Contrôle de maths L3 : inégalités de Hölder et espaces Lp

Exercice 1 : Question de cours, de Young à Hölder (5 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Dans tout le sujet, \((X, \mathcal{A}, \mu)\) est un espace mesuré, \(\lambda\) la mesure de Lebesgue, et \(L^p\) désigne l’espace des classes de fonctions mesurables égales presque partout dont la puissance \(p\)-ième du module est intégrable. Soient \(p, q \in \,]1, +\infty[\) tels que \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\).

1. Démontrez l’inégalité de Young : pour tous réels \(a, b \geq\, 0\), \(ab \leq\, \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\). On pourra utiliser la concavité du logarithme. (1,5 point)
2. Soient \(f, g : X \to \mathbb{R}\) mesurables. Démontrez l’inégalité de Hölder \(\displaystyle\int_X |f g| \,\mathrm{d}\mu \leq\, \|f\|_p \|g\|_q\), en traitant à part les cas où l’une des normes est nulle ou infinie. (2 points)
3. Quel cas particulier obtient-on pour \(p = q = 2\) ? Déduisez-en que, pour toute \(f \in L^2([0, 1])\), on a \(\|f\|_1 \leq\, \|f\|_2\). (1,5 point)

Exercice 2 : Inégalité de Jensen sur un espace de probabilité (4 points)

Soit \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) un espace de probabilité, \(\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction convexe, et \(Y\) une variable aléatoire intégrable telle que \(\varphi(Y)\) soit intégrable.

1. Énoncez l’inégalité de Jensen. (1 point)
2. On admet que, pour tout \(m \in \mathbb{R}\), il existe un réel \(c\) tel que \(\varphi(y) \geq\, \varphi(m) + c(y – m)\) pour tout réel \(y\) (droite d’appui). Démontrez l’inégalité de Jensen. Où utilise-t-on que \(P(\Omega) = 1\) ? (1,5 point)
3. Déduisez-en que \((E|Y|)^r \leq\, E(|Y|^r)\) pour \(r \geq\, 1\) lorsque \(|Y|^r\) est intégrable, puis que, pour des réels \(a_1, \ldots, a_n > 0\), \((a_1 a_2 \cdots a_n)^{1/n} \leq\, \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Inclusions entre espaces Lp (5 points)

1. Soient \(1 \leq\, p < q < +\infty\). Montrez que, pour toute \(f\) mesurable sur \([0, 1]\), \(\|f\|_p \leq\, \|f\|_q\) (appliquez Hölder à \(|f|^p \times 1\) avec l’exposant \(\frac{q}{p}\)). Déduisez-en \(L^q([0, 1]) \subset L^p([0, 1])\), puis traitez le cas \(q = +\infty\). (2 points)
2. Pour \(\alpha > 0\), on pose \(f_\alpha(x) = x^{-\alpha}\) sur \(]0, 1]\). Déterminez les \(p \geq\, 1\) tels que \(f_\alpha \in L^p(]0, 1])\). Montrez que l’inclusion de a) est stricte lorsque \(p < q < +\infty\). (1 point)
3. On se place sur \(\mathbb{R}\) muni de \(\lambda\). Montrez que \(g = \frac{1}{x} \mathbf{1}_{[1, +\infty[}\) appartient à \(L^2(\mathbb{R})\) mais pas à \(L^1(\mathbb{R})\), et que \(h = x^{-1/2} \mathbf{1}_{]0, 1]}\) appartient à \(L^1(\mathbb{R})\) mais pas à \(L^2(\mathbb{R})\). Que peut-on en conclure ? (2 points)

Exercice 4 : Problème, la bosse glissante et l’extraction presque partout (6 points)

Tout entier \(n \geq\, 1\) s’écrit de façon unique \(n = 2^k + j\) avec \(k \in \mathbb{N}\) et \(0 \leq\, j < 2^k\). On pose \(I_n = [\frac{j}{2^k}, \frac{j+1}{2^k}]\) et \(f_n = \mathbf{1}_{I_n}\) sur \([0, 1]\). La figure montre \(f_2\) à \(f_7\) : la « bosse » parcourt \([0, 1]\), puis recommence deux fois plus étroite.

1. Soit \(1 \leq\, p < +\infty\). Calculez \(\|f_n\|_p\) et montrez que \(f_n \to 0\) dans \(L^p([0, 1])\). Est-ce encore vrai dans \(L^{\infty}\) ? (1,5 point)
2. Montrez que, pour tout \(x \in [0, 1]\), la suite \((f_n(x))\) prend une infinité de fois la valeur 1 et une infinité de fois la valeur 0. Expliquez pourquoi modifier chaque \(f_n\) sur un ensemble négligeable ne change pas la conclusion : \((f_n)\) ne converge presque partout vers aucune fonction. (1,5 point)
3. Exhibez une sous-suite de \((f_n)\) qui converge vers 0 presque partout. (1 point)
4. Soient \(1 \leq\, p < +\infty\) et \((g_n)\) une suite de \(L^p(X, \mu)\) qui converge vers \(g\) dans \(L^p\). Montrez qu’il existe une suite strictement croissante \((n_k)\) telle que \(\|g_{n_k} – g\|_p \leq\, 2^{-k}\), puis que \(S = \sum_{k \geq\, 1} |g_{n_k} – g|\) vérifie \(\|S\|_p \leq\, 1\). Concluez que \(g_{n_k} \to g\) presque partout. (2 points)

Réviser avant le contrôle : inégalités de Hölder et espaces Lp

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces Lp » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces lp.

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