Matrices et applications linéaires : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM de maths sup relie matrices et applications linéaires : matrice dans une base, matrices de passage, rang, matrices équivalentes et semblables, trace. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Matrices, changements de base, rang et trace du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Matrices et applications linéaires - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Quelle est la matrice de la dérivation \(D : P \mapsto P'\) de \(\mathbb{R}_2[X]\) dans la base \((1, X, X^2)\) ?

A \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

B \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

D \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Question 2

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) de matrice \(A\) dans \(\mathcal{B}\), et \(P\) la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}'\). Quelle est la matrice \(A'\) de \(u\) dans \(\mathcal{B}'\) ?

A \(A' = P^{\top}AP\)

B \(A' = PAP^{-1}\)

C \(A' = P^{-1}AP^{-1}\)

D \(A' = P^{-1}AP\)

Question 3

Pour \(A, B, C \in M_n(\mathbb{K})\), laquelle des égalités est toujours vraie ?

A \(\mathrm{tr}(A^2) = (\mathrm{tr}\,A)^2\)

B \(\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BAC)\)

C \(\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(CAB)\)

D \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)\)

Question 4

Quel est le rang de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) ?

A \(3\)

B \(2\)

C \(1\)

D \(4\)

Question 5

Soit \(p\) un projecteur de \(\mathbb{R}^5\) dont le noyau est de dimension \(2\). Que vaut \(\mathrm{tr}(p)\) ?

A \(2\)

B \(3\)

C \(5\)

D \(1\)

Question 6

On considère \(A = I_2\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Laquelle des affirmations est vraie ?

A \(A\) et \(B\) sont équivalentes mais pas semblables

B \(A\) et \(B\) sont semblables, car \(B\) est triangulaire à diagonale de \(1\)

C \(A\) et \(B\) sont semblables, car elles ont même trace et même rang

D \(A\) et \(B\) ne sont pas équivalentes, car \(B\) n’est pas diagonale

Question 7

Un vecteur a pour coordonnées \(X\) dans \(\mathcal{B}\) et \(X'\) dans \(\mathcal{B}'\), et \(P\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}'\). Quelle relation est vraie ?

A \(X = P^{-1}X'\)

B \(X' = PX\)

C \(X = PX'\)

D \(X = P^{\top}X'\)

Question 8

Deux matrices de \(M_{n,p}(\mathbb{K})\) sont équivalentes si et seulement si :

A elles ont le même rang

B elles ont le même noyau

C elles ont la même trace

D elles ont les mêmes coefficients diagonaux

Question 9

Quelle est l’inverse de \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\) ?

A \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\)

B \(\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}\)

D \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\)

Question 10

Quelle est la solution du système de Cramer \(x + 2y = 5\), \(3x - y = 1\) ?

A \((x, y) = (1, -2)\)

B \((x, y) = (1, 2)\)

C \((x, y) = (2, 1)\)

D \((x, y) = (-1, 3)\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de matrices et applications linéaires en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

l’écriture de la matrice d’un endomorphisme colonne par colonne ;
les formules de changement de base \(X = PX’\) et \(A’ = P^{-1}AP\) ;
le calcul du rang par opérations élémentaires et la caractérisation des matrices équivalentes ;
la trace, \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\) et la trace d’un projecteur ;
les systèmes de Cramer et l’inverse d’une matrice.

L’erreur la plus fréquente

Même trace, même rang et même déterminant ne suffisent pas à rendre deux matrices semblables : \(I_2\) n’est semblable qu’à elle-même, alors que \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) partage ces trois invariants.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour une matrice de passage, retenez que ses colonnes sont les coordonnées des nouveaux vecteurs dans l’ancienne base ; toutes les formules en découlent. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Applications linéaires, Hyperplans et sous-espaces affines, Groupe symétrique et déterminants, Intégration sur un segment. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Quelle différence entre matrices équivalentes et semblables ?

\(B = QAP\) avec \(Q, P\) inversibles pour l’équivalence (caractérisée par le rang) ; \(B = P^{-1}AP\) pour la similitude, qui représente un même endomorphisme dans deux bases, et qui est bien plus exigeante.

Pourquoi la trace d’un projecteur est-elle son rang ?

Dans une base adaptée à \(E = \operatorname{Im} p \oplus \ker p\), la matrice de \(p\) est diagonale avec \(r\) coefficients \(1\) et des \(0\) : sa trace vaut \(r = \operatorname{rg} p\).

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