Espaces métriques : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Distance discrète

Soit \(X\) un ensemble non vide. Pour \(x, y \in X\), on pose \(\delta(x, y) = 1\) si \(x \neq y\) et \(\delta(x, x) = 0\).

1. Montrer que \(\delta\) est une distance sur \(X\).
2. Décrire les boules \(B(a, r)\) et \(B_f(a, r)\) selon la valeur de \(r > 0\).
3. Montrer que toute partie de \(X\) est à la fois ouverte et fermée pour \(\delta\).
4. Caractériser les suites convergentes de \((X, \delta)\).
5. Montrer que toute application de \((X, \delta)\) vers un espace métrique quelconque est continue.
6. On prend \(X = \mathbb{R}\). Déterminer les applications continues de \((\mathbb{R}, |\cdot|)\) vers \((\mathbb{R}, \delta)\).

Exercice 2 : Les distances d1, d2 et d∞ du plan

Pour \(u = (x, y)\) et \(v = (x^{\prime}, y^{\prime})\) dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(d_1(u, v) = |x – x^{\prime}| + |y – y^{\prime}|\), \(d_2(u, v) = \sqrt{(x – x^{\prime})^2 + (y – y^{\prime})^2}\) et \(d_\infty(u, v) = \max(|x – x^{\prime}|, |y – y^{\prime}|)\).

1. Calculer les trois distances entre \(u = (1, 2)\) et \(v = (4, -2)\).
2. Montrer que \(d_\infty\) est une distance sur \(\mathbb{R}^2\).
3. Montrer que \(d_\infty \leq\, d_2 \leq\, d_1 \leq\, 2\, d_\infty\).
4. Montrer que \(d_1 \leq\, \sqrt{2}\, d_2\) et que la constante \(\sqrt{2}\) est optimale.
5. En déduire que les trois distances ont les mêmes ouverts et les mêmes suites convergentes.

Exercice 3 : Fonctions d’une distance

Soit \((X, d)\) un espace métrique. Soit \(\varphi : [0, +\infty[ \to [0, +\infty[\) une fonction croissante, telle que \(\varphi(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0\), et sous-additive : \(\varphi(a + b) \leq\, \varphi(a) + \varphi(b)\) pour tous \(a, b \geq\, 0\).

1. Montrer que \(\varphi \circ d\) est une distance sur \(X\).
2. Vérifier que \(\varphi_1(t) = \min(1, t)\), \(\varphi_2(t) = \frac{t}{1 + t}\) et \(\varphi_3(t) = \sqrt{t}\) conviennent.
3. On note \(d^{\prime} = \min(1, d)\). Comparer les boules ouvertes de \(d\) et de \(d^{\prime}\), puis montrer que \(d\) et \(d^{\prime}\) ont les mêmes ouverts.
4. On note \(d^{\prime\prime} = \frac{d}{1 + d}\). Exprimer \(B_{d^{\prime\prime}}(x, r)\) à l’aide d’une boule de \(d\), selon que \(r < 1\) ou \(r \geq\, 1\). Conclure comme à la question précédente.
5. Sur \(\mathbb{R}\) muni de la distance usuelle, \(\mathbb{R}\) est-il borné ? Et pour \(d^{\prime}\) ? Que peut-on en conclure sur la notion de partie bornée ?

Exercice 4 : La distance SNCF

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne \(\|\cdot\|\) et on note \(O\) l’origine. On dit que \(x\) et \(y\) sont alignés avec \(O\) si les vecteurs \(x\) et \(y\) sont colinéaires. On pose \(d(x, y) = \|x – y\|\) si \(x\) et \(y\) sont colinéaires, et \(d(x, y) = \|x\| + \|y\|\) sinon. Comme le suggère la figure ci-dessous, pour aller de \(a\) à \(b\) non alignés avec \(O\), il faut passer par \(O\).

1. Calculer \(d(a, b)\) et \(d(a, c)\) pour \(a = (3, 0)\), \(b = (0, 4)\) et \(c = (6, 0)\). Comparer avec la distance euclidienne.
2. Montrer que \(d\) est une distance et que \(\|x – y\| \leq\, d(x, y)\) pour tous \(x, y\).
3. On pose \(a = (2, 0)\). Décrire et dessiner \(B(a, 1)\) et \(B(a, 3)\). Plus généralement, décrire \(B(a, r)\) pour \(a \neq O\) et \(r > 0\), puis \(B(O, r)\).
4. Soit \(u \neq O\). Montrer que la demi-droite ouverte \(L = \{t u : t > 0\}\) est ouverte pour \(d\). Est-elle ouverte pour la distance euclidienne ?
5. Montrer que l’identité de \((\mathbb{R}^2, d)\) vers \((\mathbb{R}^2, \|\cdot\|)\) est continue, mais que sa réciproque n’est pas continue en \((1, 0)\).

Exercice 5 : La distance arctangente sur R

Pour \(x, y \in \mathbb{R}\), on pose \(d(x, y) = |\arctan x – \arctan y|\).

1. Montrer que \(d\) est une distance sur \(\mathbb{R}\) et que \(\mathbb{R}\) est borné pour \(d\).
2. Montrer que \(d(x, y) \leq\, |x – y|\) pour tous réels \(x, y\).
3. Montrer qu’il n’existe aucune constante \(c > 0\) telle que \(|x – y| \leq\, c\, d(x, y)\) pour tous \(x, y\).
4. Montrer que \(d\) et la distance usuelle ont les mêmes ouverts.
5. La suite \(u_n = n\) converge-t-elle dans \((\mathbb{R}, d)\) ? Calculer \(\lim_{n, m \to +\infty} d(u_n, u_m)\) et commenter.

Exercice 6 : Ouvert ou fermé ? Parties du plan

Le plan \(\mathbb{R}^2\) est muni de la distance euclidienne. Pour chacune des parties suivantes, dire si elle est ouverte, fermée, les deux ou aucun des deux, en justifiant.

1. \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy > 1\}\).
2. \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 \leq\, y \leq\, 1\}\).
3. \(C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in \mathbb{Q}\}\).
4. \(D = \{(x, 0) : 0 < x \leq\, 1\}\).
5. \(E = \bigcup_{n \geq\, 1} B_f(O, 1 – \frac{1}{n})\). Que montre cet exemple ?

Exercice 7 : Intérieur, adhérence et frontière dans R

Dans \(\mathbb{R}\) muni de la distance usuelle, déterminer l’intérieur, l’adhérence et la frontière des parties suivantes.

1. \(A = [0, 1[ \cup \{2\}\).
2. \(\mathbb{Z}\).
3. \(\mathbb{Q}\).
4. \(B = \{ \frac{1}{n} : n \geq\, 1 \}\).
5. \(C = ]0, 1[ \cap \mathbb{Q}\).

Exercice 8 : Intérieur et adhérence d’une partie du plan

Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien, on considère le demi-disque ouvert \(D^{+} = \{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > 0\}\), le segment \(S = [0, 1] \times \{0\}\) et le point \(P = (0, -\frac{1}{2})\). On pose \(E = D^{+} \cup S \cup \{P\}\), représentée ci-dessous.

1. Montrer que \(D^{+}\) est ouvert et que \(K = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq\, 1,\ y \geq\, 0\}\) est fermé.
2. Déterminer \(\mathring{E}\).
3. Déterminer \(\overline{E}\).
4. En déduire \(\operatorname{Fr}(E)\). La partie \(E\) est-elle ouverte ? fermée ?

Exercice 9 : Boule fermée et adhérence de la boule ouverte

Soient \((X, d)\) un espace métrique, \(a \in X\) et \(r > 0\).

1. Montrer que \(B_f(a, r)\) est fermée et que \(\overline{B(a, r)} \subset B_f(a, r)\).
2. On suppose que \(X = E\) est un espace vectoriel normé non réduit à \(\{0\}\), avec \(d(x, y) = \|x – y\|\). Montrer que \(\overline{B(a, r)} = B_f(a, r)\).
3. Dans ce même cadre, montrer que l’intérieur de \(B_f(a, r)\) est \(B(a, r)\) et que la frontière de \(B(a, r)\) est la sphère \(S(a, r)\).
4. On munit un ensemble \(X\) ayant au moins deux éléments de la distance discrète. Calculer \(\overline{B(a, 1)}\), \(B_f(a, 1)\) et l’intérieur de \(B_f(a, 1)\). Conclure.

Exercice 10 : Opérations sur l’intérieur et l’adhérence

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un espace métrique \(X\).

1. Montrer que si \(A \subset B\), alors \(\mathring{A} \subset \mathring{B}\) et \(\overline{A} \subset \overline{B}\).
2. Montrer que \(\operatorname{Int}(A \cap B) = \mathring{A} \cap \mathring{B}\) et que \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\).
3. Montrer que \(\mathring{A} \cup \mathring{B} \subset \operatorname{Int}(A \cup B)\) et \(\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}\). Montrer, à l’aide de \(A = \mathbb{Q}\) et \(B = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), que ces inclusions peuvent être strictes.
4. Montrer que \(X \setminus \overline{A} = \operatorname{Int}(X \setminus A)\).
5. Soit \(U\) un ouvert de \(X\). Montrer que \(U \cap \overline{A} \subset \overline{U \cap A}\). Donner un exemple dans \(\mathbb{R}\) montrant que l’hypothèse « \(U\) ouvert » est nécessaire.

Exercice 11 : Parties denses

1. Montrer que l’ensemble \(\mathcal{D} = \{ \frac{k}{2^n} : k \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N} \}\) des nombres dyadiques est dense dans \(\mathbb{R}\).
2. On munit \(M_n(\mathbb{R})\) de la norme \(\|M\| = \max_{i, j} |m_{ij}|\). Montrer que \(GL_n(\mathbb{R})\) est un ouvert dense de \(M_n(\mathbb{R})\).
3. Soient \(U\) et \(V\) deux ouverts denses d’un espace métrique \(X\). Montrer que \(U \cap V\) est un ouvert dense.
4. Montrer par un exemple que l’intersection de deux parties denses peut être vide.

Exercice 12 : Caractérisation séquentielle dans C([0,1])

On note \(E = C([0, 1], \mathbb{R})\), muni de \(d_\infty(f, g) = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t) – g(t)|\).

1. Justifier que \(d_\infty\) est bien définie et que c’est une distance sur \(E\).
2. Montrer que \(F = \{f \in E : f(0) = 0\}\) est fermée, à l’aide de la caractérisation séquentielle.
3. Montrer que \(G = \{f \in E : \forall t \in [0, 1],\ f(t) > 0\}\) est ouverte.
4. On pose \(H = \{f \in E : \forall t \in [0, 1],\ f(t) \geq\, 0\}\). Montrer que \(H\) est fermée, puis que \(\mathring{H} = G\) et \(\overline{G} = H\).

Exercice 13 : Topologie induite

1. On pose \(Y = [0, 2[\), muni de la distance induite par \(\mathbb{R}\). Calculer \(B_Y(0, 1)\) et \(B_Y(1, \frac{1}{2})\). Montrer que \([0, 1[\) est ouvert dans \(Y\) et que \([1, 2[\) est fermé dans \(Y\). Ces parties sont-elles ouvertes ou fermées dans \(\mathbb{R}\) ?
2. Dans \(Y = \mathbb{Q}\), on considère \(A = \{q \in \mathbb{Q} : \sqrt{2} < q < \sqrt{3}\}\). Montrer que \(A\) est à la fois ouverte et fermée dans \(\mathbb{Q}\). Est-elle ouverte ou fermée dans \(\mathbb{R}\) ?
3. Montrer que toute partie de \(\mathbb{Z}\) est ouverte pour la distance induite par \(\mathbb{R}\).
4. Soit \(Y\) un ouvert d’un espace métrique \(X\) et \(U \subset Y\). Montrer que \(U\) est ouvert dans \(Y\) si et seulement si \(U\) est ouvert dans \(X\). Énoncer et prouver le résultat analogue pour les fermés lorsque \(Y\) est fermé.

Exercice 14 : Continuité par image réciproque

1. On munit \(M_n(\mathbb{R})\) d’une norme. Montrer que \(GL_n(\mathbb{R})\) est ouvert, que \(SL_n(\mathbb{R}) = \{M : \det M = 1\}\) est fermé et que \(O_n(\mathbb{R})\) est fermé.
2. On identifie le polynôme \(P = aX^2 + bX + c\) au triplet \((a, b, c) \in \mathbb{R}^3\). Montrer que l’ensemble des polynômes de degré 2 ayant deux racines réelles distinctes est un ouvert de \(\mathbb{R}^3\).
3. Montrer que \(\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 < z < 1\}\) est ouvert et que \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^4 + y^2 = 1\}\) est fermé.
4. Montrer par des exemples que l’image directe d’un ouvert, ou d’un fermé, par une application continue de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) n’est pas forcément ouverte, ou fermée.

Exercice 15 : Distance à une partie

Soient \((X, d)\) un espace métrique et \(A\) une partie non vide de \(X\). Pour \(x \in X\), on pose \(d_A(x) = \inf_{a \in A} d(x, a)\).

1. Montrer que \(|d_A(x) – d_A(y)| \leq\, d(x, y)\) pour tous \(x, y\). Que peut-on en déduire ?
2. Montrer que \(d_A(x) = 0\) si et seulement si \(x \in \overline{A}\).
3. En déduire que tout fermé \(F\) non vide est une intersection dénombrable d’ouverts.
4. Soient \(A\) et \(B\) deux fermés non vides et disjoints. On pose \(f = \frac{d_A}{d_A + d_B}\). Montrer que \(f\) est bien définie et continue, et calculer \(f\) sur \(A\) et sur \(B\).
5. En déduire qu’il existe deux ouverts disjoints \(U\) et \(V\) tels que \(A \subset U\) et \(B \subset V\).
6. Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien, calculer \(d_A\) lorsque \(A\) est l’axe des abscisses, puis lorsque \(A\) est le disque ouvert \(B(O, 1)\).

Exercice 16 : Applications lipschitziennes

1. Montrer que \(x \mapsto \sqrt{1 + x^2}\) est \(1\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que la racine carrée n’est pas lipschitzienne sur \([0, 1]\), mais qu’elle est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne sur \([1, +\infty[\).
3. Soient \(f : X \to Y\) \(k\)-lipschitzienne et \(g : Y \to Z\) \(k^{\prime}\)-lipschitzienne. Montrer que \(g \circ f\) est \(k k^{\prime}\)-lipschitzienne.
4. Montrer que \(s : (x, y) \mapsto x + y\) est \(1\)-lipschitzienne de \((\mathbb{R}^2, d_1)\) dans \(\mathbb{R}\), et \(2\)-lipschitzienne de \((\mathbb{R}^2, d_\infty)\) dans \(\mathbb{R}\). Les constantes sont-elles optimales ?
5. Soit \((X, d)\) un espace métrique. Montrer que \(d : X \times X \to \mathbb{R}\) est \(1\)-lipschitzienne lorsque \(X \times X\) est muni de la distance \(D((x, y), (x^{\prime}, y^{\prime})) = d(x, x^{\prime}) + d(y, y^{\prime})\).

Exercice 17 : Continuité uniforme

1. Soit \(f : (X, d) \to (Y, d^{\prime})\). Montrer que \(f\) n’est pas uniformément continue si et seulement s’il existe \(\varepsilon > 0\) et deux suites \((x_n)\), \((y_n)\) de \(X\) telles que \(d(x_n, y_n) \to 0\) et \(d^{\prime}(f(x_n), f(y_n)) \geq\, \varepsilon\) pour tout \(n\).
2. En déduire que \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(x \mapsto \sin(x^2)\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\), bien qu’elle soit bornée.
4. Montrer que \(\ln\) n’est pas uniformément continue sur \(]0, 1]\).
5. Montrer que \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leq\, \sqrt{|x – y|}\) pour tous \(x, y \geq\, 0\). En déduire que la racine carrée est uniformément continue sur \([0, +\infty[\).

Exercice 18 : Homéomorphismes

1. Montrer que \(\varphi : x \mapsto \frac{x}{1 + |x|}\) est un homéomorphisme de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1, 1[\), et expliciter sa réciproque.
2. Montrer de même que \(\Phi : x \mapsto \frac{x}{1 + \|x\|}\) est un homéomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) euclidien sur le disque ouvert \(B(O, 1)\).
3. Montrer que \(]0, 1[\) et \(\mathbb{R}\) sont homéomorphes.
4. On note \(\mathbb{U}\) le cercle unité de \(\mathbb{R}^2\) et \(g : [0, 2\pi[ \to \mathbb{U}\), \(t \mapsto (\cos t, \sin t)\). Montrer que \(g\) est une bijection continue, mais que \(g^{-1}\) n’est pas continue en \((1, 0)\).
5. Citer une propriété préservée par homéomorphisme et une propriété qui ne l’est pas, en s’appuyant sur les questions précédentes.

Exercice 19 : Espace produit

Soient \((X, d_X)\) et \((Y, d_Y)\) deux espaces métriques. Sur \(X \times Y\), on pose \(d_\infty((x, y), (x^{\prime}, y^{\prime})) = \max(d_X(x, x^{\prime}), d_Y(y, y^{\prime}))\) et \(d_1((x, y), (x^{\prime}, y^{\prime})) = d_X(x, x^{\prime}) + d_Y(y, y^{\prime})\).

1. Montrer que \(d_\infty\) est une distance et que \(d_\infty \leq\, d_1 \leq\, 2\, d_\infty\).
2. Montrer qu’une suite \((x_n, y_n)\) converge vers \((x, y)\) si et seulement si \(x_n \to x\) et \(y_n \to y\).
3. Montrer que les projections \(p_X\) et \(p_Y\) sont \(1\)-lipschitziennes, et que \(U \times V\) est ouvert si \(U\) et \(V\) sont ouverts.
4. Soit \(f : X \to Y\) continue. Montrer que son graphe \(\Gamma_f = \{(x, f(x)) : x \in X\}\) est fermé dans \(X \times Y\).
5. Montrer que la réciproque est fausse, en étudiant \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = \frac{1}{x}\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\).
6. Montrer que la diagonale \(\Delta = \{(x, x) : x \in X\}\) est fermée dans \(X \times X\).

Exercice 20 : Distances uniforme et intégrale sur C([0,1])

On note \(E = C([0, 1], \mathbb{R})\). Pour \(f, g \in E\), on pose \(d_\infty(f, g) = \sup_{[0, 1]} |f – g|\) et \(d_1(f, g) = \int_0^1 |f(t) – g(t)|\, dt\).

1. Montrer que \(d_1\) est une distance sur \(E\).
2. Montrer que \(d_1 \leq\, d_\infty\). Qu’en déduit-on pour l’identité de \((E, d_\infty)\) vers \((E, d_1)\) ?
3. On pose \(f_n(t) = t^n\). Calculer \(d_1(f_n, 0)\) et \(d_\infty(f_n, 0)\). Les distances \(d_1\) et \(d_\infty\) sont-elles équivalentes ?
4. Montrer que la boule \(B_{\infty}(0, 1)\) n’est pas ouverte pour \(d_1\). Les deux distances ont-elles les mêmes ouverts ?
5. On pose \(F = \{f \in E : f(\frac{1}{2}) = 0\}\). Montrer que \(F\) est fermée pour \(d_\infty\).
6. Pour \(n \geq\, 2\), on note \(\theta_n\) la fonction « tente », affine par morceaux, nulle hors de \([\frac{1}{2} – \frac{1}{n}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n}]\), avec \(\theta_n(\frac{1}{2}) = 1\). Pour \(f \in E\), on pose \(g_n = f – f(\frac{1}{2})\, \theta_n\). Montrer que \(g_n \in F\) et calculer \(d_1(f, g_n)\). En déduire que \(F\) est dense dans \((E, d_1)\), puis que \(F\) n’est pas fermée pour \(d_1\).

Exercice 21 : Distance p-adique sur Z

Soit \(p\) un nombre premier. Pour \(n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\), on note \(v_p(n)\) l’exposant de \(p\) dans la décomposition de \(|n|\) en facteurs premiers. Pour \(m, n \in \mathbb{Z}\), on pose \(d_p(m, n) = p^{-v_p(m – n)}\) si \(m \neq n\), et \(d_p(n, n) = 0\).

1. Montrer que \(v_p(a + b) \geq\, \min(v_p(a), v_p(b))\) lorsque \(a\), \(b\) et \(a + b\) sont non nuls. En déduire l’inégalité ultramétrique \(d_p(x, z) \leq\, \max(d_p(x, y), d_p(y, z))\), puis que \(d_p\) est une distance.
2. Montrer que si \(d_p(x, y) \neq d_p(y, z)\), alors \(d_p(x, z) = \max(d_p(x, y), d_p(y, z))\) : « tout triangle est isocèle ».
3. Montrer que tout point d’une boule ouverte en est un centre : si \(b \in B(a, r)\), alors \(B(b, r) = B(a, r)\).
4. Montrer que toute boule ouverte est fermée et que toute boule fermée est ouverte.
5. Pour \(k \in \mathbb{N}\), déterminer \(B_f(0, p^{-k})\).
6. Montrer que \(p^n \to 0\) pour \(d_p\). On pose \(u_n = 1 + p + \cdots + p^{n-1}\) : montrer que \((1 – p) u_n \to 1\).
7. L’identité de \((\mathbb{Z}, |\cdot|)\) vers \((\mathbb{Z}, d_p)\) est-elle continue ? Et sa réciproque ?

Exercice 22 : Problème : l’espace de Cantor

On note \(X = \{0, 1\}^{\mathbb{N}}\) l’ensemble des suites \(x = (x_n)_{n \geq\, 0}\) à valeurs dans \(\{0, 1\}\). Pour \(x \neq y\), on note \(N(x, y) = \min\{n \in \mathbb{N} : x_n \neq y_n\}\) et on pose \(d(x, y) = 2^{-N(x, y)}\), avec \(d(x, x) = 0\).

1. Montrer que \(N(x, z) \geq\, \min(N(x, y), N(y, z))\) pour \(x, y, z\) deux à deux distincts. En déduire que \(d\) est une distance ultramétrique.
2. Soient \(x \in X\) et \(k \in \mathbb{N}\). Montrer que \(B_f(x, 2^{-k}) = \{y \in X : y_n = x_n \text{ pour } 0 \leq\, n \leq\, k – 1\}\). Montrer que cette boule est ouverte et fermée.
3. Montrer qu’une suite \((x^{(m)})_{m}\) de \(X\) converge vers \(x\) si et seulement si, pour tout \(n\), la suite \((x^{(m)}_n)_m\) est stationnaire égale à \(x_n\).
4. On définit le décalage \(\sigma : X \to X\) par \(\sigma(x) = (x_{n+1})_{n \geq\, 0}\). Montrer que \(\sigma\) est \(2\)-lipschitzienne, surjective et non injective.
5. On pose \(\phi(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2 x_n}{3^{n+1}}\). Pour \(x \neq y\) et \(N = N(x, y)\), montrer que \(\frac{1}{3^{N+1}} \leq\, |\phi(x) – \phi(y)| \leq\, \frac{1}{3^N}\).
6. En déduire que \(\phi\) est injective et \(1\)-lipschitzienne, et que \(\phi\) est un homéomorphisme de \(X\) sur \(K = \phi(X)\), muni de la distance usuelle. La figure ci-dessous montre les premières étapes de la construction de \(K\), avec les mots binaires qui les indexent.
7. Montrer que \(\phi^{-1} : K \to X\) est uniformément continue, mais pas lipschitzienne.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : espaces métriques, cours de maths en L3
• Chapitre suivant : Espaces normés et applications linéaires continues
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3