec{CA},\vec{CI})\\=5\times   2,5\times   \frac{1}{2}=6,25

3. (\vec{AB}-\vec{AC}).\vec{AI}.

(\vec{AB}-\vec{AC}).\vec{AI}=\vec{CB}.\vec{AI}=0
(Ai) est une médiane mais comme le triangle est équilatéral, c’est aussi une hauteur
donc ces deux vecteurs sont orthogonaux et par conséquent leur produit scalaire nul.

Exercice 15 :

Dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j})
on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.

1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

Tout d’abord, le barycentre existe car 3+2-4=1\neq 0

3\vec{GA}+2\vec{GB}-4\vec{GC}=\vec{0}

 \{ 3(x_A-x_G)+2(x_G-x_B)-4(x_C-x_G)=0 \\3(y_A-y_G)+2(y_B-y_G)-4(y_C-y_G)=0 =0

 \{ 3(2-x_G)+2(7-x_G)-4(3-x_G)=0 \\3(1-y_G)+2(2-y_G)-4(4-y_G)=0

 \{ 6-3x_G+14-2x_G-12+4x_G=0 \\3-3y_G+4-2y_G-16+4y_G=0

 \{ -x_G+8=0 \\-y_G+9=0

 \{ x_G=8 \\y_G=9

2.  Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].

un vecteur directeur de [BC] est \vec{u} (3-7\\4-2  )

\vec{u} (-4\\2  )

\vec{u} (-2\\1  )

donc un vecteur normal de la médiatrice est :

\vec{u} (-2\\1  )

donc une équation cartésienne est du type :

-2x+1y+c=0

or le milieu I de [BC] appartient à la médiatrice : I ( \frac{7+3}{2} \\\frac{2+4}{2} )  donc  I ( 5 \\3 )

Nous obtenons :

-2\times   5+3+c=0

c=7

Conclusion : une équation cartésienne de la médiatrice est -2x+y+7=0 .

3. Calculer \vec{CB}.\vec{CA} .

\vec{CB}.\vec{CA}= ( 7-3\\2-4  ). ( 2-3\\1-4  )= ( 4\\-2  ). ( -1\\-3  )=4\times   (-1)+(-2)\times   (-3)=-4+6=2

4.  L’angle \widehat{C}  est-il droit ?

Non puisque le produit scalaire n’est pas nul.

Exercice 16 :

1. Dans un triangle ABC , on sait que le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, moins deux fois leur produit par le cosinus de l’angle compris entre eux. En utilisant cette formule avec le triangle ABC , on obtient :

AB^2\,=\,AC^2\,+\,BC^2\,-\,2\times  \,AC\times  \,BC\times  \,\cos\,\widehat{BAC}

En isolant BC^2 dans cette expression, on a :

BC^2\,=\,AB^2\,-\,AC^2\,+\,2\,\times  \,AC\,\times  \,BC\,\times  \,\cos\,\widehat{BAC}

Il nous reste donc à calculer le cosinus de l’angle \angle BAC et le produit \vec{AB}\cdot\vec{AC}:

Tout d’abord, \vec{AB}\cdot\vec{AC}=\,AB\,\times  \,AC\,\times  \,cos\,\widehat{BAC}. Sachant que AB=6 cm et AC=5 cm (et que \widehat{BAC}=60^{\circ}\,),

on obtient :

\vec{AB}\cdot\vec{AC}\,=\,AB\times  \,AC\,\times  \,cos\,\widehat{BAC}\,=\,6\,\times  \,5\,\times  \,\frac{1}{2}\,=\,15\text{\,cm}^2

Ensuite, on peut utiliser la formule du cosinus dans le triangle ABC :

cos\,\widehat{BAC\,}=\,\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\,\times  \,AB\,\times  \,AC}

En substituant les valeurs connues, on obtient :

cos\,\widehat{BAC}\,=\,\frac{6^2+5^2-BC^2}{2\,\times  \,6\times  5}\,=\,\frac{11-\frac{BC^2}{25}}{6}

En multipliant par 6 et en simplifiant, on a :

6\,\times  \,\cos\,\widehat{BAC}\,=\,\frac{55}{30}-\frac{BC^2}{25}

Finalement, on peut réécrire cette expression de la façon suivante :

BC^2\,=\,25\,\times  \,(\frac{55}{30}-6\,\times  \,\cos\,\widehat{BAC})\,=\,25\,\times  \,(\frac{11}{3}-2\cos\,\widehat{BAC})

En substituant la valeur de cos\,\widehat{\,BAC} obtenue précédemment, on a :

BC^2\,=\,25\,\times  \,(\frac{11}{3}-2\times  \,\frac{11-BC^2/25}{6})\,=\,\frac{175}{3}-\frac{10}{3}BC^2

En résolvant cette équation du second degré pour BC^2 , on obtient :

BC^2\,=\,\frac{175-3\,\times  \,15\,\times  \,15}{10}\,=\,50

Ainsi, \vec{AB}\cdot\vec{AC}=15\,cm\,^2  et BC=5\sqrt{2} cm.

2. On peut utiliser la même formule pour le carré d’un côté d’un triangle en fonction des deux autres côtés et de l’angle entre eux.

En isolant BC^2 , on a :

BC^2\,=\,AB^2\,+\,AC^2\,-\,2\,\times  \,AB\times  \,AC\times  \,cos\,\widehat{\,BAC}

Il nous faut donc calculer le produit \vec{AB}\cdot\vec{AC} et le cosinus de l’angle \widehat{BAC} .

Tout d’abord, on a \vec{AB}\cdot\,\vec{AC}=\,AB\times  \,AC\times  \,cos\,\widehat{BAC} .

Sachant que AB=7 cm et AC=4 cm, on obtient :

\vec{AB}\times  \vec{AC}\,=\,AB\,\times  \,AC\times  \,cos\,\widehat{BAC}\,=\,7\,\times  \,4\,\times  \,(-\frac{1}{2})\,=\,-14\text{\,cm}^2

Ensuite, on peut utiliser la formule du cosinus dans le triangle ABC :

cos\,\widehat{BAC}\,=\,\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times  \,AB\,\times  \,AC}

En substituant les valeurs connues, on obtient :

cos\widehat{\,BAC}\,=\,\frac{7^2+4^2-BC^2}{2\times  \,7\,\times  \,4}\,=\,\frac{33-BC^2}{56}

On peut donc réécrire la formule pour BC^2 en isolant BC^2 :

BC^2\,=\,33-56\,\times  \,\cos\,\widehat{BAC}\,=\,33-56\,\times  \,\frac{33-BC^2}{56}\,=\,2BC^2-33

Ce qui donne :

BC^2\,=\,\frac{33}{2}

Ainsi, \vec{AB}\cdot\vec{AC}=-14\,cm\,^2 et BC=\sqrt{\frac{33}{2}}cm.

Exercice 17 :

Il semble y avoir une erreur dans la solution proposée pour le premier cas.

L’équation BC^2\,=\,AB^2\,-\,AC^2\,+\,2\,\times  \,AC\times  \,BC\times  \,cos(\,\widehat{BAC}) est en réalité l’équation pour le cosinus de l’angle \widehat{\,BAC} .

Pour isoler BC^2 , on doit utiliser l’équation BC^2\,=\,AC^2\,+\,AB^2\,-\,2\,\times  \,AB\times  \,AC\times  \,cos(\,\widehat{BAC}) .

En utilisant cette dernière équation, on trouve :

\vec{AB}.\vec{AC}\,=\,AB\,\times  \,AC\times  \,cos(\,\widehat{BAC})\,=\,6\times  \,5\times  \,\frac{1}{2}\,=\,15

En utilisant la formule pour le cosinus de l’angle \widehat{\,BAC} dans le triangle ABC , on a :

cos(\,\widehat{BAC})\,=\,\frac{AB^2\,+\,AC^2\,-\,BC^2}{2\,\times  \,AB\times  \,AC}

En substituant les valeurs connues, on a :

cos(\,\widehat{BAC})\,=\,\frac{6^2\,+\,5^2\,-\,BC^2}{2\,\times  \,6\times  \,5}\,=\,\frac{11\,-\,\frac{BC^2}{25}}{6}

On peut multiplier les deux membres de cette équation par 6 pour obtenir :

6\,\times  \,cos(\,\widehat{BAC})\,=\,\frac{11}{3}\,-\,\frac{BC^2}{25}

En isolant BC^2 , on a :

BC^2\,=\,\frac{175}{3}\,-\,50\,\times  \,cos(\,\widehat{BAC})

En utilisant la valeur précédente du cosinus de l’angle \angle BAC trouvée ci-dessus, on a :

BC^2\,=\,\frac{175}{3}\,-\,50\,\times  \,(\frac{11}{18}\,-\,\frac{BC^2}{75})\,=\,\frac{25\times  \,BC^2\,-\,825}{9}

En résolvant cette équation, on trouve :

BC^2 = \frac{225}{4}

Ainsi, \vec{AB}.\vec{AC}\,=\,15 et BC\,=\,\frac{15}{2}\sqrt{2}.

Exercice 18 :

Commençons par tracer la figure :

![Triangle équilatéral ABC avec H le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.]

On a :

\vec{AB} et \vec{AC} sont deux vecteurs de même norme (égalent à la longueur a d’un côté du triangle). De plus, le triangle ABC étant équilatéral, l’angle \widehat{BAC} vaut 60^{\circ}, donc ces vecteurs forment un angle de 60^{\circ} l’un avec l’autre. Ainsi, on a :

\vec{AB}.\vec{AC}\,=\,a^2\,\times  \,\cos\,60^{\circ}\,=\,\frac{a^2}{2}

– On a également \vec{AC}\,=\,-\vec{CB} (vecteur opposé), donc \vec{AC}.\vec{CB}\,=\,-a^2.

– Le vecteur \vec{AH} est le projeté orthogonal de \vec{AB} sur la droite (BC) , donc il est orthogonal à \vec{BC} . Ainsi, \vec{AB}.\vec{AH}\,=\,0\vec{AB}.\vec{AH}\,=\,0 .

– Le triangle ABH est rectangle en H , donc l’hypoténuse AH est un diamètre du cercle circonscrit.

Ainsi, le point O (centre du cercle) se situe sur la droite (AH) et le produit scalaire \vec{AH}.\vec{BC} est nul (les vecteurs sont orthogonaux).

– Enfin, le point O étant le centre du cercle circonscrit, les vecteurs \vec{OA} et \vec{OB} ont même norme (le rayon du cercle) et ils font un angle de 60^{\circ} l’un avec l’autre (car ils joignent le centre à deux points du cercle qui sont à distance égale). Ainsi,

\vec{OA}.\vec{OB}\,=\,r^2\,\times  \,\cos\,60^{\circ}\,=\,\frac{a^2}{3}

où r est le rayon du cercle circonscrit (égal à\frac{a}{\sqrt{3}}).

En résumé, on a :

\vec{AB}.\vec{AC}\,=\,\frac{a^2}{2}\,\\\\\vec{AC}.\vec{CB}\,=\,-a^2\,\\\\\vec{AB}.\vec{AH}\,=\,0\,\\\\\vec{AH}.\vec{BC}\,=\,0\,\\\\\vec{OA}.\vec{OB}\,=\,\frac{a^2}{3}

où a est la longueur d’un côté du triangle ABC .

triangle et cercle circonscrit

Exercice 19 :

Sachant que les vecteurs \vec{u} et  \vec{v} sont tels que  \| \vec{u}  \|=3 ,  \| \vec{v}  \|=7 et \vec{u}.\vec{v} =13.

Calculer les produits scalaires suivants :

1\vec{u}. (\vec{u}+3\vec{v}  )

\vec{u}. (\vec{u}+3\vec{v}  ) \\=\vec{u}.\vec{u}+3\vec{u}.\vec{v}\\= \| \vec{u}  \|^2+3\vec{u}.\vec{v}\\=9+39=48 (\vec{u}-2\vec{v}  ) ^2= \| \vec{u}  \|^2-4\vec{u}.\vec{v}+4 \| \vec{v}  \|^2\\=9-52+196\\=153

2 (\vec{u}-2\vec{v}  ) ^2

 (\vec{u}-2\vec{v}  ) ^2= \| \vec{u}  \|^2-4\vec{u}.\vec{v}+4 \| \vec{v}  \|^2\\=9-52+28\\=-15

Exercice 20 :

A quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :

(\vec{AB}+\vec{AC})^2=(AB+AC)^2

Nous avons :

(\vec{AB}+\vec{AC})^2=AB^2+AC^2+2\vec{AB}.\vec{AC}=AB^2+AC^2+2AB\times   AC\times   cos(\vec{AB};\vec{AC})
et
(AB+AC)^2=AB^2+AC^3+2\times   AB\times   AC

Il faut donc que :

cos(\vec{AB};\vec{AC})=1
(\vec{AB};\vec{AC})=2k\pi

donc
que le point A appartienne à la droite (BC) privée du segment [BC].

Exercice 21 :
1.  \vec{MA}.\vec{MB}=1.

Soit I le milieu de [AB] donc isobarycentre de [AB].
\vec{MA}.\vec{MB}=1

 (\vec{MI}+\vec{IA}  ). (\vec{MI} +\vec{IB}  )=1

en utilisant les propriétés du produit scalaire :

\vec{MI}.\vec{MI}+\vec{MI}.\vec{IB}+\vec{IA}.\vec{MI}+\vec{IA}.\vec{IB}=1

MI^2+\vec{MI}. (\vec{IA}+\vec{IB}  )+\vec{IA}.\vec{IB}=1

MI^2+\vec{MI}.\vec{0} +\vec{IA}.\vec{IB}=1

MI^2+0 +\vec{IA}.\vec{IB}=1

MI^2+IA\times   IB\times   cos\,\pi=1

MI^2-IA\times   IB=1

MI^2=1+IA\times   IB > 1

MI^2=1+0,5\times   0,5

MI=\sqrt{1,25}

Conclusion : c’est le cercle de centre I et de rayon \sqrt{1,25}  dm .

2. MA^2+MB^2=5.

Exercice 22 :

[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.

1. Montrer que pour tout point M du plan :

MA^2-MB^2=2\vec{IM}.\vec{AB}

Nous avons :

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).(\vec{MA}-\vec{MB})

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).(\vec{MA}+\vec{BM})

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}

MA^2-MB^2=(\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{MI}+\vec{IB}).\vec{BA}

MA^2-MB^2=(2\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IB}).\vec{BA}

MA^2-MB^2=2\vec{MI}.\vec{BA}

car I milieu de [AB] donc \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}

Exercice 23 :

Démontrer que :

1.    \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2- \| \vec{u}-\vec{v}  \|^2=4\vec{u}.\vec{v} .

{\color{DarkBlue}  \| \vec{u}  \|^2+2\vec{u}.\vec{v}+ \| \vec{v}  \|^2- \| \vec{u}  \|^2+2\vec{u}.\vec{v}- \| \vec{v}  \|^2=4\vec{u}.\vec{v}}

2.   \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2+ \| \vec{u}-\vec{v}  \|^2=2( \|\vec{u}  \|^2+ \| \vec{v}  \|^2) .

3. Quel est le lien avec le losange, le parallélogramme ?

Faire une figure…

4. Démontrer que :

(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u}  \|^2- \| \vec{v}  \|^2

(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}.\vec{u}-\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{u}-\vec{v}.\vec{v}

(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}.\vec{u}-\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{v}-\vec{v}.\vec{v}   (car le produit scalaire est symétrique)

(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}.\vec{u}-\vec{v}.\vec{v}

{\color{DarkBlue} (\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u}  \|^2- \| \vec{v}  \| ^2}

5. En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.

Faire une figure….

Exercice 24 :

Indication :

L’équation d’un cercle est (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2

avec \Omega (x_0;y_0) centre du cercle de rayon R.

Dans un repère orthonormé(O;\vec{i},\vec{j}) , on donne un point \Omega (2;-3) .

1.  Déterminer l’équation du cercle (C) de centre \Omega et de rayon R = 5.

2.  Démontrer que le point A( – 2 ; 0) est un point du cercle (C).

3.  Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle (C).

Exercice 25 :

Commençons par tracer la figure :

On a :

1. Les vecteurs \vec{MN}et \vec{QP} sont des vecteurs opposés (vecteur directeur de la droite (MN) et vecteur directeur de la droite (PQ) ).

Ainsi, leur produit scalaire est :

\vec{MN}.\vec{QP} = -MN\cdot QP = -6^2 = -36

2. Le vecteur \vec{MN} est orthogonal à lui-même (vecteur nul), donc on a :

\vec{MN}.\vec{PN} = 0

3. Les vecteurs \vec{IN} et \vec{IP} ont même norme (le rayon du cercle circonscrit au carré) et ils font un angle de 90^{\circ} l’un avec l’autre (car ils joignent le centre du carré à deux points du carré qui sont à distance égale). Ainsi,

\vec{IN}.\vec{IP} = r^2 \times   \cos 90^{\circ} = 0

où r est le rayon du cercle circonscrit au carré (égal à \frac{MN}{2} = 3).

4. Le point I est le centre du carré, donc les vecteurs \vec{QI} et \vec{NI} sont des vecteurs opposés (ils ont même norme et sont de sens contraire).

Ainsi, leur produit scalaire est :

\vec{QI}.\vec{NI} = -NI\cdot QI = -r^2 = -3^2 = -9

où r est le rayon du cercle circonscrit au carré (égal à \frac{MN}{2} = 3).

Exercice 26 :

On se place dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}).
On considère un triangle ABC avec A (- 1 ; 2), B (3 ; 1) et C (2 ; 4).

1. Déterminer une équation de la médiatrice du segment [AB].

Déterminons les coordonnées du vecteur \vec{AB} .

\vec{AB} ( 3+1\\1-2  )= ( 4\\-1  )

Déterminons les coordonnées de I milieu du segment [AB] :

I ( \frac{-1+3}{2}\\\frac{2+1}{2}  )= ( 1\\\frac{3}{2}  )

Les coordonnées d’un vecteur directeur de la médiatrice est un vecteur normal au vecteur  \vec{AB}
donc  \vec{u} ( 1\\4  )

Tout point M(x,y) appartient à la médiatrice de [AB]

si et seulement si :

\vec{IM}=k\vec{u}

(k non nul)

 ( x-1\\y-\frac{3}{2}  ) = ( k\\4k  )
donc
 \{ k=x-1\\y=4k+\frac{3}{2} .

 \{ k=x-1\\y=4 (x-1  )+\frac{3}{2} .

 \{ k=x-1\\y=4x-4+\frac{3}{2} .

donc l’équation réduite de la médiatrice de [AB] est :

{\color{DarkRed} y=4x-\frac{5}{2}}

2.  Déterminer une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Déterminons les coordonnées du vecteur \vec{BC} :

\vec{BC}  ( 2-3\\4-1  )= ( -1\\3  )

Notons H le projeté orthogonal de A sur (BC).

La droite (AH) est donc la hauteur issue du sommet A.

Soit M(x,y) appartient à (AH)

si et seulement si :

\vec{BC}.\vec{AM}=0

 ( -1\\3  ). (x+1\\y-2  )=0

-(x+1)+3(y-2)=0

-x-1+3y-6=0

-x +3y-7=0

3y=x+7

y=\frac{x+7}{3}

{\color{DarkRed} y=\frac{1}{3}x+\frac{ 7}{3}}  est une équation réduite de la hauteur issue de A.

Exercice :

On se place dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}) .

1. Déterminer l’équation du cercle de centre \Omega (5;1)  tangent à la droite (D) d’équation :

x + y - 4 = 0.

Indication :
on rappelle que la distance entre un point A(\alpha ;\beta ) et une droite (D) d’équation ax + by + c = 0 est
donnée par la formule :

d(A,D)=\frac{ | a\alpha +b\beta +c  |}{\sqrt{a^2+b^2}}

Déterminons la distance entre la tangente et le centre du cercle, ce sera le rayon du cercle.

d(\Omega ,D)=\frac{ | 1\times   5 +1\times   1 -4  |}{\sqrt{1^2+1^2}}

d(\Omega ,D)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

L’équation du cercle est :

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2

(x-5)^2+(y-1)^2=\sqrt{2}^2

{\color{DarkRed} (x-5)^2+(y-1)^2=2}

Exercice 27 :
On se place dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}).

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle.

1.  x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0.

(x-1)^2-1+(y-3)^2-9+5=0

(x-1)^2+(y-3)^2=5

C’est un cercle de centre le point I ( 1 ; 3 ) et de rayon \sqrt{5} .

2.  x^2 + y^2 - x - 3y + 3 = 0.

(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+(y-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}+3=0

(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2+\frac{8}{4}+\frac{12}{4}=0

(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=-5

Ce n’est pas l’équation d’un cercle .

Exercice 28 :

Indication : utiliser les formule de Pythagore généralisé dans le triangle quelconque.
ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
On donne : BC = 4, AI = 3 et (\vec{IA},\vec{IB})=\frac{\pi}{3} .

Calculer :

1.    \vec{AB}.\vec{AC}.

2.   AB^2+AC^2.

3.  AB^2-AC^2.

4.  AB\,et\,AC.

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