Ce QCM vérifie la maîtrise des corps en L3 : caractéristique, degré d’une extension, polynôme minimal, corps de rupture et de décomposition, constructibilité et corps finis. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Corps, extensions et corps finis du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Corps et extensions - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
La caractéristique d’un corps est toujours :
A\(0\) ou un nombre premier
Bun nombre premier
C\(0\) ou une puissance d’un nombre premier
Dun entier naturel quelconque
Question 2
Quel est le degré \([\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb{Q}]\) ?
A\(6\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(4\)
Question 3
Quel est le polynôme minimal de \(\sqrt2+\sqrt3\) sur \(\mathbb{Q}\) ?
A\(X^4 - 10X^2 + 1\)
B\(X^4 - 5X^2 + 6\)
C\(X^4 + 10X^2 + 1\)
D\(X^2 - 5\)
Question 4
Soit \(\alpha\) un nombre algébrique de degré \(3\) sur \(\mathbb{Q}\). Peut-on avoir \(\sqrt2\in\mathbb{Q}(\alpha)\) ?
AOui, dès que \(\alpha\) est réel
BOn ne peut pas conclure sans connaître \(\alpha\)
CNon, car \(2\) ne divise pas \(3\)
DOui, par exemple si \(\alpha = \sqrt[3]{2}\)
Question 5
Pourquoi \(\sqrt[3]{2}\) n’est-il pas constructible à la règle et au compas ?
AParce que \(X^3-2\) n’a qu’une seule racine réelle
BSon polynôme minimal \(X^3-2\) est de degré \(3\), qui n’est pas une puissance de \(2\)
CParce que \(\sqrt[3]{2}\) est transcendant
DParce que \(\sqrt[3]{2}\) est irrationnel
Question 6
Lequel de ces entiers n’est pas le cardinal d’un corps fini ?
A\(49\)
B\(8\)
C\(6\)
D\(9\)
Question 7
Lequel de ces quotients est un corps à \(8\) éléments ?
A\(\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)\)
B\(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)
C\(\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X^2+X+1)\)
D\(\mathbb{F}_2[X]/(X^3+1)\)
Question 8
Lequel de ces éléments engendre le groupe cyclique \((\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^*\) ?
A\(\bar 2\)
B\(\bar 3\)
C\(\bar 4\)
D\(\bar 6\)
Question 9
Quel est le degré sur \(\mathbb{Q}\) du corps de décomposition de \(X^3-2\) ?
A\(2\)
B\(6\)
C\(9\)
D\(3\)
Question 10
Combien d’éléments \(\alpha\) de \(\mathbb{F}_{16}\) vérifient \(\alpha^4 = \alpha\) ?
A\(1\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(4\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de corps et extensions en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la caractéristique d’un corps et son sous-corps premier ;
le théorème de la base télescopique \([L:K] = [L:M][M:K]\) ;
le calcul d’un polynôme minimal et d’un degré ;
le critère de non-constructibilité à la règle et au compas ;
la construction des corps finis comme quotients \(\mathbb{F}_p[X]/(P)\) ;
la cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps fini.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : confondre corps de rupture et corps de décomposition. Pour \(X^3-2\) sur \(\mathbb{Q}\), le corps de rupture \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) est de degré \(3\) et réel, mais il ne contient pas les deux racines complexes : le corps de décomposition est de degré \(6\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour calculer un degré, trouvez un polynôme annulateur, prouvez son irréductibilité (Eisenstein, absence de racine en degré \(2\) ou \(3\)), puis enchaînez les extensions avec la base télescopique. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi un nombre constructible a-t-il un degré puissance de \(2\) ?
Chaque intersection de droites et de cercles fait résoudre une équation de degré au plus \(2\) : on obtient une tour d’extensions de degré \(2\), et la base télescopique donne un degré total \(2^k\).
Deux corps finis de même cardinal sont-ils toujours isomorphes ?
Oui : tout corps à \(p^n\) éléments est un corps de décomposition de \(X^{p^n}-X\) sur \(\mathbb{F}_p\), unique à isomorphisme près. Mais l’isomorphisme n’est pas unique en général (il y a les puissances du Frobenius).
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