Ce QCM vérifie la maîtrise de la réduction des endomorphismes en L3 : sous-espaces caractéristiques, décomposition de Dunford, nilpotents, réduction de Jordan, exponentielle de matrice et dualité. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Réduction de Jordan et décomposition de Dunford du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Réduction de Jordan - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Si \(\chi_u\) est scindé, la décomposition de Dunford écrit \(u = d + n\) de façon unique, avec :
A\(d\) inversible, \(n\) nilpotent et \(dn = nd\)
B\(d\) diagonalisable, \(n\) nilpotent et \(dn = nd\)
C\(d\) diagonalisable et \(n\) nilpotent, sans autre condition
D\(d\) diagonalisable, \(n\) nilpotent et \(dn = 0\)
Question 2
Quelle est la décomposition de Dunford de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) ?
D\(e^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Question 7
Soit \(u\) tel que \(\chi_u = (X-1)^3(X+2)^2\). Quelle est la dimension de \(\ker(u-\mathrm{id})^3\) ?
A\(5\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(1\)
Question 8
Une matrice de \(M_3(\mathbb{C})\) a pour polynôme caractéristique \((X-1)^3\) et pour polynôme minimal \((X-1)^2\). Quelle est sa réduite de Jordan ?
A\(J_2(1)\oplus J_2(1)\)
B\(I_3\)
C\(J_2(1)\oplus J_1(1)\)
D\(J_3(1)\)
Question 9
Dans \(\mathbb{R}^2\), quelle est la base duale de \(e_1 = (1,0)\), \(e_2 = (1,1)\) ?
A\(e_1^*(x,y) = x\) et \(e_2^*(x,y) = y - x\)
B\(e_1^*(x,y) = x\) et \(e_2^*(x,y) = y\)
C\(e_1^*(x,y) = x - y\) et \(e_2^*(x,y) = y\)
D\(e_1^*(x,y) = x - y\) et \(e_2^*(x,y) = x\)
Question 10
Pour \(u\in\mathcal{L}(E)\) en dimension finie, à quoi est égal \(\ker({}^t u)\), vu dans \(E^*\) ?
A\((\operatorname{Im}u)^\circ\), l’orthogonal de l’image de \(u\)
B\(\ker u\)
C\((\ker u)^\circ\), l’orthogonal du noyau de \(u\)
D\(\operatorname{Im}u\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de réduction de Jordan en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les sous-espaces caractéristiques et leur dimension ;
la décomposition de Dunford et la condition de commutation ;
les nilpotents : indice, noyaux itérés, tailles des blocs ;
la réduite de Jordan et la similitude de deux matrices ;
l’exponentielle d’un bloc de Jordan ;
la base duale et la transposée.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : écrire une matrice triangulaire comme « sa diagonale plus sa partie strictement triangulaire » et appeler cela sa décomposition de Dunford. Les deux morceaux doivent commuter : pour \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\), diagonalisable, la décomposition est \(A + 0\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour trouver la réduite de Jordan d’un nilpotent, calculez les dimensions des noyaux itérés \(\dim\ker N^k\) : leurs accroissements successifs donnent le nombre de blocs de taille au moins \(1, 2, 3,\dots\) (lecture en tableau de Young). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Polynômes caractéristique et minimal suffisent-ils à décider de la similitude ?
En dimension \(n\leq\, 3\), oui. À partir de \(n = 4\), non : deux nilpotents à blocs \((2,2)\) et \((2,1,1)\) ont le même polynôme caractéristique \(X^4\) et le même polynôme minimal \(X^2\) sans être semblables. Il faut les invariants de similitude.
À quoi sert la décomposition de Dunford ?
À calculer des fonctions de matrices : comme \(d\) et \(n\) commutent, \(e^{u} = e^{d}e^{n}\), où \(e^{n}\) est une somme finie car \(n\) est nilpotent.
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