Inversion locale et extrema liés : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Homéomorphisme ou difféomorphisme

On compare trois bijections régulières.

1. Montrer que \(f : x \mapsto x^3\) est un homéomorphisme de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\), mais pas un \(C^1\)-difféomorphisme.
2. Montrer que \(g : x \mapsto x + x^3\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Calculer \((g^{-1})^{\prime}(2)\).
3. Soit \(h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(h(x,y) = (x + y^3, y)\). Montrer que \(h\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) et donner \(h^{-1}\).

Exercice 2 : Coordonnées polaires

Soient \(\Omega = ]0,+\infty[ \times ]-\pi,\pi[\) et \(\Phi : \Omega \to \mathbb{R}^2\), \(\Phi(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\). On note \(D = \mathbb{R}^2 \setminus (\mathbb{R}_- \times \{0\})\).

1. Justifier que \(\Phi\) est de classe \(C^\infty\) et calculer son jacobien.
2. Montrer que \(\Phi\) est injective sur \(\Omega\) et que \(\Phi(\Omega) = D\).
3. En déduire que \(\Phi\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(\Omega\) sur \(D\).
4. Calculer la matrice jacobienne de \(\Phi^{-1}\) au point \((0,1)\).
5. Retrouver le résultat en dérivant \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) et \(\theta = \arccos\big(x/\sqrt{x^2+y^2}\big)\), valable pour \(y > 0\).

Exercice 3 : L’exponentielle complexe vue dans le plan

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x,y) = (e^x\cos y, e^x\sin y)\).

1. Montrer que \(Df(x,y)\) est inversible en tout point.
2. Montrer que \(f\) n’est pas injective et que \(f(\mathbb{R}^2) = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\).
3. Montrer que la restriction de \(f\) à \(\mathbb{R} \times ]-\pi,\pi[\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme sur \(\mathbb{R}^2 \setminus (\mathbb{R}_- \times \{0\})\).
4. Calculer la différentielle de cette réciproque au point \((1,0)\).

Exercice 4 : Le carré complexe et son point critique

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x,y) = (x^2 – y^2, 2xy)\). Il s’agit de \(z \mapsto z^2\) écrit en coordonnées réelles.

1. Calculer le jacobien de \(f\). En quels points le théorème d’inversion locale s’applique-t-il ?
2. Montrer que \(f\) n’est injective sur aucun voisinage de \((0,0)\).
3. Soit \(g\) la réciproque locale de \(f\) près de \((1,1)\). Calculer \(Dg(0,2)\).
4. Soit \(P = \{(x,y) : x > 0\}\). Montrer que \(f\) induit un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(P\) sur \(\mathbb{R}^2 \setminus (\mathbb{R}_- \times \{0\})\).

Exercice 5 : Perturbation lipschitzienne de l’identité

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme \(\|(x,y)\|_\infty = \max(|x|,|y|)\). Soit \(f(x,y) = \big(x + \frac{1}{2}\sin y,\ y + \frac{1}{2}\sin x\big)\) et \(g = f – \mathrm{id}\).

1. Montrer que \(g\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne.
2. Montrer que \(\|f(u) – f(v)\|_\infty \geq\, \frac{1}{2}\|u – v\|_\infty\) pour tous \(u, v\). En déduire que \(f\) est injective.
3. Soit \(w \in \mathbb{R}^2\). En étudiant \(u \mapsto w – g(u)\), montrer que \(w\) a un antécédent par \(f\).
4. Montrer que \(Df(x,y)\) est inversible en tout point. Conclure que \(f\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).
5. Généraliser : si \(g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) est \(C^1\) et \(k\)-lipschitzienne avec \(k < 1\), alors \(\mathrm{id} + g\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^n\).

Exercice 6 : Inversion locale quantitative

Soit \(\|\cdot\|\) une norme sur \(\mathbb{R}^n\), et la norme d’opérateur associée. Soient \(r > 0\) et \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) de classe \(C^1\) avec \(f(0) = 0\) et \(\|Df(x) – I\| \leq\, \frac{1}{2}\) pour \(\|x\| \leq\, r\). On pose \(h = \mathrm{id} – f\).

1. Montrer que \(h\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne sur \(\overline{B}(0,r)\) et que \(\|h(x)\| \leq\, \frac{1}{2}\|x\|\).
2. Soit \(y\) avec \(\|y\| \leq\, r/2\). Montrer que \(\varphi_y : x \mapsto y + h(x)\) envoie \(\overline{B}(0,r)\) dans elle-même et y est contractante.
3. En déduire que \(y\) a un unique antécédent \(x\) dans \(\overline{B}(0,r)\), et que \(\|x\| \leq\, 2\|y\|\).
4. Application : \(f(x,y) = \big(x + \frac{y^2}{4},\ y + \frac{x^2}{4}\big)\) avec la norme \(\|\cdot\|_\infty\). Vérifier les hypothèses pour \(r = 1\). Que peut-on conclure ?
5. Pour \(w = (\frac{1}{2}, 0)\), calculer les itérés \(x_1, x_2\) de \(\varphi_w\) à partir de \(x_0 = 0\), et majorer \(\|x_2 – x^{*}\|_\infty\), où \(x^{*}\) est l’antécédent cherché.

Exercice 7 : Le folium de Descartes

Soit \(F(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy\) et \(C\) la courbe d’équation \(F(x,y) = 0\), représentée ci-dessous.

1. Vérifier que \(A = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) \in C\). Montrer qu’au voisinage de \(A\), \(C\) est le graphe d’une fonction \(y = \varphi(x)\) de classe \(C^\infty\).
2. Calculer \(\varphi^{\prime}(\frac{3}{2})\) et \(\varphi^{\prime\prime}(\frac{3}{2})\). Donner la tangente en \(A\) et la position de \(C\) par rapport à elle.
3. Déterminer les points de \(C\) où \(\partial_yF = 0\). Que se passe-t-il en celui qui n’est pas l’origine ?
4. On admet que \(C\) est paramétrée par \(x = \frac{3t}{1+t^3}\), \(y = \frac{3t^2}{1+t^3}\), \(t \neq -1\). Vérifier ce point, puis montrer que \(C\) n’est pas un graphe \(y = \varphi(x)\) au voisinage de l’origine.

Exercice 8 : Développement limité d’une fonction implicite

On considère la surface \(S\) d’équation \(e^z + xz + y = 1\) dans \(\mathbb{R}^3\).

1. Montrer qu’au voisinage de \((0,0,0)\), \(S\) est le graphe d’une fonction \(z = \varphi(x,y)\) de classe \(C^\infty\) avec \(\varphi(0,0) = 0\).
2. Calculer \(\partial_x\varphi(0,0)\) et \(\partial_y\varphi(0,0)\). En déduire le plan tangent à \(S\) en l’origine.
3. Déterminer le développement limité de \(\varphi\) à l’ordre 2 en \((0,0)\).
4. La surface \(S\) traverse-t-elle son plan tangent en l’origine ?

Exercice 9 : Racines simples et valeurs propres simples

Partie A. Pour \(a = (a_0, \ldots, a_{n-1}) \in \mathbb{R}^n\), on note \(P_a = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0\) et \(F(a,x) = P_a(x)\). Soit \(a^0 \in \mathbb{R}^n\) et \(x_0\) une racine réelle simple de \(P_{a^0}\).

1. Montrer qu’il existe un voisinage \(V\) de \(a^0\), un intervalle ouvert \(I \ni x_0\) et \(\xi : V \to I\) de classe \(C^\infty\) tels que, pour \((a,x) \in V \times I\), \(P_a(x) = 0 \Leftrightarrow x = \xi(a)\).
2. Montrer que \(\dfrac{\partial \xi}{\partial a_k}(a^0) = -\dfrac{x_0^k}{P_{a^0}^{\prime}(x_0)}\).
3. Application : on perturbe \(X^2 – 3X + 2\) en \(X^2 – 3X + 2 + \varepsilon\). Donner un équivalent du déplacement de la racine \(2\), puis le vérifier sur la formule exacte.
4. Montrer que l’ensemble des \(a \in \mathbb{R}^n\) tels que \(P_a\) a \(n\) racines réelles distinctes est un ouvert de \(\mathbb{R}^n\).

Partie B. Pour \(t \in \mathbb{R}\), soit \(M(t) = \begin{pmatrix} 1 t \\ t 2 \end{pmatrix}\).

1. Montrer qu’il existe une fonction \(\lambda\) de classe \(C^\infty\) au voisinage de \(0\), avec \(\lambda(0) = 1\) et \(\lambda(t)\) valeur propre de \(M(t)\).
2. Calculer \(\lambda^{\prime}(0)\) et \(\lambda^{\prime\prime}(0)\) sans résoudre l’équation, puis vérifier avec la formule explicite de \(\lambda(t)\).

Exercice 10 : Plan tangent à un hyperboloïde

Soit \(H\) l’hyperboloïde à une nappe d’équation \(x^2 + y^2 – z^2 = 1\), et \(A = (1,1,1)\).

1. Montrer que \(H\) est une sous-variété de dimension 2 de \(\mathbb{R}^3\).
2. Vérifier que \(A \in H\) et déterminer l’équation du plan tangent à \(H\) en \(A\).
3. Montrer que les droites \(A + \mathbb{R}(1,0,1)\) et \(A + \mathbb{R}(0,1,1)\) sont contenues dans \(H\) et dans ce plan tangent.
4. Soit \(K\) le cône \(x^2 + y^2 – z^2 = 0\). Montrer que \(K \setminus \{0\}\) est une sous-variété de dimension 2. En utilisant les droites \(t \mapsto t(\cos\alpha, \sin\alpha, 1)\), montrer que \(K\) n’est une sous-variété de dimension 2 sur aucun voisinage de \(0\).

Exercice 11 : Intersection d’une sphère et d’un plan

Soit \(\Gamma\) l’ensemble des points de \(\mathbb{R}^3\) tels que \(x^2 + y^2 + z^2 = 14\) et \(x + y + z = 6\). Soit \(A = (1,2,3)\).

1. Montrer que \(\Gamma\) est une sous-variété de dimension 1 de \(\mathbb{R}^3\).
2. Vérifier que \(A \in \Gamma\). Montrer qu’au voisinage de \(A\), \(\Gamma\) s’écrit \(\{(x, \varphi(x), \psi(x))\}\) avec \(\varphi, \psi\) de classe \(C^\infty\). Calculer \(\varphi^{\prime}(1)\) et \(\psi^{\prime}(1)\).
3. Donner la droite tangente à \(\Gamma\) en \(A\), puis retrouver sa direction par un produit vectoriel.
4. Montrer que \(\Gamma\) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 12 : Le groupe spécial linéaire

On identifie \(M_n(\mathbb{R})\) à \(\mathbb{R}^{n^2}\). On note \(SL_n(\mathbb{R}) = \{A : \det A = 1\}\).

1. Montrer que \(\det(I_n + H) = 1 + \mathrm{tr}(H) + o(\|H\|)\).
2. En déduire que, pour \(A\) inversible, \(D(\det)(A)(H) = \det(A)\,\mathrm{tr}(A^{-1}H)\).
3. Montrer que \(SL_n(\mathbb{R})\) est une sous-variété de dimension \(n^2 – 1\) de \(M_n(\mathbb{R})\).
4. Déterminer l’espace tangent en \(A \in SL_n(\mathbb{R})\), puis en \(I_n\).
5. Vérifier le résultat avec les courbes \(t \mapsto \exp(tH)\), où \(\mathrm{tr}(H) = 0\).

Exercice 13 : Extrema libres d’un polynôme de degré 3

Soit \(f(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Étudier leur nature à l’aide de la hessienne.
3. Les extrema trouvés sont-ils globaux ?
4. Quel lien voyez-vous avec la courbe de l’exercice 7 ?

Exercice 14 : Un point critique dégénéré

Soit \(f(x,y) = x^4 + y^4 – 2(x – y)^2\).

1. Déterminer les trois points critiques de \(f\).
2. Étudier la nature des points critiques autres que l’origine.
3. Montrer que la hessienne en \((0,0)\) ne permet pas de conclure, puis étudier directement \(f\) près de l’origine.
4. Montrer que \(f(x,y) \to +\infty\) quand \(\|(x,y)\| \to +\infty\). En déduire le minimum global de \(f\).

Exercice 15 : Extrema sur une ellipse

Soit \(E\) l’ellipse d’équation \(x^2 + 4y^2 = 8\) et \(f(x,y) = xy\).

1. Justifier que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(E\).
2. Écrire les conditions de Lagrange et déterminer les points candidats.
3. Conclure. Interpréter géométriquement à l’aide des hyperboles \(xy = c\).

Exercice 16 : Deux contraintes dans l’espace

On cherche les extrema de \(f(x,y,z) = z\) sur \(\Gamma = \{x^2 + y^2 = 1,\ x + y + z = 1\}\), intersection d’un cylindre et d’un plan.

1. Montrer que \(\Gamma\) est compacte et que les gradients des deux contraintes sont libres en tout point de \(\Gamma\).
2. Écrire les conditions de Lagrange avec deux multiplicateurs et les résoudre.
3. Donner le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\Gamma\).
4. Retrouver le résultat en paramétrant le cercle \(x = \cos t\), \(y = \sin t\).

Exercice 17 : Quotient de Rayleigh

Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\) symétrique et \(q(x) = \langle Ax, x \rangle\). On note \(S\) la sphère unité euclidienne de \(\mathbb{R}^n\).

1. Calculer \(\nabla q(x)\). Justifier que \(q\) atteint un maximum et un minimum sur \(S\).
2. Montrer, par les multiplicateurs de Lagrange, que tout point \(x \in S\) où \(q_{|S}\) est extrémale est un vecteur propre de \(A\). En déduire que \(A\) admet une valeur propre réelle.
3. Montrer que \(\max_S q\) est la plus grande valeur propre de \(A\), et \(\min_S q\) la plus petite.
4. Application : extrema de \(2x^2 + 2xy + 2y^2\) sur le cercle unité.

Exercice 18 : Inégalité arithmético-géométrique

Soient \(n \geq\, 2\), \(s > 0\), \(K = \{x \in \mathbb{R}_+^n : x_1 + \cdots + x_n = s\}\) et \(P(x) = x_1 x_2 \cdots x_n\).

1. Montrer que \(P\) atteint son maximum sur \(K\) en un point dont toutes les coordonnées sont strictement positives.
2. Par les multiplicateurs de Lagrange, montrer que ce maximum est atteint en \((\frac{s}{n}, \ldots, \frac{s}{n})\) et vaut \((\frac{s}{n})^n\).
3. En déduire que, pour \(x_1, \ldots, x_n \geq\, 0\), \((x_1 \cdots x_n)^{1/n} \leq\, \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\), avec égalité si et seulement si les \(x_i\) sont égaux.
4. Application : parmi les pavés droits dont la somme des trois dimensions vaut \(3\), lequel a le plus grand volume ?

Exercice 19 : Triangle d’aire maximale

Un triangle de côtés \(a, b, c\) et de demi-périmètre \(p\) a pour aire \(S\) donnée par la formule de Héron : \(S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)\). On fixe \(p > 0\).

1. On pose \(u = p – a\), \(v = p – b\), \(w = p – c\). Montrer que \(u, v, w > 0\) et \(u + v + w = p\).
2. Maximiser \(uvw\) sur \(\{u, v, w \geq\, 0,\ u + v + w = p\}\) à l’aide des multiplicateurs de Lagrange, sans utiliser l’exercice 18.
3. En déduire que le triangle d’aire maximale de périmètre \(2p\) est équilatéral, et que son aire vaut \(\frac{p^2\sqrt{3}}{9}\).
4. Montrer que tout triangle d’aire \(S\) a un périmètre au moins égal à \(2\sqrt{3\sqrt{3}\,S}\).

Exercice 20 : Minimisation d’une fonction quadratique

Soit \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2 – 3x\).

1. Calculer la hessienne de \(f\) et montrer que \(f\) est strictement convexe.
2. Déterminer le minimum global de \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\).
3. Plus généralement, soient \(A\) symétrique définie positive et \(b \in \mathbb{R}^n\). Montrer que \(J(x) = \frac{1}{2}\langle Ax, x \rangle – \langle b, x \rangle\) admet un unique minimum, atteint en \(A^{-1}b\), et qu’il vaut \(-\frac{1}{2}\langle A^{-1}b, b \rangle\).
4. Retrouver le résultat de la question 2 à partir de la question 3.

Exercice 21 : Droite des moindres carrés

On cherche la droite \(y = ax + c\) qui approche au mieux les points \((0,1)\), \((1,1)\) et \((2,3)\), représentés ci-dessous. On minimise \(S(a,c) = \sum_{i=1}^{3} (y_i – ax_i – c)^2\).

1. Montrer que \(S\) est strictement convexe sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Écrire les équations normales et déterminer la droite des moindres carrés.
3. Calculer les résidus \(y_i – ax_i – c\), la valeur minimale de \(S\), et vérifier que les résidus sont orthogonaux à \((1,1,1)\) et à \((x_1, x_2, x_3)\).
4. Généraliser : si \(A \in M_{m,n}(\mathbb{R})\) est de rang \(n\) et \(b \in \mathbb{R}^m\), montrer que \(x \mapsto \|Ax – b\|^2\) a un unique minimum, solution de \(A^{T}Ax = A^{T}b\).

Exercice 22 : Distance à un hyperplan

Soient \(a \in \mathbb{R}^n\) non nul, \(c \in \mathbb{R}\), \(H = \{x : \langle a, x \rangle = c\}\) et \(x_0 \in \mathbb{R}^n\). On minimise \(f(x) = \|x – x_0\|^2\) sur \(H\).

1. Écrire la condition de Lagrange et en déduire un unique point candidat \(x^{*}\).
2. Justifier que \(x^{*}\) réalise le minimum global, de deux façons : par convexité, puis par le théorème de Pythagore.
3. En déduire la distance de \(x_0\) à \(H\).
4. Application : distance de l’origine au plan \(x + 2y + 2z = 9\), et point du plan le plus proche.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : inversion locale et extrema liés, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Calcul différentiel dans les espaces normés, Complétude, espaces de Banach et point fixe
• Chapitre précédent : Calcul différentiel dans les espaces normés
• Chapitre suivant : Équations différentielles et théorème de Cauchy-Lipschitz
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3