Contrôle de maths sup : sous-espaces vectoriels et familles libres

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite. Dans tout le sujet, \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Aucun argument de dimension n’est attendu.

1. Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). Montrez que \(F \cap G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). (0,5 point)
2. Rappelez la définition de « la somme \(F + G\) est directe ». Démontrez que \(F + G\) est directe si et seulement si \(F \cap G = \{0\}\). (1,5 point)
3. Montrez que \(F \cup G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si \(F \subset G\) ou \(G \subset F\). (1 point)

Exercice 2 : Reconnaître des sous-espaces vectoriels (3,5 points)

Dites si chacune des parties suivantes est un sous-espace vectoriel de l’espace indiqué, en justifiant.

1. \(F_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,:\, x + 2y – z = 0 \text{ et } x – y = 0\}\) dans \(\mathbb{R}^3\). Si c’est le cas, écrivez \(F_1\) comme un sous-espace engendré par une famille explicite. (1 point)
2. \(F_2 = \{P \in \mathbb{R}[X] \,:\, P(1) = 0 \text{ et } P^{\prime}(0) = 0\}\) dans \(\mathbb{R}[X]\). (0,5 point)
3. \(F_3 = \{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,:\, f(0) = 1\}\) dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\). (0,5 point)
4. \(F_4 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,:\, xy = 0\}\) dans \(\mathbb{R}^2\). (0,5 point)
5. \(F_5\), ensemble des fonctions bornées de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\). (0,5 point)
6. \(F_6 = \{(u_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \,:\, \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\}\) dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\). (0,5 point)

Exercice 3 : Familles de fonctions (4 points)

On travaille dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\). Pour \(a \in \mathbb{R}\), on note \(e_a : x \mapsto e^{ax}\) et \(f_a : x \mapsto |x – a|\).

1. Montrez que la famille \((e_a)_{a \in \mathbb{R}}\) est libre. (1,5 point)
2. Montrez que la famille \((f_a)_{a \in \mathbb{R}}\) est libre. (1 point)
3. La famille \((\sin, \cos, x \mapsto \sin(x + 1))\) est-elle libre ? (0,5 point)
4. Montrez que \((\cos^2, \sin^2)\) est libre et que \(\operatorname{Vect}(\cos^2, \sin^2, x \mapsto \cos(2x), x \mapsto 1) = \operatorname{Vect}(\cos^2, \sin^2)\). (1 point)

Exercice 4 : Polynômes à degrés échelonnés (3 points)

1. Soient \(P_0, P_1, \ldots, P_n\) des polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) tels que \(\deg P_k = k\) pour tout \(k\). Montrez que la famille \((P_0, \ldots, P_n)\) est libre. (1,5 point)
2. Montrez que la famille \(\mathcal{B} = (1, X – 1, (X – 1)^2, X^3 + X)\) est libre, puis que \(\operatorname{Vect}(\mathcal{B}) = \mathbb{R}_3[X]\) en exprimant \(1\), \(X\), \(X^2\), \(X^3\) à l’aide de \(\mathcal{B}\). (1 point)
3. Écrivez \(X^2 + X\) comme combinaison linéaire des vecteurs de \(\mathcal{B}\). (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : sommes directes et supplémentaires (6,5 points)

Partie A. Dans \(E = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\), on note \(\mathcal{P}\) l’ensemble des fonctions paires et \(\mathcal{I}\) celui des fonctions impaires.

1. Montrez que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\). (1,5 point)
2. Décomposez la fonction exponentielle selon \(\mathcal{P} \oplus \mathcal{I}\). (0,5 point)
3. Soit \(\mathcal{Z} = \{f \in E \,:\, f(0) = 0\}\). Montrez que \(\mathcal{P} + \mathcal{Z} = E\), mais que cette somme n’est pas directe. (0,5 point)

Partie B. Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on note \(\mathcal{S}_n\) l’ensemble des matrices symétriques et \(\mathcal{A}_n\) celui des matrices antisymétriques.

4. Montrez que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n\). (1,5 point)
5. Décomposez \(M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 5 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}\) selon cette somme directe. (0,5 point)

Partie C. Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(F = \{(x, y, z) \,:\, x + y + z = 0\}\), \(G = \operatorname{Vect}((1, 1, 1))\) et \(H = \operatorname{Vect}((1, 0, 0))\).

6. Sans argument de dimension, montrez que \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\) et donnez la décomposition d’un vecteur \((x, y, z)\). (1,5 point)
7. Montrez que \(H\) est aussi un supplémentaire de \(F\). Que peut-on en conclure ? (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : sous-espaces vectoriels et familles libres

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces vectoriels » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces vectoriels.

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