Tu trouveras ici le corrigé complet de la fiche sur les angles en 5e : chacune des quinze réponses est rédigée comme on l’attend sur une copie, avec la propriété du cours citée avant le calcul. Les premières solutions reviennent sur les angles complémentaires (somme de 90°) et supplémentaires (somme de 180°), puis sur la façon de nommer des angles opposés par le sommet, alternes-internes et correspondants formés par une sécante.
Une grande partie des corrections montre comment raisonner dans les deux sens : des angles égaux prouvent que deux droites sont parallèles, et deux parallèles donnent des angles égaux qu’on peut calculer. Tu y verras aussi les mesures relevées au rapporteur, le travail autour de droites concourantes, le portail, le trajet de la boule de billard illustré par un schéma, et la démonstration qui conduit à un parallélogramme.
Avant de lire une solution, cherche l’exercice sur la fiche d’énoncés. Si ta réponse diffère, vérifie surtout la justification : repérer la bonne sécante et les deux droites concernées est la clé de ce chapitre.
Exercice 1 (angles 5e corrigé)
1. Les angles \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) sont complémentaires et \(\widehat{A}\) = 54°. Déterminer \(\widehat{B}\) .
\(\widehat{B}=90-54=36^{\circ}\)
2. Les angles \(\widehat{C}\) et \(\widehat{D}\) sont supplémentaires et \(\widehat{C}\) = 84°. Déterminer \(\widehat{D}\) .
\(\widehat{D}=180-84=96^{\circ}\)
Exercice 2 :
a. Les points E, M, N sont alignés, donc les angles \(\widehat{EMC}\) et \(\widehat{CMN}\) sont supplémentaires :
\[\widehat{CMN}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\]
Les angles \(\widehat{CMN}\) et \(\widehat{CAB}\) sont correspondants, formés par les droites (MN) et (AB) et la sécante (CA). Ils ont la même mesure : 60°.
Or, si deux angles correspondants ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
Donc les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
b. Les points M, N, H sont alignés, donc \(\widehat{CNM}=180^{\circ}-\widehat{MNB}=180^{\circ}-126^{\circ}=54^{\circ}\).
Les angles \(\widehat{CNM}\) et \(\widehat{CBA}\) sont correspondants, formés par les droites parallèles (MN) et (AB) et la sécante (CB) : ils ont donc la même mesure.
\(\widehat{ABC}=54^{\circ}\)
Exercice 3 (angles 5e corrigé)
Les points E, F, D sont alignés, donc les angles \(\widehat{AFE}\) et \(\widehat{AFD}\) sont supplémentaires :
\[\widehat{AFE}=180^{\circ}-143^{\circ}=37^{\circ}\]
Les angles \(\widehat{AFE}\) et \(\widehat{FAB}\) sont alternes-internes, formés par les droites (DE) et (AB) et la sécante (AF).
Or \(\widehat{AFE}=37^{\circ}\) et \(\widehat{FAB}=36^{\circ}\) : ces deux angles alternes-internes n’ont pas la même mesure.
Si les droites (AB) et (DE) étaient parallèles, ces angles alternes-internes seraient égaux.
Donc les droites (AB) et (DE) ne sont pas parallèles.
Exercice 4 :
a. Les points E, C, D sont alignés, donc \(\widehat{ECA}+\widehat{ACF}+\widehat{FCD}=180^{\circ}\) :
\[\widehat{ECA}=180^{\circ}-87^{\circ}-20^{\circ}=73^{\circ}\]
Les angles \(\widehat{ECA}\) et \(\widehat{CAF}\) sont alternes-internes, formés par les droites (DE) et (AF) et la sécante (AC). Ils mesurent tous les deux 73°.
Or, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.
Donc les droites (DE) et (AF) sont parallèles.
b. Les angles \(\widehat{AFC}\) et \(\widehat{FCD}\) sont alternes-internes, formés par les droites parallèles (AF) et (DE) et la sécante (CF) : ils ont donc la même mesure.
\(\widehat{AFC}=20^{\circ}\)
Vérification : dans le triangle ACF, \(73^{\circ}+87^{\circ}+20^{\circ}=180^{\circ}\).
Exercice 5 (angles 5e corrigé)
1. Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.
a. La demi-droite [Au) a pour prolongement [AB) et [Ax) a pour prolongement [At). L’angle opposé par le sommet à \(\widehat{uAx}\) est \(\widehat{tAB}\) (on peut aussi l’appeler \(\widehat{tAv}\)).
b. La demi-droite [BA) a pour prolongement [Bv) et [Bz) a pour prolongement [By). L’angle opposé par le sommet à \(\widehat{zBA}\) est \(\widehat{vBy}\).
2. Deux angles alternes-internes sont situés entre les droites (tx) et (zy), de part et d’autre de la sécante (uv).
a. L’angle alterne-interne avec \(\widehat{tAB}\) est \(\widehat{ABy}\).
b. L’angle alterne-interne avec \(\widehat{zBA}\) est \(\widehat{BAx}\).
Exercice 6 :
D’après la figure, \(\widehat{CEF}=75^{\circ}\), et les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
a. \(\widehat{EFB}\) et \(\widehat{CEF}\) sont alternes-internes, formés par les parallèles (AB) et (CD) et la sécante (GH) : ils ont la même mesure. \(\widehat{EFB}=75^{\circ}\)
b. \(\widehat{HED}\) et \(\widehat{CEF}\) sont opposés par le sommet : ils ont la même mesure. \(\widehat{HED}=75^{\circ}\)
c. Les points C, E, D sont alignés, donc \(\widehat{FED}\) et \(\widehat{CEF}\) sont supplémentaires : \(\widehat{FED}=180^{\circ}-75^{\circ}\). \(\widehat{FED}=105^{\circ}\)
d. \(\widehat{GFA}\) et \(\widehat{FEC}\) sont correspondants, formés par les parallèles (AB) et (CD) et la sécante (GH) : ils ont la même mesure. \(\widehat{GFA}=75^{\circ}\)
Exercice 7 (angles 5e corrigé)
D’après la figure, \(\widehat{CEF}=130^{\circ}\), et les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
a. Les points C, E, D sont alignés, donc \(\widehat{DEF}=180^{\circ}-130^{\circ}\). \(\widehat{DEF}=50^{\circ}\)
b. \(\widehat{JFA}\) et \(\widehat{FEC}\) sont correspondants (parallèles (AB) et (CD), sécante (JH)). \(\widehat{JFA}=130^{\circ}\)
c. \(\widehat{CEH}\) et \(\widehat{DEF}\) sont opposés par le sommet. \(\widehat{CEH}=50^{\circ}\)
d. \(\widehat{AFE}\) et \(\widehat{FED}\) sont alternes-internes (parallèles (AB) et (CD), sécante (JH)). \(\widehat{AFE}=50^{\circ}\)
e. \(\widehat{HED}\) et \(\widehat{CEF}\) sont opposés par le sommet. \(\widehat{HED}=130^{\circ}\)
f. \(\widehat{JFB}\) et \(\widehat{FED}\) sont correspondants (parallèles (AB) et (CD), sécante (JH)). \(\widehat{JFB}=50^{\circ}\)
g. \(\widehat{EFB}\) et \(\widehat{CEF}\) sont alternes-internes (parallèles (AB) et (CD), sécante (JH)). \(\widehat{EFB}=130^{\circ}\)
Exercice 8 :
a. Les points t, A, x sont alignés, donc \(\widehat{BAx}=180^{\circ}-\widehat{uAx}=180^{\circ}-54^{\circ}=126^{\circ}\).
Les angles \(\widehat{BAx}\) et \(\widehat{zBA}\) sont alternes-internes, formés par les droites (tx) et (yz) et la sécante (uv), et ils mesurent tous les deux 126°.
Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.
Les droites (tx) et (yz) sont parallèles.
b. Les points t, A, x sont alignés, donc \(\widehat{tAB}=180^{\circ}-\widehat{BAx}=180^{\circ}-143^{\circ}=37^{\circ}\).
Les angles \(\widehat{tAB}\) et \(\widehat{ABz}\) sont alternes-internes, formés par les droites (tx) et (yz) et la sécante (uv). Mais \(\widehat{tAB}=37^{\circ}\) alors que \(\widehat{ABz}=36^{\circ}\).
Si les droites étaient parallèles, ces angles alternes-internes auraient la même mesure.
Les droites (tx) et (yz) ne sont pas parallèles.
Exercice 9 (angles 5e corrigé)
a. On place le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle et le zéro sur l’un des côtés, puis on lit la graduation sur l’autre côté. Sur la figure, on obtient environ (à 1° près) :
- \(\widehat{DAK}\approx 54^{\circ}\) ;
- \(\widehat{FCG}\approx 115^{\circ}\) ;
- \(\widehat{EBI}\approx 36^{\circ}\) ;
- \(\widehat{NOP}\approx 144^{\circ}\).
Selon l’impression de la fiche, une différence d’un ou deux degrés est normale.
b. Un angle obtus mesure entre 90° et 180°. Les angles obtus sont \(\widehat{FCG}\) et \(\widehat{NOP}\). Les angles \(\widehat{DAK}\) et \(\widehat{EBI}\) sont aigus.
Exercice 10 :
La demi-droite [Ox) est perpendiculaire à la droite (tz), donc \(\widehat{zOx}=\widehat{xOt}=90^{\circ}\).
Les deux arcs verts du codage indiquent que \(\widehat{uOx}\) et \(\widehat{xOv}\) ont la même mesure : 24°.
Calcul de \(\widehat{zOv}\) : les angles \(\widehat{zOx}\) et \(\widehat{xOv}\) sont adjacents, donc
\[\widehat{zOv}=\widehat{zOx}+\widehat{xOv}=90^{\circ}+24^{\circ}=114^{\circ}\]
\(\widehat{zOv}=114^{\circ}\)
Calcul de \(\widehat{tOu}\) : de même, \(\widehat{tOx}\) et \(\widehat{xOu}\) sont adjacents, donc
\[\widehat{tOu}=\widehat{tOx}+\widehat{xOu}=90^{\circ}+24^{\circ}=114^{\circ}\]
\(\widehat{tOu}=114^{\circ}\)
Exercice 11 (angles 5e corrigé)
D’après la figure, \(\widehat{vOu}=42^{\circ}\) et \(\widehat{vOx}=38^{\circ}\). Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
a. L’angle opposé par le sommet à \(\widehat{xOv}\) est \(\widehat{tOz}\). \(\widehat{tOz}=\widehat{xOv}=38^{\circ}\)
b. Les points v, O, z sont alignés, donc \(\widehat{xOz}=180^{\circ}-\widehat{vOx}=180^{\circ}-38^{\circ}=142^{\circ}\). L’angle opposé par le sommet à \(\widehat{xOz}\) est \(\widehat{vOt}\). \(\widehat{vOt}=142^{\circ}\)
c. Les points v, O, z sont alignés, donc \(\widehat{uOz}=180^{\circ}-\widehat{vOu}=180^{\circ}-42^{\circ}=138^{\circ}\). L’angle opposé par le sommet à \(\widehat{uOz}\) est \(\widehat{yOv}\). \(\widehat{yOv}=138^{\circ}\)
d. Les points t, O, x sont alignés, donc \(\widehat{tOu}=180^{\circ}-\widehat{uOx}=180^{\circ}-(42^{\circ}+38^{\circ})=100^{\circ}\). L’angle opposé par le sommet à \(\widehat{tOu}\) est \(\widehat{xOy}\). \(\widehat{xOy}=100^{\circ}\)
Vérification : les six angles autour du point O font bien un tour complet, \(42+100+38+42+100+38=360\).
Exercice 12 :
a. \(\widehat{CFB}\) et \(\widehat{AFD}\) sont opposés par le sommet (sommet F, côtés dans le prolongement l’un de l’autre).
b. \(\widehat{CFB}\) et \(\widehat{AFC}\) ont 180° pour somme de leurs mesures (les points A, F, B sont alignés).
c. \(\widehat{GCB}\) et \(\widehat{ABC}\) sont alternes-internes (droites (CG) et (AB), sécante (BC)).
d. \(\widehat{BFD}\) et \(\widehat{AFC}\) sont opposés par le sommet.
e. \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{FBD}\) sont alternes-internes (droites (AC) et (BD), sécante (AB)).
f. \(\widehat{ACD}\) et \(\widehat{CDB}\) sont alternes-internes (droites (AC) et (BD), sécante (CD)).
Exercice 13 :
Sur le portail, les traverses (AD) et (HE) sont parallèles et la droite (CE) est parallèle à l’écharpe (GB). On sait que \(\widehat{DCE}=31^{\circ}\).
a. Les points F, C, D sont alignés, donc \(\widehat{FCE}\) et \(\widehat{DCE}\) sont supplémentaires : \(\widehat{FCE}=180^{\circ}-31^{\circ}\). \(\widehat{FCE}=149^{\circ}\)
b. Les angles \(\widehat{CFB}\) et \(\widehat{DCE}\) sont correspondants, formés par les parallèles (GB) et (CE) et la sécante (AD) : \(\widehat{CFB}=31^{\circ}\). Les points G, F, B sont alignés, donc \(\widehat{GFC}=180^{\circ}-31^{\circ}\). \(\widehat{GFC}=149^{\circ}\)
c. On vient de le voir : \(\widehat{CFB}=31^{\circ}\)
d. Les angles \(\widehat{FBH}\) et \(\widehat{BFC}\) sont alternes-internes, formés par les parallèles (HE) et (AD) et la sécante (GB) : ils ont la même mesure. \(\widehat{FBH}=31^{\circ}\)
Exercice 14 :
Construction sur le calque : on part de la boule B, on trace le premier segment jusqu’à la bande du bas (point R), puis le deuxième jusqu’à la bande du haut (point S), puis le dernier jusqu’au trou O. En chaque point de rebond, on trace en pointillés la perpendiculaire à la bande, et on code par le même signe l’angle d’incidence et l’angle renvoyé.
Justification :
- Les bandes du haut et du bas sont parallèles ; les perpendiculaires tracées à ces bandes sont donc toutes parallèles entre elles.
- Le dernier segment fait un angle de 30° avec la perpendiculaire passant par O. Il coupe les deux perpendiculaires (en S et en O) : les angles qu’il forme avec elles sont alternes-internes, donc égaux. L’angle d’arrivée en S vaut 30°.
- En S, l’angle d’incidence est égal à l’angle de renvoi : le segment RS fait donc aussi 30° avec la perpendiculaire en S, puis, par le même raisonnement (angles alternes-internes), 30° avec la perpendiculaire en R.
- En R, l’angle d’incidence est encore égal à l’angle de renvoi : le segment BR fait 30° avec la perpendiculaire en R, donc aussi 30° avec la perpendiculaire en B.
L’angle d’incidence mesure \(\widehat{i}=30^{\circ}\).
Exercice 15 :
D’après la figure, \(\widehat{ADB}=65^{\circ}\), \(\widehat{BMC}=25^{\circ}\) et la droite (MN) est perpendiculaire à la droite (AM).
Côtés (BC) et (MN). ABCD est un rectangle, donc (BC) est perpendiculaire à (AB), c’est-à-dire à (AM) puisque A, B, M sont alignés. La droite (MN) est aussi perpendiculaire à (AM). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (BC) et (MN) sont parallèles.
Côtés (BN) et (CM). Dans le triangle ABD rectangle en A, la somme des angles vaut 180°, donc
\[\widehat{ABD}=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}\]
Les angles \(\widehat{ABD}\) et \(\widehat{BMC}\) sont correspondants, formés par les droites (DN) et (CM) et la sécante (AM), et ils mesurent tous les deux 25°. Si deux angles correspondants ont la même mesure, alors les droites sont parallèles : (BN) et (CM) sont parallèles.
Le quadrilatère BCMN a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
BCMN est un parallélogramme.
Remarque : ce n’est pas un rectangle, car \(\widehat{NMC}=90^{\circ}+25^{\circ}=115^{\circ}\).
Bien travailler avec angles 5e corrigé
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Angle de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec proportionnalité : corrigé des exercices de maths en 5ème en PDF.
