Ce QCM vérifie la maîtrise des équations différentielles en L3 : théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales, lemme de Gronwall, systèmes linéaires, stabilité des équilibres et méthode d’Euler. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Équations différentielles et théorème de Cauchy-Lipschitz du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Équations différentielles - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelle hypothèse sur \(f\) garantit, par le théorème de Cauchy-Lipschitz, l’existence et l’unicité d’une solution maximale de \(y' = f(t,y)\), \(y(t_0) = y_0\) ?
A\(f\) continue et lipschitzienne par rapport à \(t\)
B\(f\) continue et localement lipschitzienne par rapport à \(y\)
C\(f\) continue
D\(f\) de classe \(C^1\) par rapport à \(t\)
Question 2
Que dire du problème \(y' = 2\sqrt{|y|}\), \(y(0) = 0\) ?
AIl admet pour unique solution \(t\mapsto t^2\)
BIl n’admet aucune solution
CIl admet plusieurs solutions, dont \(0\) et \(t\mapsto t^2\,\mathbf{1}_{t\geqslant 0}\)
DIl admet pour unique solution la fonction nulle
Question 3
Quel est l’intervalle de définition de la solution maximale de \(y' = y^2\), \(y(0) = 1\) ?
A\(]0, 1[\)
B\(]-1, 1[\)
C\(]-\infty, 1[\)
D\(\mathbb{R}\)
Question 4
Pour l’équation \(y' = \sin(y) + e^{-t^2}\), toute solution maximale est :
Aglobale, définie sur \(\mathbb{R}\)
Bdéfinie sur un intervalle borné
Cglobale seulement si \(y(0) = 0\)
Dexplosive en temps fini
Question 5
Soit \(u\) continue positive avec \(u(t)\leqslant a + \int_0^t b\,u(s)\,ds\) pour \(t\geqslant 0\) (\(a, b\geqslant 0\)). Que donne le lemme de Gronwall ?
A\(u(t)\leqslant a\,e^{-bt}\)
B\(u(t)\leqslant a\,e^{t}\)
C\(u(t)\leqslant a + bt\)
D\(u(t)\leqslant a\,e^{bt}\)
Question 6
On considère \(y'' + 2y' + 5y = 0\). Que vaut le wronskien \(W(t)\) de deux solutions tel que \(W(0) = 1\) ?
A\(e^{2t}\)
B\(e^{-5t}\)
C\(e^{-t}\cos(2t)\)
D\(e^{-2t}\)
Question 7
Quelle est la solution de \(X' = AX\) avec \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(X(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ?
B\(X(t) = \begin{pmatrix} \cos t \\ -\sin t \end{pmatrix}\)
C\(X(t) = \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}\)
D\(X(t) = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}\)
Question 8
Quelle est la nature de l’équilibre \((0,0)\) du système \(x' = -x + y^2\), \(y' = -2y + x^2\) ?
AAsymptotiquement stable
BInstable
CStable mais non asymptotiquement stable
DOn ne peut pas conclure par linéarisation
Question 9
Le linéarisé d’un système autonome en un équilibre a pour valeurs propres \(\pm i\). Que peut-on dire de l’équilibre du système non linéaire ?
AIl est stable, comme un centre
BRien en général : la linéarisation ne permet pas de conclure
CIl est asymptotiquement stable
DIl est instable
Question 10
On applique la méthode d’Euler explicite à \(y' = y\), \(y(0) = 1\), avec un pas \(h = \frac12\). Quelle valeur approchée de \(y(1)\) obtient-on ?
A\(2\)
B\(\frac52\)
C\(\frac94\)
D\(e\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de équations différentielles en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les hypothèses de Cauchy-Lipschitz et un exemple de non-unicité ;
les solutions maximales, l’explosion en temps fini et le théorème des bouts ;
le lemme de Gronwall ;
les systèmes linéaires : wronskien et exponentielle de matrice ;
la stabilité par linéarisation et ses limites ;
la méthode d’Euler explicite.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : conclure à la stabilité d’un équilibre non linéaire quand le linéarisé a des valeurs propres imaginaires pures. La linéarisation ne conclut que si toutes les valeurs propres ont une partie réelle strictement négative (stabilité asymptotique) ou si l’une a une partie réelle strictement positive (instabilité).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour montrer qu’une solution maximale est globale, raisonnez par l’absurde avec le théorème des bouts : si l’intervalle est borné à droite, la solution sort de tout compact ; une majoration a priori (souvent par Gronwall) l’empêche. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi Cauchy-Lipschitz se démontre-t-il par un point fixe ?
Le problème \(y’ = f(t,y)\), \(y(t_0) = y_0\) équivaut à l’équation intégrale \(y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\,ds\). Sur un petit intervalle, l’opérateur de droite est contractant sur un fermé de \(C([t_0-\delta,t_0+\delta])\), complet pour \(\|\cdot\|_\infty\).
La continuité de \(f\) seule suffit-elle ?
Pour l’existence, oui (théorème de Cauchy-Peano). Pour l’unicité, non : \(y’ = 2\sqrt{|y|}\), \(y(0) = 0\) a une infinité de solutions.
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